Integración de potencias de seno y coseno

Objetivos

En esta Sección, aprenderás calcular la integral de potencias con funciones seno y coseno.

Concepto

El voltaje asociado con una corriente alterna en tu casa puede ser de la forma $V(t)=A \sin \left(\frac{2 \pi}{T} t \right)$ volts ( $T$ es el periodo). Debido a que el voltaje varía con el tiempo, una forma estándar de representar el voltaje en un único número es calcular el valor cuadrático medio (rms, root mean square). Esto significa elevar al cuadrado $V(t)$ , sacar la media o promedio sobre un periodo y luego sacar la raíz cuadrada. ¿Puedes determinar cuál será el voltaje cuadrático medio si el voltaje en tu casa puede llegar a los 155 volts?

Mira Esto

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido. (requiere conexión a internet)

*Este video sólo se encuentra disponible en inglés.

http://www.youtube.com/watch?v=Sv-bSbAQeXc - James Sousa: Trig integrales que involucran potencias de seno y coseno: Parte 1

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http://www.youtube.com/watch?v=vPnuigP8I6I - James Sousa: Trig integrales que involucran potencias de seno y coseno: Parte 2

Orientación

En esta sección estudiaremos métodos de integración de funciones con la forma:

$\int \sin^m x \cos^n x dx$

donde $m$ , y $n$ son enteros no negativos.

Las siguientes tres categorías o formas de problemas generales son de interés:

$n=0$ , por lo que esos problemas se ven como $\int \sin^m x dx$ ;
$m=0$ , por lo que esos problemas se ven como $\int \cos^n x dx$ ;
$m \ge 1$ y $n \ge 1$ , por lo que esos problemas se ven como $\int \sin^m x \cos^n x dx$ .

Revisemos las tres formas en orden.

Forma I: $\int \sin^m x dx$

Esta forma de integral puede ser calculada utilizando una fórmula de reducción general (aplicando la integración por partes para derivar). Una fórmula de reducción es una fórmula solución que reduce una integral a una forma más fácil de resolver, la que a su vez puede ser reducida a una integral aún más fácil de calcular y así sucesivamente. La fórmula de reducción para la integral es la siguiente:

Fórmula de reducción: $\int \sin^m x dx$

$\int \sin^m x dx=- \frac{1}{m} \sin^{m-1}x \cos x+ \frac{m-1}{m} \int \sin^{m-2}x dx$

Puedes comprobar que esta fórmula funciona utilizándola para el caso $m=1$ , que lleva a $\int \sin^1 x dx=- \frac{1}{1} \sin^{1-1} x \cos x+ \frac{1-1}{1} \int \sin^{m-2}x dx=- \cos x$ .

Este es un resultado familiar.

Como alternativa a la fórmula de reducción, la siguiente tabla proporciona una pauta para evaluar problemas con esta forma dependiendo de si el exponente es par o impar.

$\int \sin^m x dx$	Procedimiento	Identidades clave
$m > 1$ es impar $(m=2p+1)$	(1) Transforma la integral: $\int \sin^m x dx=\int \sin^{2p} x \sin x dx$ (2) Usa la identidad para transformar la integral: $\int \sin^{2p} x \sin x dx=\int (1- \cos^2 x)^p \sin x dx$ (3) Usa la técnica de sustitución $u$ para cambiar las variables: $u=\cos x$ y $du=- \sin x dx$ se obtiene $\int (1- \cos^2 x)^p \sin x dx=- \int (1-u^2)^p du$ (4) Expande el polinomio en $u$ . (5) Integra el polinomio resultante en términos de $u$ . (6) Sustituye $\cos x$ por $u$ .	$\sin^2 x=(1- \cos^2 x)$
$m$ es par $(m=2p)$	(1) Convierte la integral: $\int \sin^m x dx=\int \sin^{2p}x dx$ (2) Usa la identidad para transformar la integral: $\int \sin^{2p}x dx=\int \left(\frac{1}{2}(1- \cos 2x) \right)^p dx$ (3) Expande en potencias de $\cos 2x$ y aplica el procedimiento de par/impar del Problema con Forma II tantas veces como sea necesario para simplificar el integrando.	$\sin^2 x=\frac{1}{2} (1- \cos 2x)$

$\int \sin^m x dx$

Procedimiento

Identidades clave

$m > 1$ es impar $(m=2p+1)$

(1) Transforma la integral:

$\int \sin^m x dx=\int \sin^{2p} x \sin x dx$

(2) Usa la identidad para transformar la integral:

$\int \sin^{2p} x \sin x dx=\int (1- \cos^2 x)^p \sin x dx$

(3) Usa la técnica de sustitución $u$ para cambiar las variables: $u=\cos x$ y $du=- \sin x dx$ se obtiene

$\int (1- \cos^2 x)^p \sin x dx=- \int (1-u^2)^p du$

(4) Expande el polinomio en $u$ .

(5) Integra el polinomio resultante en términos de $u$ .

(6) Sustituye $\cos x$ por $u$ .

$\sin^2 x=(1- \cos^2 x)$

$m$ es par $(m=2p)$

(1) Convierte la integral:

$\int \sin^m x dx=\int \sin^{2p}x dx$

(2) Usa la identidad para transformar la integral:

$\int \sin^{2p}x dx=\int \left(\frac{1}{2}(1- \cos 2x) \right)^p dx$

(3) Expande en potencias de $\cos 2x$ y aplica el procedimiento de par/impar del Problema con Forma II tantas veces como sea necesario para simplificar el integrando.

$\sin^2 x=\frac{1}{2} (1- \cos 2x)$

Ejemplo A

Calcula $\int \sin^3 x dx$ .

Solución:

$\int \sin^3 x dx&=\int \sin^2 x \sin x dx && \ldots \text{Separate to even and odd powers because} \ m=3, \ \text{odd}. \\&=\int (1- \cos^2 x) \sin x dx && \ldots \text{Used the identity}. \ \sin^2 x=(1- \cos^2 x) \\&=- \int (1-u^2)du && \ldots \text{Used substitution}: \ u=\cos x \ \text{and} \ du=- \sin x dx \\&=- \left(u- \frac{u^3}{3} \right)+C && \ldots \text{Integrated} \\\int \sin^3 x dx&=- \cos x+ \frac{\cos^3 x}{3}+C && \ldots \text{Substituted} \ \cos x \ \text{for} \ u.$

Forma II: $\int \cos^n x dx$

Esta forma de la integral también puede ser calculada con una fórmula de reducción general (aplicando la integración por partes para derivar).

Fórmula de reducción: $\int \cos^n x dx$

$\int \cos^n x dx=\frac{1}{n} \cos^{n-1}x \sin x+ \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}x dx$

Puedes comprobar que esta fórmula funciona utilizándola para el caso $n=1$ , que lleva a $\int \cos^1 x dx=\frac{1}{1} \cos^{1-1}x \sin x+ \frac{1-1}{1} \int \cos^{n-2} x dx=\sin x$ .

Este es un resultado familiar.

Nuevamente, como alternativa a la fórmula de reducción, la siguiente tabla proporciona una pauta para evaluar problemas con esta forma dependiendo de si el exponente es par o impar.

$\int \cos^n x dx$	Procedimiento	Identidades clave
$n$ es impar $(n=2p+1)$	(1) Transforma la integral: $\int \cos^n x dx=\int \cos^{2p} x \cos x dx$ (2) Usa la identidad para transformar la integral: $\int \cos^{2p} x \cos x dx=\int (1- \sin^2 x)^p \cos x dx$ (3) Usa la técnica de sustitución $u$ cambiar las variables: $u=\sin x$ y $du=\cos x dx$ se obtiene $\int (1- \sin^2 x)^p \cos x dx=\int (1-u^2)^p du$ (4) Expande el polinomio en $u$ . (5) Integra el polinomio resultante en términos de $u$ . (6) Sustituye $\sin x$ por $u$ .	$\cos^2 x=(1- \sin^2 x)$
$n$ es par $(n=2p)$	(1) Transforma la integral: $\int \cos^n x dx=\int \cos^{2p}x dx$ (2) Usa la identidad para transformar la integral: $\int \cos^{2p}x dx=\int \left(\frac{1}{2}(1+ \cos 2x) \right)^p dx$ (3) Expande la integral para obtener potencias de $\cos 2x$ y aplica el procedimiento par/impar las veces que sea necesario para simplificar el integrando.	$\cos^2 x=\frac{1}{2}(1+ \cos 2x)$

$\int \cos^n x dx$

Procedimiento

Identidades clave

$n$ es impar $(n=2p+1)$

(1) Transforma la integral:

$\int \cos^n x dx=\int \cos^{2p} x \cos x dx$

(2) Usa la identidad para transformar la integral:

$\int \cos^{2p} x \cos x dx=\int (1- \sin^2 x)^p \cos x dx$

(3) Usa la técnica de sustitución $u$ cambiar las variables: $u=\sin x$ y $du=\cos x dx$ se obtiene

$\int (1- \sin^2 x)^p \cos x dx=\int (1-u^2)^p du$

(4) Expande el polinomio en $u$ .

(5) Integra el polinomio resultante en términos de $u$ .

(6) Sustituye $\sin x$ por $u$ .

$\cos^2 x=(1- \sin^2 x)$

$n$ es par $(n=2p)$

(1) Transforma la integral:

$\int \cos^n x dx=\int \cos^{2p}x dx$

(2) Usa la identidad para transformar la integral:

$\int \cos^{2p}x dx=\int \left(\frac{1}{2}(1+ \cos 2x) \right)^p dx$

(3) Expande la integral para obtener potencias de $\cos 2x$ y aplica el procedimiento par/impar las veces que sea necesario para simplificar el integrando.

$\cos^2 x=\frac{1}{2}(1+ \cos 2x)$

Ejemplo B

Calcula $\int \cos^4 x dx$

Solución:

$\int \cos^4 x dx &=\int(\cos^2 x)^2 dx && \ldots n=4, \ \text{even}. \\&=\int \left(\frac{1}{2}(1+ \cos 2x) \right)^2 dx && \ldots \text{Used the identity}: \ \cos^2 x=\frac{1}{2}(1+ \cos 2x) \\&=\left(\frac{1}{2} \right)^2 \int (1+2 \cos 2x+ \cos^2 2x)dx && \ldots \text{Expanded the square} \\&=\left(\frac{1}{2} \right)^2 \int \left(1+2 \cos 2x+ \frac{1}{2}(1+ \cos 4x) \right)dx && \ldots \text{Used the identity} \ \cos^2 x=\frac{1}{2}(1+ \cos 2x) \\&=\left(\frac{1}{4} \right) \int \left(\frac{3}{2}+2 \cos 2x+ \frac{1}{2} \cos 4x \right) dx \\&=\left(\frac{1}{4} \right) \left(\frac{3}{2}x+ \sin 2x+ \frac{1}{8} \sin 4x \right)+C && \ldots \text{Integrated term-by-term} \\\int \cos^4 x dx &=\frac{3}{8}x+ \frac{1}{4} \sin 2x+ \frac{1}{32} \sin 4x+C$

Forma III: $\int \sin^m x \cos^n x dx$ , $m \ge 1$ y $n \ge 1$

La siguiente tabla entrega una pauta para evaluar problemas con esta forma.

$\int \sin^m x \cos^n x dx$	Procedimiento	Identidades clave
$m$ es impar $(m=2p+1)$	(1) Transforma la integral: $\int \sin^m x \cos^n x dx=\int \sin^{2p} x \cos x \sin x dx$ (2) Usa la identidad para transformar la integral: $\int \sin^{2p} x \cos^n x \sin x dx=\int(1- \cos^2 x)^p \cos^n x \sin x dx$ (3) Usa la técnica de sustitución $u$ para cambiar las variables: $u=\cos x$ y $du=- \sin x dx$ se obtiene $\int(1- \cos^2 x)^p \cos^n x \sin x dx = - \int (1-u^2)^p u^n du$ (4) Expande el producto de $u^n$ y el polinomio en $u$ . (5) Integra el polinomio resultante en términos de $u$ . (6) Sustituye $\cos x$ por $u$ .	$\sin^2 x=(1- \cos^2 x)$
$n$ es impar $(n=2p+1)$	(1) Transforma la integral: $\int \sin^m x \cos^n x dx=\int \sin^m x \cos^{2p} x \cos x dx$ (2) Usa la identidad para transformar la integral: $\int \sin^m x \cos^{2p} x \cos x dx=\int \sin^m x \cdot (1- \sin^2 x)^p \cos x dx$ (3) Usa la técnica de sustitución $u$ cambiar las variables: $u=\sin x$ y $du=\cos x dx$ se obtiene $\int \sin^m x \cdot (1- \sin^2 x)^p \cos x dx = \int u^m (1-u^2)^p du$ (4) Expande el producto de $u^m$ y el polinomio en $u$ . (5) Integra el polinomio resultante en términos de $u$ . (6) Sustituye $\sin x$ por $u$ .	$\cos^2 x=(1- \sin^2 x)$
$m$ y $n$ son pares $(m=2p, n=2r)$	(1) Transforma la integral: $\int \sin^m x \cos^n x dx=\int \sin^{2p} x \cos^{2r} x dx$ (2) Usa las identidades del ángulo medio para reducir los exponentes a la mitad y transformar la integral: $\int \sin^{2p} x \cos^{2r} x dx= \int \left(\frac{1}{2}(1- \cos 2x) \right)^p \left(\frac{1}{2}(1+ \cos 2x) \right)^r$ (3) Expande el integrando para obtener potencias de $\cos 2x$ y aplica el procedimiento de par/impar cuantas veces sea necesario para simplificar el integrando.	$\sin^2 x &=\frac{1}{2}(1- \cos 2x) \\\cos^2 x &=\frac{1}{2}(1+ \cos 2x)$

Ejemplo C

Calcula $\int \sin^3 x \cos^4 x dx$

Solución:

$\int \sin^3 x \cos^4 x dx &=\int \sin^2 x \cos^4 x \sin x dx && \ldots m=3, \ \text{odd}. \\&=\int(1- \cos^2 x) \cos^4 x \sin x dx && \ldots \text{Used the identity} \ \sin^2 x=(1- \cos^2 x) \\&=- \int (1-u^2)u^4 du && \ldots \text{Used substitution}: \ u=\cos x \ \text{and} \ du=- \sin x dx \\&=- \int (u^4-u^6)du \\&=- \frac{u^5}{5}+ \frac{u^7}{7}+C && \ldots \text{Integrated} \\\int \sin^3 x \cos^4 x dx &=- \frac{\cos^5 x}{5}+ \frac{\cos^7 x}{7}+C && \ldots \text{Substituted} \ \cos x \ \text{for} \ u.$

Análisis del Problema de la Sección

¿Puedes determinar cuál será el voltaje cuadrático medio (rms) si el voltaje en tu casa puede llegar a los 155 volts?

El procedimiento para calcular el voltaje cuadrático medio es elevar al cuadrado $V(t)=A \sin \left(\frac{2 \pi}{T}t \right)$ , sacar la media o el promedio durante un periodo y luego sacar la raíz cuadrada. Esto significa que el voltaje cuadrático medio puede ser calculado de la siguiente manera:

$\sqrt{\frac{1}{T} \int\limits_{0}^{T} V^2(t)dt}= \sqrt{\frac{1}{T} \int\limits_{0}^{T} A^2 \sin^2 \left(\frac{2 \pi}{T}t \right)dt}=\sqrt{\frac{A^2}{2 T} \int\limits_{0}^{T} \left[1- \cos \left(\frac{4 \pi}{T}t \right) \right]}dt=\sqrt{\frac{A^2}{2 T}T}=\frac{\sqrt{2}}{2}A$ , donde se utiliza la relación del ángulo doble $\sin^2 x=\frac{1}{2}(1- \cos 2x)$ .

Por lo tanto, si $A=155$ volts, entonces el voltaje cuadrático medio es 110 volts. Este es un número familiar.

Vocabulario

Una fórmula de reducción es una fórmula solución que reduce una integral a una forma más fácil de resolver, la que a su vez puede ser reducida a una integral aún más fácil de calcular y así sucesivamente.

Práctica guiada

Calcula $\int \sin^4 x \cos^4 x dx$ .

Solución:

En este caso, $m=n=4$ Seguimos el tercer procedimiento indicado en la tabla de arriba:

$\int \sin^4 x \cos^4 x dx &=\int (\sin^2 x)^2 (\cos^2 x)^2 dx && \ldots m, n \ \text{are even}. \\& && \ldots \text{Used the identities}: \\& =\int \left(\frac{1}{2}(1- \cos 2x) \right)^2 \left(\frac{1}{2}(1+ \cos 2x) \right)^2 dx &&\sin^2 x=\frac{1}{2}(1- \cos 2x) \\& && \cos^2 x=\frac{1}{2}(1+ \cos 2x) \\&=\left(\frac{1}{2} \right)^4 \int (1- \cos^2 2x)^2 dx && \ldots \text{Simplified the integrand} \\&=\left(\frac{1}{16} \right) \int (\sin^2 2x)^2 dx && \ldots \text{Used the identity} \ 1- \cos^2 x=\sin^2 x \\&=\left(\frac{1}{16} \right) \int \left(\frac{1}{2}(1- \cos 4x) \right)^2 dx && \ldots \text{Used the identities}: \ \sin^2 2x=\frac{1}{2}(1- \cos 4x) \\&=\left(\frac{1}{64} \right) \int (1-2 \cos 4x+ \cos^2 4x)dx && \ldots \text{Expanded the integrand} \\&=\left(\frac{1}{64} \right) \int \left(1- 2 \cos 4x+ \frac{1}{2}(1+ \cos 8x) \right)dx \\&=\left(\frac{1}{64} \right) \int \left(\frac{3}{2}-2 \cos 4x+ \frac{\cos 8x}{2} \right)dx \\&=\left(\frac{1}{64} \right) \left(\frac{3x}{2}- \frac{\sin 4x}{2}+ \frac{\sin 8x}{16} \right)+C && \ldots \text{Integrated terms} \\\int \sin^4 x \cos^4 x dx &=\frac{3x}{128}- \frac{\sin 4x}{128}+ \frac{\sin 8x}{1024}+C$

Práctica

Calcula las integrales.

$\int \sin^2 (x)dx$
$\int \sin^2 5 \phi d \phi$
$\int \cos^2 (x)dx$
$\int \cos^3 (x)dx$
$\int \sin^4 (x)dx$
$\int \sin^5 (x)dx$
$\int \cos^4 x \sin x dx$
$\int \sin^2 2z \cos^3 2 z dz$
$\int z^2 \sin^2 2z^3 \cos^3 2z^3 dz$
$\int \sin^5 (x) \cos^4 (x) dx$
$\int \sin^3 (x) \cos^2 (x) dx$
$\int \sin (x) \cos^2 (x) dx$
$\int \sin^2 (x) \cos (x) dx$
$\int \sin^2 (x) \cos^2 (x) dx$
$\int \sin^4 (x) \cos^3 (x) dx$

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