Integración de potencias de secantes y tangentes

Objetivos

En esta Sección, aprenderás a calcular la integral de potencias secantes y tangentes.

Concepto

En muchos casos, especialmente en aquellos que involucran encontrar la longitud del arco y el área de la superficie, debemos calcular integrales con la forma general $\int \tan^{m}x \sec^{n}xdx$ , en donde $m$ y $n$ son enteros positivos. En la sección anterior sobre la integración de potencias de senos y cosenos, se dieron algunas reglas de integración útiles basadas en la identidad $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ , y las relaciones entre las derivadas de las funciones seno y coseno, y se utilizaron las técnicas simples de sustitución $u$ y de integración por partes. De manera similar, las pautas útiles para integrar potencias de secantes y tangentes se obtienen a partir de sus identidades y relaciones entre derivadas. Antes de continuar, comprueba si puedes escribir las relaciones de identidad entre las funciones tangentes y secantes (¿puedes derivar utilizando la relación seno/coseno?). ¿Conoces las relaciones entre sus derivadas? ¿Puedes calcular $\int\tan x \sec^{2}xdx$ ?

Mira Esto

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*Este video sólo se encuentra disponible en inglés.

http://www.youtube.com/watch?v=laBBImqdyqk - Sousa: Trigonometria, Integrales involucrados los poderes de la secante y tangente: Parte 1

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http://www.youtube.com/watch?v=o8sIHlS17qc - Sousa: Trigonometria, Integrales involucrados los poderes de la secante y tangente: Parte 2

Orientación

En esta sección estudiaremos métodos de integración de funciones con la forma:

$\int \tan^{m}x \sec^{n}xdx$

donde $m$ , y $n$ son enteros no negativos.

Las siguientes tres categorías generales de problemas son de interés:

$n=0$ , por lo que esos problemas se ven como $\int \tan^{m}xdx$ ;
$m=0$ , por lo que esos problemas se ven como $\int\sec^{n}xdx$ ;
$m\ge 1$ y $n\ge 1$ , por lo que esos problemas se ven como $\int \tan^{m}x \sec^{n}xdx$ .

Forma I: $\int\tan^{m}xdx$

Esta forma de la integral puede ser evaluada utilizando una fórmula de reducción general (aplicando la integración por partes para derivar). Una fórmula de reducción es una fórmula solución que reduce una integral a una forma más fácil de resolver, la que a su vez puede ser reducida a una forma aún más sencilla de calcular y así sucesivamente. La fórmula de reducción para la integral es la siguiente:

Fórmula de reducción: $\int\tan^{m}xdx,m\ge 2$

$\int\tan^{m}xdx=\frac{\tan^{m-1}x}{m-1}-\int\tan^{m-2}xdx$

Debes notar que la fórmula de reducción se aplica para $m\ge 2$ . Pero ¿cuál es el resultado para $m=1$ ?

En el caso de $m=1$ , la integral es calculada como se indica a continuación:

$\int\tan x dx & = \int\frac{\sin x}{\cos x} dx\\& = -\int\frac{1}{u}du\\& = -\ln|u|+C\\\int\tan x dx & = -\ln|\cos x|+C$

Para los casos donde $m\ge 2$ , la siguiente tabla entrega una pauta alternativa para utilizar la fórmula de reducción y así calcular la forma $\int\tan^{m}xdx$ .

$\int\tan^{m}xdx,m\ge 2$	Procedimiento	Identidades clave
$m$ es impar $(m=2p+1)$	(1) Transforma la integral: $\int\tan^{m}x dx=\int\tan^{2p}x\tan xdx$ (2) Usa la identidad para transformar la integral: $\int\tan^{2p}x\tan x dx=\int(\sec^{2}x-1)^{p}\tan x dx$ (3) Usa la técnica de sustitución $u$ para cambiar las variables: $u=\sec x$ y $du=\sec x\tan x dx$ se obtiene $\int(\sec^{2}x-1)^{p}\tan x dx=\int(u^{2}-1)^{p}\frac{du}{u}$ (4) Divide la función polinómica en $u$ por $u$ . (5) Integra los términos resultantes de $u$ . (6) Sustituye $\sec x$ por $u$ .	$\tan^{2}x=\sec^{2}x-1$ $u=\sec x$ y $du=\sec x \tan x dx$ , o $\frac{du}{u}=\tan x dx$
$m$ es par $(m=2p)$	(1) Transforma la integral: $\int\tan^{m}x dx=\int\tan^{2p}xdx$ (2) Usa la identidad para transformar la integral: $\int\tan^{2p}x dx=\int(\sec^{2}x-1)^{p} dx$ (3) Expande el integrando en potencias (pares) de $\sec x$ . (4) Integra término por término el polinomio de potencias pares de $\sec x$ utilizando la fórmula de reducción: $\int\sec^{n}xdx=\frac{\sec^{n-2}x \tan x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}xdx$	$\tan^{2}x=(\sec^{2}x-1)$

$\int\tan^{m}xdx,m\ge 2$

Procedimiento

Identidades clave

$m$ es impar

$(m=2p+1)$

(1) Transforma la integral:

$\int\tan^{m}x dx=\int\tan^{2p}x\tan xdx$

(2) Usa la identidad para transformar la integral:

$\int\tan^{2p}x\tan x dx=\int(\sec^{2}x-1)^{p}\tan x dx$

(3) Usa la técnica de sustitución $u$ para cambiar las variables: $u=\sec x$ y $du=\sec x\tan x dx$ se obtiene

$\int(\sec^{2}x-1)^{p}\tan x dx=\int(u^{2}-1)^{p}\frac{du}{u}$

(4) Divide la función polinómica en $u$ por $u$ .

(5) Integra los términos resultantes de $u$ .

(6) Sustituye $\sec x$ por $u$ .

$\tan^{2}x=\sec^{2}x-1$

$u=\sec x$ y $du=\sec x \tan x dx$ , o $\frac{du}{u}=\tan x dx$

$m$ es par

$(m=2p)$

(1) Transforma la integral:

$\int\tan^{m}x dx=\int\tan^{2p}xdx$

(2) Usa la identidad para transformar la integral:

$\int\tan^{2p}x dx=\int(\sec^{2}x-1)^{p} dx$

(3) Expande el integrando en potencias (pares) de $\sec x$ .

(4) Integra término por término el polinomio de potencias pares de $\sec x$ utilizando la fórmula de reducción:

$\int\sec^{n}xdx=\frac{\sec^{n-2}x \tan x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}xdx$

$\tan^{2}x=(\sec^{2}x-1)$

Ejemplo A

Calcula $\int \tan^{3}xdx$

Solución:

Enfoque I

Fórmula de reducción $\int\tan^{m}xdx & = \frac{\tan^{m-1}x}{m-1}-\int\tan^{m-2}xdx\\\int\tan^{3}xdx & =\frac{\tan^{2}x}{2}-\int\tan xdx\\\int \tan^{3}xdx & =\frac{\tan^{2}x}{2}+\ln |\sec x|+C \qquad \ldots \text{or}=\frac{\tan^{2}x}{2}-\ln |\cos x|+C$

Enfoque II

$m$ impar $\int \tan^{3}xdx & = \int \tan^{2}x\tan xdx\\& = \int (\sec^{2}x-1)\tan x dx\\ & = \int(u^{2}-1)\frac{du}{u}\\& = \frac{u^{2}}{2}- \ln |u|+C\\& = \frac{\sec^{2}x}{2}-\ln|\sec x|+C \qquad \ldots \text{or} \ \frac{\tan^{2}x}{2}-\ln|\sec x|+C^\prime, \text{where}\\& \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad C^\prime=C-\frac{1}{2}$

Forma del problema II: $\int\sec^{n}xdx$

En el caso de $n=1$ , la integral es calculada como se indica a continuación:

$\int\sec xdx & =\int\sec x\left(\frac{\sec x+ \tan x}{\sec x+ \tan x}\right)dx\\& = \int\frac{\sec^{2}x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}dx\\& = \int \frac{du}{u} && \ldots \text{Using}\ u \text{-substitution:}\\& && u=\sec x+\tan x \ \text{and}\\& && du=(\sec x\tan x+\sec^{2}x)dx\\& = \ln|u|+C\\\int\sec xdx & = \ln|\sec x+\tan x|+C$

Para calcular potencias de secantes más grandes utiliza la siguiente fórmula de reducción:

Fórmula de reducción: $\int\sec^{n}xdx$

$\int\sec^{n}xdx=\frac{\sec^{n-2}x\tan x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec^{n-2}xdx$

Si $n=2$ , el uso de la fórmula de reducción da como resultado $\int\sec^{2}xdx$

$\int\sec^{2}xdx & = \frac{\sec^{2-2}x\tan x}{2-1}+\frac{2-2}{2-1}\int\sec^{2-2}xdx\\& = \tan x+C$

Este es un resultado familiar.

Ejemplo B

Calcula $\int\sec^{3}xdx$ .

Solución:

Utilizamos la fórmula de reducción de arriba con $n=3$ .

$\int\sec^{n} xdx & = \frac{\sec^{n-2}x\tan x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec^{n-2}xdx\\\int\sec^{3}xdx & = \frac{\sec x\tan x}{2}+\frac{1}{2}\int\sec xdx\\\int\sec^{3}xdx & = \frac{\sec x\tan x}{2}+\frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x|+C$

Forma III: $\int\tan^{m}x \sec^{n}xdx$ , $m\ge 1$ y $n\ge 1$

La siguiente tabla proporciona una pauta para evaluar problemas con esta forma.

$\int\tan^{m}x \sec^{n}xdx$	Procedimiento	Identidades clave
$m$ es impar $(m=2p+1)$	(1) Transforma el integrando separando $\tan x$ y $\sec x$ : $\int\tan^{m}x\sec^{n}xdx=\int\tan^{2p}x\sec^{n-1}x\sec x \tan xdx$ (2) Transforma el integrando completamente a $\sec x$ : $\int(\sec^{2}x-1)^p \sec^{n-1}x\sec x \tan x dx$ (3) Usa la técnica de sustitución $u$ para cambiar las variables: $\int(\sec^{2}x-1)^{p}\sec^{n-1}x\sec x\tan xdx=\int(u^{2}-1)^{p}u^{n-1}du$ (4) Expande el integrando para un polinomio en $u$ . (5) Integra el polinomio resultante en $u$ . (6) Sustituye $\sec x$ para $u$ .	$\tan^{2}x=\sec^{2}x-1$ $u=\sec x$ y $du=\sec x\tan xdx$
$n$ es par $(n=2p)$	(1) Transforma el integrando separando una $\sec^{2}x$ : $\int\tan^{m}x\sec^{n}xdx=\int\tan^{m}x\sec^{2p-2}x\sec^{2}xdx$ (2) Transforma $\sec^{2p-2}x$ a potencias de $(\tan^{2}x+1)$ : $\int\tan^{m}x\sec^{n}xdx=\int\tan^{m}x(\tan^{2}x+1)^{2p-2}x\sec^{2}xdx$ (3) Usa la técnica de sustitución $u$ para cambiar las variables: $\int\tan^{m}x(\tan^{2}x+1)^{2p-2}x\sec^{2}xdx=\int u^{m}(u^{2}+1)^{2(p-1)}du$ (4) Expande el integrando a la forma polinómica en $u$ . (5) Integra el polinomio resultante en términos de $u$ . (6) Sustituye $\tan x$ por $u$ .	$\sec^{2}x=\tan^{2}x+1$ $u=\tan x$ y $du=\sec^{2}xdx$
$m$ es par $(m=2p)$ y $n$ es impar.	(1) Transforma la integral: $\int\tan^{m}x\sec^{n}xdx=\int\tan^{2p}x\sec^{n}xdx$ (2) Usa la identidad para eliminar potencias de $\tan x$ : $\int\tan^{2p}x\sec^{n}xdx=\int(\sec^{2}x-1)^{p}\sec^{n}xdx$ (3) Expande el integrando para obtener potencias de $\sec x$ . (4) Integra el integrando término por término utilizando la fórmula de reducción: $\int\sec^{n}xdx=\frac{\sec^{n-2}x\tan x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec^{n-2}xdx$	$\tan^{2}x=\sec^{2}x-1$

Ejemplo C

Calcula $\int\tan^{2}x\sec^{4}xdx$ .

Solución:

En este caso $n=4$ , es par, por lo que el procedimiento es el siguiente:

$\int\tan^{2}x\sec^{4}xdx & = \int\tan^{2}x\sec^{2}\sec^{2}xdx \qquad\qquad \ldots \text{Split off} \ \sec^{2}x\\& = \int\tan^{2}x(\tan^{2}x+1)\sec^{2}xdx\\& = \int u^{2}(u^{2}+1)du \quad\quad\qquad\qquad\ldots\text{Use}\ u \text{-subtitution:}\\& \qquad\qquad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad u=\tan x \text{ and } du=\sec^{2}xdx\\& = \int(u^{4}+u^{2})du\\& = \frac{u^{5}}{5}+\frac{u^{3}}{3}+C\\\int\tan^{2}x\sec^{4}xdx & =\frac{\tan^{5}x}{5}+\frac{\tan^{3}x}{3}+C \qquad\qquad \ldots \text{Substitute}\tan x \ \text{for} \ u$

Análisis del Problema de la Sección

Comprueba si puedes escribir la relación de identidad entre las funciones tangentes y secantes (¿puedes derivar utilizando la relación seno/coseno?). ¿Conoces las relaciones entre sus derivadas? ¿Puedes calcular $\int\tan x\sec^{2}xdx$ ?

1. La relación de identidad es: $\tan^{2}x+1=\sec^{2}x$ , que puede ser derivada a partir de $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ dividiendo ambos lados de la ecuación por $\cos^{2}x$ .

2. Las relaciones de las derivadas son las siguientes: $\frac{d}{dx}\tan x=\sec^{2}x$ y $\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x$ .

3. Para calcular $\int\tan x\sec^{2}xdx$ , let $u=\tan x, du=\sec^{2}xdx$ .

Luego $\int\tan x\sec^{2}xdx=\int u du=\frac{u^{2}}{2}+C=\frac{\tan^{2}x}{2}+C$ .

Vocabulario

Una fórmula de reducción es una fórmula solución que reduce una integral a una forma más fácil de resolver, la que a su vez puede ser reducida a una integral aún más fácil de calcular y así sucesivamente.

Práctica guiada

Calcula $\int\tan^{3}x\sec^{3}xdx$ .

Solución:

En este caso $m=3$ , utilizamos el siguiente procedimiento:

$\int\tan^{3}x\sec^{3}xdx & =\int\tan^{2}x\sec^{2}x \sec x \tan x dx\\& = \int(\sec^{2}x-1)\sec^{2}x\sec x\tan xdx\\& = \int(u^{2}-1)u^{2}du && \ldots\text{Using}\ u \text{-substitution:}\\& && u=\sec x \text{ and } du=\sec x\tan xdx\\& = \int(u^{4}-u^{2})du\\& = \frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{3}}{3}+C\\\int\tan^{2}x\sec^{4}xdx & =\frac{\sec^{5}x}{5}-\frac{\sec^{3}x}{3}+C && \ldots\text{Substitute }\sec x \ \text{for} \ u$

Práctica

Calcula las integrales.

1. $\int\tan^{4}xdx$

2. $\int\tan^{5}xdx$

3. $\int\sec^{4}xdx$

4. $\int\sec^{5}xdx$

5. $\int\sec^{4}x\tan^{3}xdx$

6. $\int\tan^{4}x\sec xdx$

7. $\int\sqrt{\tan x}\sec^{4}xdx$

8. Grafica y luego encuentra el volumen del sólido que resulta cuando la región está limitada por $y=\sec x\tan x,y=0,y=\sqrt{2},x=0$ , y $x=\pi$ gira en torno al eje $x$ .

Calcula las integrales:

9. $\int x\sec^{2}(3x^{2})dx$

10. $\int x^{2}\tan(4x^{3})\sec^{2}(4x^{3})dx$

11. $\int \sec^{7}(x)\tan^{5}(x)dx$

12. $\int\sec^{4}(x)\tan^{7}(x)dx$

13. $\int\sec^{3}(x)\tan^{3}(x)dx$

14. $\int\sec^{4}(x)\tan^{2}(x)dx$

15. $\int\sec^{5}(x)\tan(x)dx$

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