Integración de productos de senos y cosenos con ángulos diferentes

Objetivos

En esta sección, aprenderás a calcular las integrales de productos de funciones seno y coseno que tienen ángulos distintos.

Concepto

En las secciones anteriores se abordaron las integrales en las que se utilizaban productos de funciones trigonométricas con un mismo ángulo. ¿Qué pasaría si los factores de funciones trigonométricas tuvieran diferentes argumentos (ángulos)? Esto ocurre en muchos problemas científicos y de ingeniería. Un recurso matemático que es extremadamente útil para modelar algunas funciones es la serie de Fourier, que es una suma infinita de ondas de seno. En términos simples, una función $S(x)$ puede ser modelada como:

$S(x)=a_1 \sin x+a_2 \sin 2x+a_3 \sin 3x \cdots =\sum\limits_{n=1}^\infty a_n \sin nx.$

Los pesos $a_n$ reflejan qué frecuencias son las más prominentes en la función modelada $S(x)$ . Una de las características claves de las series de Fourier es la “ortogonalidad” de cada una de las funciones seno, definidas como $\int\limits_{0}^{\pi} \sin kx \sin mx dx=0$ con $k \ne m$ . ¿Puedes calcular la integral $\int\limits_{0}^{\pi} \sin kx \sin mx dx=0$ para demostrar la ortogonalidad?

Mira Esto

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*Este video sólo se encuentra disponible en inglés.

http://www.youtube.com/watch?v=QdNScjd5bno - patrickJMT: Trigonometric Integrals, Part 5 (5:58)

Orientación

Esta sección aborda las integrales relacionadas con las funciones del producto o productos de funciones seno y coseno que tienen argumentos lineales diferentes, por ejemplo, $\int \sin(ax) \sin(bx) dx$ , o $\int \sin^2 (ax) \cos(cx) dx$ . El procedimiento está conformado por las siguientes tres identidades básicas del producto de seno y coseno que implican diferentes argumentos:

Identidad de producto seno/coseno	Derivada a partir de
$\sin A \sin B=\frac{1}{2} \left[\cos (A-B)- \cos (A+B) \right]$	$\cos(A+B)=\cos A \cos B- \sin A \sin B$ $\cos(A-B)=\cos A \cos B+ \sin A \sin B$
$\sin A \cos B=\frac{1}{2} \left[\sin (A-B)+ \sin (A+B) \right]$	$\sin(A+B)=\sin A \cos B- \cos A \sin B$ $\sin(A-B)=\sin A \cos B+ \cos A \sin B$
$\cos A \cos B=\frac{1}{2} \left[\cos (A-B)+ \cos (A+B) \right]$	$\cos(A+B)=\cos A \cos B- \sin A \sin B$ $\cos(A-B)=\cos A \cos B+ \sin A \sin B$

El procedimiento consiste en aplicar las identidades para reducir la complejidad del integrando.

Ejemplo A

Calcula $\int \sin x \sin 3x dx$

Solución:

$\int \sin x \sin 3x dx &=\int \frac{1}{2} \left[\cos(x-3x)- \cos(x+3x) \right]dx \\&=\int \frac{1}{2} \left[\cos(-2x)- \cos(4x) \right]dx \\&=\frac{1}{2} \left[\frac{\sin(-2x)}{-2} \right]- \frac{1}{2} \left[\frac{\sin 4x}{4} \right] \\\int \sin x \sin 3x dx &=\frac{\sin(2x)}{4}- \frac{\sin 4x}{8}+C \qquad \qquad \ldots \text{Use}$

Ejemplo B

Calcula $\int \sin(9x) \cos(4x) dx$

Solución:

$\int \sin(9x) \cos(4x)dx &=\int \frac{1}{2} \left[\sin(9x-4x)+ \sin(9x+4x) \right] dx\\&=\frac{1}{2} \int \left[\sin(5x)+ \sin(13x) \right]dx \\&=\frac{1}{2} \left[\frac{- \cos(5x)}{5} \right]+ \frac{1}{2} \left[\frac{- \cos 13x}{13} \right] \\\int \sin(9x) \cos(4x) dx &=- \left[\frac{\cos(5x)}{10}+ \frac{\cos(13x)}{26} \right]+C$

Ejemplo C

Calcula $\int \cos(9x) \cos(5x) dx$

Solución:

$\int \cos(9x) \cos(5x)dx &=\int \frac{1}{2} \left[\cos(9x-4x)+ \cos(9x+4x) \right]dx \\&=\frac{1}{2} \int \left[\cos(5x)+ \cos(13x) \right]dx \\&=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin(5x)}{5} \right]+ \frac{1}{2} \left[\frac{\sin 13x}{13} \right]+C \\\int \sin(9x) \cos(4x)dx &=\left[\frac{\sin(5x)}{10}+ \frac{\sin 13x}{26} \right]+C$

Análisis del Problema de la Sección

¿Puedes calcular la integral $\int\limits_{0}^{\pi} \sin kx \sin mx dx=0$ para demostrar la ortogonalidad?

Opción 1: Utilizando la integración por partes (se debe aplicar dos veces) para resolver la integral se obtiene

$\int\limits_{0}^{\pi} \sin kx \sin mx dx=\frac{1}{m^2-k^2}[k \cos k \pi \sin m \pi-m \sin k \pi \cos m \pi].$

Para que la integral sea 0, $m$ y $k$ deben ser enteros $(\sin m \pi =\sin k \pi =0)$

Opción 2: Utilizando las propiedades de suma y diferencia de ángulos en el integrando se obtiene $\sin kx \sin mx=\frac{1}{2} [\cos(k-m)x- \cos(k+m)x]$ . La integral se convierte en

$\int\limits_{0}^{\pi} \sin kx \sin mx dx=\frac{1}{2(k^2 -m^2)}[(k+m) \sin(k-m) \pi -(k-m) \sin(k+m) \pi].$

Para que la integral sea 0, $(k-m)$ y $(k+m)$ deben ser enteros.

Práctica guiada

Calcula la integral $\int \sin^2 2x \cos 7x dx$

Solución:

$\int \sin^2 2x \cos 7x dx &=\int \frac{1}{2}(1- \cos 4x) \cos 7x dx \\&=\int \frac{1}{2}(\cos 7x- \cos 4x \cos 7x)xdx \\&=\frac{1}{2} \int \cos 7x dx- \frac{1}{2} \int \cos 4x \cos 7x dx \\&=\frac{1}{14} \sin 7x- \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} [\cos 11x+ \cos 4x]dx \\&=\frac{1}{14} \sin 7x- \frac{1}{4} \left[\frac{\sin 11x}{11}+ \frac{\sin 4x}{4} \right]+C \\&=\frac{1}{14} \sin 7x- \frac{1}{44} \sin 11x- \frac{1}{12} \sin 3x+C$

Práctica

Calcula las integrales:

$\int \sin 2x \cos 3x dx$
$\int \sin 4x \sin 3x dx$
$\int \cos 3x \cos 4x dx$
$\int \cos 2x \cos 3x dx$
$\int \cos 2x \sin 3x dx$
$\int \sin 2x \sin 3x dx$
$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4 \sin x \cos(\frac{x}{3})dx$
$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4 \sin (\frac{x}{3}) \cos(x)dx$
$\int \sin(6x) \sin(2x) dx$
$\int \cos(2x) \cos(-x)dx$
$\int \sin(10x) \cos(5x)dx$
$\int \sin^3 (3x) \cos(5x)dx$
$\int\limits_{0}^{2}\cos(3 \pi x) \cos^2 (\pi x)dx$
$\int x \sin 2x \sin 3x dx$
$\int x \cos 2x \cos 3x dx$

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