Integración por medio de fracciones parciales

Objetivos

En esta Sección, aprenderás a calcular la integral de una función racional utilizando la técnica de integración de fracciones parciales.

Concepto

Generalmente se puede calcular un integrando racional difícil si se lo separa en varios elementos más simples y que son más fáciles de calcular. Este concepto es similar a tomar una fracción como $\frac{7}{12}$ y separarla en dos términos $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ , ya que los términos por separado podrían ser más fácil de utilizar. Sin embargo, debes notar que $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ no es la única representación que sirve, también se pueden escoger los términos $\frac{A}{6} + \frac{B}{2}$ ¿De qué manera buscarías los valores apropiados para $A$ y $B$ de forma que $\frac{7}{6 \cdot 2} = \frac{A}{6} + \frac{B}{2}$ ? Esta es la idea fundamental de las fracciones parciales.

Mira Esto

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http://www.youtube.com/watch?v=9AXr7dIr0Ng - Integración por fracciones parciales, Tutoría Sólo Matemáticas (6:02)

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http://www.youtube.com/watch?v=D8OncQ9-dHY - Integración usando fracciones parciales y una sustitución de racionalización, Tutoría Sólo Matemáticas (6:06).

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http://www.youtube.com/watch?v=aeXp1zC6Hls - Integración con fracciones parciales utilizando diversas técnicas, MIT Courseware (51:24).

Orientación

La ténica de integración por medio de fracciones parciales involucra integrar una función racional $\frac{f(x)}{g(x)}$ utilizando dos pasos:

descomponer la función racional en una suma de dos o más funciones racionales más simples y
integrar la suma de las fracciones parciales.

Por ejemplo, ¿qué es $\int \frac{x+4}{x^2+x-2} dx$ ?

La integral se puede descomponer en

$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x+4}{x^2+x-2} = \frac{2}{x+2} + \frac{3}{x-1}$ .

A los dos términos de la derecha se les llama fracciones parciales . Debes notar que los denominadores de las fracciones parciales son los factores de $g(x)$ .

Al descomponer en dos fracciones parciales, la integral se vuelve manejable:

$\int \frac{x+4}{x^2+x-2} dx & = \int \left ( \frac{2}{x+2} + \frac{3}{x-1} \right ) dx \\& = 2 \int \left ( \frac{1}{x+2}\right ) dx + 3 \int \left ( \frac{1}{x-1} \right ) dx\\& = 2 \ln |x+1| + 3 \ln |x-1|+C$

Para que la técnica anterior funcione, se deben determinar las fracciones parciales. A continuación se proporcionan las condiciones generales que se deben dar para descomponer una función racional:

Condiciones para descomponer una función racional $\frac{f(x)}{g(x)}$ en fracciones parciales

1. El grado de $f(x)$ debe ser menor que el grado de $g(x)$ .

Si esto ocurre, la función racional recibe el nombre de propia .

Si no ocurre, divide $f(x)$ por $g(x)$ (utiliza la división larga) y trabaja con el término restante.

2. Los factores de $g(x)$ deben ser determinados en la forma $(ax+b)^n$ o $(ax^2+bx+c)^n$ , donde $n \ge 1$ y $(ax^2+bx+c)$ es una ecuación cuadrática irreductible, es decir, no tiene ceros reales.

Si esto ocurre, sigue la pauta de más abajo para encontrar las fracciones parciales.

Si no ocurre, las fracciones parciales no pueden ser determinadas y no se puede usar esta técnica.

Si el denominador $g(x)$ de la función racional $\frac{f(x)}{g(x)}$ ha sido factorizado completamente según el paso 2 que se explicó anteriormente, entonces se puede utilizar la siguiente pauta para determinar los términos de la suma de la fracción parcial:

Formas de componer fracciones parciales $\frac{f(x)}{g(x)}$

Cuando $g(x)$ puede ser factorizada por factores con la forma $(ax+b)^n$ o $(ax^2+bx+c)^n$ , la expansión de la fracción parcial (FP) $\frac{f(x)}{g(x)}$ se ve de la siguiente manera:

$\frac{f(x)}{g(x)} = \sum \text{PFs for all } (ax+b)^n \text{ factors} + \sum \text{PFs for all } (ax^2+bx+c)^n \text{ factors}$

1. Para cada factor distinto de $g(x)$ de la forma $(ax+b)^n$ , con $n\ge 1$ , su contribución a la suma de la fracción parcial es la siguiente:

$\sum_{i=1}^{n} \frac{A_i}{(ax+b)^i} = \frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(ax+b)^n},$

donde cada $A_i$ es un número real.

2. Para cada factor distinto de $g(x)$ de la forma $(ax^2+bx+c)^n$ , con $n\ge 1$ , su contribución a la suma de la fracción parcial es la siguiente:

$\sum_{i=1}^{n} \frac{A_i x + B_i}{(ax^2+bx+c)^i} = \frac{A_1x + B_1}{ax^2+bx+c} + \frac{A_2x + B_2}{(ax^2+bx+c)^2} + \cdots + \frac{A_nx + B_n}{(ax^2+bx+c)^n},$

donde cada $A_i$ y $B_i$ son números reales.

Ejemplo A

Encuentra la descomposición de la fracción parcial $\frac{2x-19}{x^2+x-6}$ .

Solución:

Debes notar que la función es una fracción propia.

Comenzamos por factorizar el denominador como $x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)$ .

Luego escribe la descomposición de la fracción parcial como se indica a continuación:

$\frac{2x-19}{x^2+x-6} = \frac{2x-19}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}$ .

Nuestro objetivo en este punto es encontrar los valores de $A$ y $B$ . por lo tanto, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el denominador factorizado $(x+3)(x-2)$ para generar la ecuación básica

$2x-19=A(x-2)+B(x+3)$

Esta ecuación es verdadera para todos los valores de $x$ . Los valores más convenientes son los que igualan un factor a cero, específicamente, $x=2$ y $x=-3$ . Sustituyendo $x=2$ ,

$2(2) -19 & = A(2-2) + B(2+3)\\2(2) -19 & = 0 +5B\\-3 & = B$

De la misma manera, sustituyendo por $x=-3$ en la ecuación básica obtenemos

$2(-3) -19 & = A(-3-2) + B(-3+3)\\-25 & = -5A\\5 & = A$

Hemos encontrado los valores de $A$ y $B$ . Por lo tanto, la descomposición en fracciones parciales es $\frac{2x-19}{x^2+x-6} = \frac{5}{x+3} - \frac{3}{x-2}$ .

Ejemplo B

Utiliza el método de fracciones parciales para calcular $\int \frac{x+1}{(x+2)^2} dx$ .

Solución:

Debes notar que el integrando es una fracción propia. De acuerdo con la guía anterior, las sumas parciales toman la forma:

$\frac{x+1}{(x+2)^2} = \frac{A}{(x+2)} + \frac{B}{(x+2)^2}$ .

Multiplicando ambos lados de la ecuación por $(x+2)^2$ se obtiene

$x+1 & = A(x+2) + B\\x+1 & = Ax +(2A+B)$

Al igualar los coeficientes de términos semejantes en ambos lados,

$1 & = A\\1 & = 2A+B$

Entonces

$1 & = A\\-1 & = B$

Por lo tanto, la descomposición en fracción parcial es

$\frac{x+1}{(x+2)^2} = \frac{1}{(x+2)} - \frac{1}{(x+2)^2}$ .

La integral se convertirá en

$\int \frac{x+1}{(x+2)^2} dx & = \int \left ( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{(x+2)^2} \right ) dx \\& = \int \left ( \frac{1}{x+2}\right ) dx - \int \frac{1}{(x+2)^2} dx\\& = \ln |x+2| + \frac{1}{x+2}+C \quad \ldots \text{Substitution of } u = x+2 \text{ was used in the send integral.}$

Ejemplo C

Calcula $\int \frac{3x^2 + 3x +1}{x^3+2x^2+x} dx$ .

Solución:

Debes notar que el integrando es una fracción propia.

Comenzamos por factorizar el denominador como $x(x+1)^2$ . Luego la descomposición en fracción parcial es

$\frac{3x^2 + 3x +1}{x^3+2x^2+x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$ .

Multiplicando cada lado de la ecuación por $x(x+1)^2$ , obtenemos la ecuación básica

$3x^2 + 3x +1 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$ .

Esta ecuación es verdadera para todos los valores de $x$ . Los valores más convenientes son los que igualan un factor a cero, específicamente $x=-1$ y $x=0$ .

Sustituyendo $x=-1$ ,

$3(-1)^2 + 3(-1)+1 & = A(-1+1)^2 + B(-1)(-1+1) + C(-1)1\\1 & = 0+0-C\\-1 & = C$

Sustituyendo $x=0$ ,

$3(0)^2 + 3(0)+1 & = A(0+1)^2 + B(0)(0+1) + C(0)1\\1 & = A+0+0\\1 & = A$

Para encontrar $B$ , podemos simplemente sustituir cualquier valor de $x$ junto con los valores de $A$ y $C$ obtenidos.

Escoge $x=1$ :

$3(1)^2 + 3(1)+1 & = A(1+1)^2 + B(1)(1+1) + C(1)1\\7 & = 4+2B-1\\2 & = B$

Ahora hemos despejado $A, B,$ y $C$ por lo que podemos usar la descomposición en fracciones parciales para integrar.

$\int \frac{3x^2 + 3x +1}{x^3+2x^2+x} dx & = \int \left ( \frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}\right ) dx\\& = \ln |x| + 2 \ln |x+1| + \frac{1}{x+1} + C$

Análisis del Problema de la Sección

¿De qué manera buscarías los valores apropiados para $A$ y $B$ para $\frac{7}{12} = \frac{7}{6 \cdot 2} = \frac{A}{6} + \frac{B}{2}$ ? Este es uno de los conceptos básicos de las fracciones parciales.

La ecuación de arriba requiere que $7 = 2A+6B$ . Debido a que existen dos variables y ninguna otra relación limitante, se le puede asignar un valor a cualquiera de éstas para determinar la segunda variable. Si $B=1$ , entonces $A=\frac{1}{2}$ , así que la relación es $\frac{7}{12} = \frac{\frac{1}{2}}{6} + \frac{1}{2}$ .

Vocabulario

Una fracción parcial es uno de los términos racionales de la suma que forma parte de la descomposición de una función racional $\frac{f(x)}{g(x)}$ ; el denominador de la fracción parcial es un factor de $g(x)$ .

Una fracción propia es una expresión racional $\frac{f(x)}{g(x)}$ donde el grado de $f(x)$ es menor que el grado de $g(x)$ .

Una fracción impropia es una expresión racional $\frac{f(x)}{g(x)}$ donde el grado de $f(x)$ es mayor que el grado de $g(x)$ .

Una cuadrática irreductible es una ecuación cuadrática $(ax^2+bx+c)$ sin ceros o raíces reales, es decir, el discriminante $(b^2-4ac)$ es menor que 0.

Práctica guiada

El siguiente problema es un ejemplo de una función racional impropia. Calcula la integral definida.

$\int\limits^2_1 \frac{x^3-4x^2-3x+3}{x^2-3x} dx$ .

Solución:

Esta función racional es impropia porque el grado del numerador es mayor que el del denominador. El primer paso es dividir el denominador por el numerador utilizando la división larga y obtener

$\frac{x^3-4x^2-3x+3}{x^2-3x} = (x-1) + \frac{-6x+3}{x^2-3x}$ .

Ahora aplica la descomposición en funciones parciales sólo en la parte restante,

$\frac{-6x+3}{x^2-3x} = \frac{-6x+3}{x(x-3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-3}$ .

Tal como lo hicimos en los ejemplos anteriores, multiplica ambos lados por $x(x-3)$ para obtener la ecuación básica $-6x+3 = A (x-3) + Bx$ .

Para $x=0$ ,

$3 & = -3A+0\\-1 & = A$

Para $x=3$ ,

$-18 + 3 & = 0+3B\\-15 & = 3B\\-5 & = B$

Entonces el integrando se convierte en

$\frac{x^3-4x^2-3x+3}{x^2-3x} = (x-1) + \frac{-6x+3}{x^2-3x} = x-1-\frac{1}{x} - \frac{5}{x-3}$ ,

Y se puede calcular de esta manera

$\int_{1}^{2} \frac{x^3-4x^2-3x+3}{x^2-3x} dx & = \int_{1}^{2} \left [ x-1 - \frac{1}{x} - \frac{5}{x-3} \right ] dx\\& = \left [ \frac{x^2}{2} - x - \ln |x| - 5 \ln |x-3| \right ]^2_1\\& = \left ( \frac{4}{2} -2 - \ln 2 - 5 \ln 1 \right ) - \left ( \frac{1}{2} -1 - \ln 1 - 5 \ln 2 \right )\\& = 4 \ln 2 + \frac{1}{2}$

Práctica

Calcula las siguientes integrales utilizando fracciones parciales.

$\int \frac{1}{x^2-1} dx$
$\int \frac{x}{x^2-2x-3} dx$
$\int \frac{1}{x^3 + x^2 - 2x} dx$
$\int \frac{x^3}{x^2+4} dx$
$\int\limits_{0}^{1} \frac{\phi}{1+\phi} d \phi$
$\int\limits_{1}^{5} \frac{x-1}{x^2(x+1)} dx$
$\int \frac{10x^2+21x-9}{(x^2-7x+12)(x+5)} dx$
$\int \left ( \frac{3e^x}{(e^x-1)(e^x+3)} \right ) dx$ Pista: Utiliza la técnica de sustitución $u$ para convertir a una función racional.
$\int \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta + 4 \sin \theta -5} d\theta$ Pista: Utiliza la técnica de sustitución $u$ para convertir a una función racional.
$\int \frac{3e^\theta}{e^{2\theta} -1} d\theta$ Pista: Utiliza la técnica de sustitución $u$ para convertir a una función racional.
Encuentra el área bajo la curva $y=1$ sobre el intervalo $[-\ln 3, \ln 4]$ ( Pista : aplica la técnica de sustitución $u$ para convertir el integrando en una función racional).
Demuestra que $\int \frac{1}{a^2-x^2} dx = \frac{1}{2a} \ln \left | \frac{a+x}{a-x} \right | + C$ .
Calcula $\int \frac{2x^3+3}{(x^2-4)(x^2+3x+2)} dx$
Calcula $\int \frac{x^2+6x+1}{3x^2+5x-2} dx$
Calcula $\int \frac{dx}{\sinh x} dx$ ; Pista: Deja $u=e^{-x}$ y utiliza fracciones parciales.

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