Integración por partes: Despejar la integral desconocida

Objetivos

En esta Sección, aprenderás a calcular integrales en las que aplicar la técnica de integración por partes varias veces puede llevar a obtener una solución algebraica de una integral desconocida.

Concepto

En la Sección anterior, aprendiste que podría ser necesario aplicar la técnica de integración por partes más de una vez para resolver una integral $\int F(x) dx$ . En esta Sección, encontrarás integrales a las que se les tendrá que aplicar varias veces la técnica de integración por partes y en el proceso generar la misma integral que se está tratando de resolver. Cuando esto ocurra, se puede usar una manipulación algebraica simple para calcular la integral desconocida. ¿Puedes encontrar y resolver la integral $\int \cos 5x \sin 7x dx$ la segunda vez que aplicas la integración por partes?

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*Este video sólo se encuentra disponible en inglés.

http://www.youtube.com/watch?v=xuwt8YzF8To - James Sousa: Ejemplo - Integration by Parts Twice and Solving

Orientación

En la sección anterior, utilizamos la técnica de integración por partes (ver abajo) varias veces para transformar sucesivamente una integral “difícil” en integrales“más fáciles” la última de éstas puede ser calculada para completar la solución.

Integración por partes

Problema: Calcula la integral “difícil” $\int F(x) dx=\int f(x) g^\prime (x) dx$ .

Solución posible: Transforma $\int f(x) g^\prime (x) dx$ a la forma $\int udv=uv- \int vdu$ con la elección correcta para $u=f(x)$ y $dv=g^\prime (x) dx$ que hace que $\int vdu$ sea más fácil de calcular que $\int udv$ .

Guía: 1. Escoge $dv$ para que sea la parte más complicada del integrando que se ajusta a una fórmula de integración básica. Escoge $u$ para que sea la parte restante en el integrando.

2. Escoge $u$ para que sea la parte del integrando cuya derivada es más sencilla que $u$ . Escoge $dv$ para que sea el término restante.

Recuerda, el objetivo de la integración por partes es comenzar con una integral en la forma $\int udv$ que es difícil de integrar directamente y cambiarla a una integral $\int vdu$ que es más simple de calcular. Sin embargo, existen algunas integrales $\int udv$ en las que después de realizar múltiples iteraciones de integración por partes se obtiene una versión de la integral original $\int vdu$ . En estos casos, se puede encontrar una solución utilizando álgebra simple. Este tipo de integrales surgen a menudo en la ingeniería eléctrica y otras disciplinas.

Ejemplo A

Calcula $\int e^x \cos x dx$ .

Solución:

$& \text{Use}: \qquad \int udv=uv- \int vdu. \\& \text{Choose}: \quad u=\cos x \qquad \qquad dv=e^x dx \\& \text{Form}: \quad du=- \sin xdx \qquad \quad v=e^x \\& \text{Evaluate}: \quad \int e^x \cos xdx=e^x \cos x+ \int e^x \sin xdx \qquad \cdots \text{The new integral looks similar to the old integral}!$

Debes notar que la forma de la segunda integral luce igual a la de nuestra integral original, excepto que tiene $\sin x$ en lugar de $\cos x$ . Para calcularla, nuevamente aplicamos la integración por partes en el segundo término:

$& \text{Use}: && \int udv=uv- \int vdu. \\& \text{Choose}: && u=\sin x \qquad \quad dv=e^x dx \\& \text{Form}: && du=\cos x dx \qquad v=e^x \\& \text{Evaluate}: && \int e^x \cos x dx=e^x \cos x+e^x \sin x- \int e^x \cos x dx \quad \ldots \text{The new integral looks the}\\& && \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{same as the original integral!}$

Debes notar que la integral desconocida aparece en ambos lados de la ecuación. Podemos usar ágebra simple con el fin de pasarla desde la derecha hacia la izquierda de la ecuación y así poder despejar la integral:

$2 \int e^x \cos x dx&=e^x \cos x+e^x \sin x+C \\\int e^x \cos x dx&= \frac{1}{2}[\cos x+ \sin x]e^x+C \quad \ldots \text{Use the same dummy constant of integration}.$

Se aplicó dos veces la técnica de integración por partes para obtener la solución al volver a la integral original.

Ejemplo B

Calcula $\int \cos (\ln x)dx$ .

Solución:

$& \text{Use}: && \int udv=uv- \int vdu. \\& \text{Choose}: && u=\cos(\ln x) \qquad \qquad dv=dx \\& \text{Form}: && du=- \frac{\sin(\ln x)}{x} dx \qquad v=x \\& \text{Evaluate}: && \int \cos(\ln x) dx =x \cos(\ln x)- \int -x \frac{\sin(\ln x)}{x} dx \\& && \qquad \qquad \quad \ =x \cos(\ln x)+ \int \sin(\ln x) dx \quad \cdots \text{The new integral looks similar to the old integral!}$

La forma de la segunda integral luce similar a la de nuestra integral original, excepto que tiene $\sin(\ln x)$ en lugar de $\cos(\ln x)$ . Para calcularla, aplicamos nuevamente la integración por partes:

$& \text{Use}: \qquad \int udv=uv- \int vdu. \\& \text{Choose}: \qquad u=\sin(\ln x) \qquad \qquad dv=dx \\& \text{From}: \qquad du= \frac{\cos(\ln x)}{x} dx \qquad \qquad v=x \\& \text{Evaluate}: \int \cos(\ln x)dx=x \cos(\ln x)+ \left[x \sin(\ln x)- \int x \frac{\cos(\ln x)}{x} dx \right] \\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad=x \cos(\ln x)+ \left[ x \sin(\ln x)- \int \cos(\ln x)dx \right] \quad \ldots \text{The new integral looks}\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{the same as the old integral!}$

Debes notar nuevamente que la integral desconocida ahora aparece en ambos lados de la ecuación. Podemos usar ágebra simple para pasar la integral desconocida de la derecha hacia la izquierda de la ecuación y así despejarla:

$2 \int \cos(\ln x)dx&=x \cos(\ln x)+ x \sin(\ln x) \\\int \cos(\ln x)dx&=\frac{1}{2} x [\cos(\ln x)+ \sin(\ln x)]+C \quad \ldots \text{Use the same dummy constant of integration}.$

Se aplicó dos veces la técnica de integración por partes para obtener la solución y se volvió a la integral original.

Ejemplo C

Calcula $\int \sec^3 x dx$ .

Solución:

Reescribe la integral: $\int \sec^3 x dx = \int \sec x \sec^2 x dx$

$& \text{Choose}: \qquad u=\sec x \qquad \qquad dv=\sec^2 x dx \\& \text{Form}: \qquad du=\sec x \tan x dx \quad v=\tan x \\& \text{Evaluate}: \int \sec^3 x dx=\sec x \tan x- \int \sec x \tan^2 x dx$

Sabemos que $\tan^2 x$ está relacionada con $\sec \ x$ : $\tan^2 \ x=\sec^2 \ x-1$ , por lo que tenemos lo siguiente:

$\int \sec^3 x dx &=\sec x \tan x- \int \sec x(\sec^2 x-1)dx \\&=\sec x \tan x- \int \sec^3 x dx+ \int \sec x dx$

Debes notar que la integral desconocida ahora aparece en ambos lados de la ecuación. Podemos usar ágebra simple para pasar la integral desconocida de la derecha hacia la izquierda de la ecuación y así despejarla:

$2 \int \sec^3 x dx &=\sec x \tan x+ \int \sec x dx \\\int \sec^3 x dx &=\frac{1}{2} \left[\sec x \tan x+ \int \sec x dx \right]+C \\ &=\frac{1}{2} \left[\sec x \tan x+ \ln |\sec x+ \tan x| \right]+C$

Análisis del Problema de la Sección

¿Puedes encontrar y resolver la integral $\int \cos 5x \sin 7x dx$ aplicando por segunda vez la integración por partes?

Utilizando $u=\cos 5x, dv=\sin 7x dx:$

1 ^er paso: $\int \cos 5x \sin 7x dx=-\frac{1}{7} \cos 5x \cos 7x- \frac{1}{35} \int \sin 5x \cos 7x dx$

Utilizando $u=\sin 5x, dv=\cos 7x dx:$

2 ^o paso: $\int \cos 5x \sin 7x dx=- \frac{1}{7} \cos 5x \cos 7x- \frac{1}{35} \left[\frac{1}{7} \sin 5x \sin 7x+ \frac{1}{35} \int \cos 5x \sin 7x dx \right]$

¿Puedes ver la integral $\int \cos 5x \sin 7x dx$ a la derecha de la ecuación?

Despejando la integral:

$\int \cos 5x \sin 7x dx=\frac{35^2}{35^2+1} \left[- \frac{1}{7} \cos 5x \cos 7x- \frac{1}{7 \cdot 35} \sin 5x \sin 7x\right]+C$

Se ve muy desordenado. Más adelante verás una forma distinta de manipular productos de senos y cosenos con ángulos distintos.

Vocabulario

Integración por partes es un método de integración que utiliza la fórmula de reducción $\int udv=uv- \int vdu$ para transformar la integral de productos de funciones, con suerte, en otra integral más simple. La norma se basa en la regla de diferenciación para el producto.

Integración por partes en múltiples pasos se refiere a la necesidad de aplicar la técnica de integración por partes más de una vez para lograr obtener una solución de la integral.

Práctica guiada

Calcula $\int 3(e^{-2x}+1) \cos 4x dx$ .

Solución:

El problema integral puede ser transformado como se muestra a continuación:

$\int 3(e^{-2x}+1) \cos 4x dx&=3 \int e^{-2x} \cos 4x dx+3 \int \cos 4x dx \\&=3 \int e^{-2x} \cos 4x dx+ \frac{3}{4} \sin 4x+C$

El principal problema en este caso es calcular $\int e^{-2x} \cos 4x dx$ , lo cual puede hacerse utilizando la integración por partes.

$&\text{Use}: \qquad \int udv=uv- \int vdu. \qquad \qquad \ldots 1^{st} \ \text{Pass}\\&\text{Choose}: \qquad u=\cos 4x \qquad dv=e^{-2x} dx \\&\text{Form}: \qquad du=\frac{\sin 4x}{4} dx \qquad v=- \frac{e^{-2x}}{2} \\&\text{Evaluate}: \qquad \int e^{-2x} \cos 4x dx=- \frac{e^{-2x}}{2} \cos 4x+ \int - \frac{e^{-2x}}{2} \frac{\sin 4x}{4} dx \\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ =- \frac{e^{-2x}}{2} \cos 4x- \frac{1}{8} \int e^{-2x} \sin 4x dx$

Debes notar que la forma de la segunda integral luce similar a la de nuestra integral original, excepto que tiene $\sin 4x$ en lugar de $\cos 4x$ . Para calcularla, nuevamente aplicamos la integración por partes en el segundo término:

$&\text{Use}: \qquad \int udv=uv- \int vdu. \qquad \qquad \ldots 2^{nd} \ \text{Pass} \\&\text{Choose}: \qquad u=\sin 4x \qquad \quad dv=e^{-2x} dx\\&\text{Form}: \qquad du=- \frac{\cos 4x}{4}dx \qquad v=- \frac{e^{-2x}}{2} \\&\text{Evaluate}: \quad \int e^{-2x} \cos 4x dx=- \frac{e^{-2x}}{2} \cos 4x+ \left[- \frac{e^{-2x}}{2} \sin 4x- \int \left(- \frac{e^{-2x}}{2} \right) \left(- \frac{\cos 4x}{4} \right) dx \right]\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ = - \frac{e^{-2x}}{2} \cos 4x - \frac{e^{-2x}}{2} \sin 4x - \frac{1}{8} \int e^{-2x} \cos 4x dx$

La integral desconocida ahora aparece en ambos lados de la ecuación y podemos usar el ágebra simple para mover la integral desconocida desde la derecha hacia la izquierda de la ecuación y así despejarla:

$\frac{9}{8} \int e^{-2x} \cos 4x dx&=- \frac{e^{-2x}}{2} \cos 4x- \frac{e^{-2x}}{2} \sin 4x \\\int e^{-2x} \cos 4x dx&=- \frac{4}{9}(\cos 4x+ \sin 4x)e^{-2x}$

Ahora, podemos tomar este resultado y resolver el problema original:

$\int3(e^{-2x}+1) \cos 4x dx&=3 \int e^{-2x} \cos 4x dx+3 \int \cos 4x dx \\&=3 \left[- \frac{4}{9}(\cos 4x+ \sin 4x)e^{-2x} \right]+ \frac{3}{4} \sin 4x+C \\\int 3(e^{-2x}+1)\cos 4x dx&=- \frac{4}{3}(\cos 4x+ \sin 4x)e^{-2x}+ \frac{3}{4} \sin 4x+C$

Práctica

Calcula las siguientes integrales utilizando la integración por partes para resolver la integral desconocida.

$\int e^x \sin 2x dx$
$\int e^{-3x} \sin x dx$
$\int e^{ax}\cos bx dx$
$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} e^{-x} \cos 3x dx$
$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{2x} \sin x dx$
$\int \sin 2x \cos 3x dx$
$\int \sin 4x \sin 3x dx$
$\int \cos 3x \cos 4x dx$
$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4 \sin x \cos \left(\frac{x}{3} \right) dx$
$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4 \sin \left(\frac{x}{3} \right) \cos (x) dx$
$\int \sin (\ln x)dx$
$\int \cos(\ln 0.5x)dx$
$\int \cos (2 \ln x)dx$
$\int \tan(\ln x)dx$
$\int \csc^5 x dx$ , Pista: Deja $u=\csc^3 x$ en el primer paso y usa $\cot^2 x=\csc^2 x-1$ .
$\int \sin x \sinh x dx$

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