Cálculo de integrales mediante sustituciones trigonométricas

Objetivos

En esta sección, aprenderás a calcular la integral de ciertas funciones utilizando la técnica de sustituciones trigonométricas.

Concepto

Los alumnos de una escuela están pintando un gran mural con la cara del fundador de la escuela. Los dos ojos del mural fueron dibujados como elipses que contienen la parte blanca del ojo y un iris/pupila dibujado con la forma de un círculo cuyo radio es el semieje menor de la elipse. Si la elipse es $\frac{x^2}{9}+ \frac{y^2}{4}=1$ , ¿cuál es la proporción entre el área de la parte blanca del ojo y el área del iris/pupila?

Mira Esto

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www.youtube.com/watch?v=yW6Odu0YHL0 - Las sustituciones trigonométricas, Tutoría de Matemáticas (9:30)

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http://www.youtube.com/watch?v=hxt5hd0CFXc - Las sustituciones trigonométricas, Tutoría de Matemáticas Parte 2 (4:20).

Orientación

Cuando nos enfrentamos a integrales que involucran radicales con las formas mostradas en la tabla de abajo, podemos realizar las sustituciones trigonométricas identificadas para eliminar el radical.

Expresion en el integrando	Sustitución trigonométrica	Identidad que se necesita
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a \sin \theta$ $- \frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$	$1- \sin^2 \theta= \cos^2 \theta$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a \tan \theta$ $- \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$	$1+ \tan^2 \theta=\sec^2 \theta$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a \sec \theta$ $- \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$	$\sec^2 \theta-1= \tan^2 \theta$

Por ejemplo, para eliminar el radical de la expresión $\sqrt{a^2-x^2}$

Podemos sustituir $x=a \sin \theta$ (con $\theta$ restringido al rango del seno inverso)

lo que da,

$\sqrt{a^2-x^2} &=\sqrt{a^2-a^2 \sin^2 \theta} \\&=\sqrt{a^2(1- \sin^2 \theta)} \\&=a \sqrt{\cos^2 \theta} \\\sqrt{a^2-x^2} &=a \cos \theta$

En la tabla anterior, la segunda columna muestra una lista de las sustituciones más comunes. Éstas provienen de triángulos retángulos de referencia como se muestra en la imagen de abajo. Queremos que cualquiera de las sustituciones que usemos en la integración sea reversible para que podamos volver a la variable original más tarde. Los siguientes triángulos rectos de la siguiente imagen nos ayudarán a revertir nuestras sustituciones.

Imagen 8.1

Sustituciones trigonométricas y sus triángulos rectos de referencia.

Ejemplo A

Calcula $\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4-x^2}}$ .

Solución:

Nuestro primer objetivo es eliminar el radical. Para hacerlo, vemos que la forma $\sqrt{4-x^2}$ está asociada con la sustitución trigonométrica $x=2 \sin \theta$ , $(- \frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2})$ , de manera que $dx=2 \cos \theta d \theta$

Nuestra integral se convierte en

$\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4-x^2}} &=\int \frac{2 \cos \theta d \theta}{(2 \sin \theta)^2 \sqrt{4-4 \sin^2 \theta}} \\&=\int \frac{2 \cos \theta d \theta}{(2 \sin \theta)^2(2 \cos \theta)} \\&=\frac{1}{4} \int \frac{d \theta}{\sin^2 \theta} \\&=\frac{1}{4} \int \csc^2 \theta d \theta \\\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4-x^2}} &=- \frac{1}{4} \cot \theta+C$

Hasta esta fase no integramos. Sin embargo, para completar la solución necesitamos expresar $\cot \theta$ en términos de $x$ . En la imagen de los triángulos anteriores, el segundo triángulo representa nuestro caso con $a=2$ . por lo que $x=2 \sin \theta$ y $2 \cos \theta=\sqrt{4-x^2}$ , entonces $\cot \theta=\frac{\sqrt{4-x^2}}{x} \left(\text{since} \ \cot \theta= \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)$ .

Por lo tanto

$\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4-x^2}}=- \frac{1}{4} \frac{\sqrt{4-x^2}}{x}+C.$

Ejemplo B

Calcula $\int \frac{\sqrt{x^2-3}}{x}dx$ .

Solución:

Nuevamente, lo primero que queremos hacer es eliminar el radical. Consulta la tabla de arriba y sustituye $x=\sqrt{3} \sec \theta$ .

Entonces $dx=\sqrt{3} \sec \theta \tan \theta d \theta$ .

Sustituyendo de nuevo en la integral,

$\int \frac{\sqrt{x^2-3}}{x}dx &=\int \frac{\sqrt{3 \sec^2 \theta-3}}{\sqrt{3} \sec \theta} \sqrt{3} \sec \theta \tan \theta d \theta \\&=\sqrt{3} \int \tan^2 \theta d \theta \\\int \frac{\sqrt{x^2-3}}{x}dx &=\sqrt{3}(\tan \theta- \theta)+C \qquad \ldots \text{Using the integral identity} \\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \int \tan^m x dx=\frac{\tan^{m-1}x}{m-1}- \int \tan^{m-2} x dx \ \text{with} \ m=2$

Si miras los triángulos de arriba, el tercer triángulo representa nuestro caso, con $a=\sqrt{3}$ , lo que significa que $\tan \theta=\frac{\sqrt{x^2-3}}{\sqrt{3}}$ .

Sustituyendo,

$\int \frac{\sqrt{x^2 -3}}{x}dx &=\sqrt{3}(\tan \theta- \theta)+C \\&=\sqrt{3} \left(\frac{\sqrt{x^2 -3}}{\sqrt{3}}- \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{x^2 -3}}{\sqrt{3}} \right) \right)+C \\\int \frac{\sqrt{x^2 -3}}{x}dx &=\sqrt{x^2 -3}- \sqrt{3} \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{x^2 -3}}{\sqrt{3}} \right)+C$

Ejemplo C

Calcula $\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2+1}}$ .

Solución:

A partir de la tabla de arriba, deja $x= \tan \theta$ , luego $x=\sec^2 \theta d \theta$ . Sustituyendo en la integral, $\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2+1}}=\int \frac{\sec^2 \theta d \theta}{\tan^2 \theta \sqrt{\tan^2 \theta+1}}$ .

Pero debido a que $\tan^2 \theta+1=\sec^2 \theta$ ,

$\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2+1}}=\int \frac{\sec^2 \theta d \theta}{\tan^2 \theta \sqrt{\tan^2 \theta+1}}$ .

$\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2+1}} &=\int \frac{\sec^2 \theta d \theta}{\tan^2 \theta \sqrt{\tan^2 \theta+1}}. \\&=\int \frac{\sec^2 \theta d \theta}{\tan^2 \theta \sec \theta}. \\&=\int \frac{\sec \theta d \theta}{\tan^2 \theta} \\&=\int \frac{1}{\cos \theta} \frac{\cos^2 \theta d \theta}{\sin^2 \theta} \\&=\int \cot \theta \csc \theta d \theta \\\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2+1}} &=- \csc \theta +C \qquad \qquad \ldots \text{Since} \ \frac{d}{d \theta}(\csc \theta)=- \cot \theta \csc \theta$

Si miras los triángulos de arriba, el primer triángulo representa nuestro caso, con $a=1$ .

Por lo que $x=\tan \theta$ , y $\sin \theta=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ , lo que da $\csc \theta=\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}$ .

Sustituyendo,

$\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 +1}} &=- \csc \theta+C \\&=- \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+C$

Análisis del Problema de la Sección

Si cada ojo tiene la forma de una elipse $\frac{x^2}{9}+ \frac{y^2}{4}=1$ , ¿cuál es la proporción entre el área de la parte blanca del ojo y el área del iris/pupila que tiene la forma de un círculo con un radio igual al semieje menor?

El área de la elipse menos el área del círculo da como resultado el área de la parte blanca del ojo.

(1) ) ¿Cuál es el área de la elipse $\frac{x^2}{9}+ \frac{y^2}{4}=1$ ? Despejando $y$ en la ecuación se obtiene $y=\sqrt{4- \frac{4}{9} x^2}$ , $-3 \le x \le 3$ , para la parte más grande de la elipse. La integral para determinar el área $A_e$ de la elipse puede ser escrita como $A_e=2 \int\limits_{-3}^{3} \sqrt{4- \frac{4}{9} x^2 dx}$ . La integral también puede ser escrita como $A_e=4 \int\limits_{-3}^{3} \sqrt{1- \left(\frac{1}{3}x \right)^2}dx$ . Si dejamos $\frac{1}{3}x=\sin \theta$ , de manera que $dx=3 \cos \theta d \theta$ , la integral puede ser escrita de la siguiente manera:

$A_e=4 \int\limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-(\sin \theta)^2} \cdot 3 \cos \theta d \theta=12 \int\limits_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d \theta=6 \left[\theta+ \frac{\sin 2 \theta}{2} \right]_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=6 \pi \ square \ units.$

(2) El área $A_i$ del iris/pupila es.

(3) Por lo tanto, el área de la parte blanca es: $A_e-A_i=6 \pi-4 \pi=2 \pi$ .

(4) La proporción entre el área de la parte blanca del ojo y el área del iris/pupila es $\frac{A_e-A_i}{A_i}=\frac{2 \pi}{4 \pi}=\frac{1}{2}$ .

Vocabulario

Una sustitución trigonométrica consiste en sustituir una función trigonométrica por una variable en una expresión (p. ej., $\sqrt{a^2-x^2}$ , $\sqrt{x^2-a^2}$ , $\sqrt{x^2+a^2}$ ) con el fin de crear una identidad trigonométrica que simplifique un integrando.

Práctica guiada

Calcula $\int \sqrt{9+4x^2} dx$

Solución:

$\int \sqrt{9+4 x^2} dx &=\int 2 \sqrt{\left(\frac{3}{2} \right)^2+ x^2} dx \\&=\int 2 \sqrt{\left(\frac{3}{2} \right)^2+ \left(\frac{3}{2} \right)^2 \tan^2 \theta} \frac{3}{2} \sec^2 \theta d \theta && \ldots \text{Use the substitution} \ x=\frac{3}{2} \tan \theta \\&&&\text{And} \ dx=\frac{3}{2} \sec^2 \theta d \theta \\&=\int 2 \left(\frac{3}{2} \right)^2 \sqrt{1+ \tan^2 \theta} \sec^2 \theta d \theta \\&=\frac{9}{2} \int \sec^3 \theta d \theta \\\int \sqrt{9+4 x^2} dx &=\frac{9}{4} \left(\sec \theta \tan \theta+ \ln |\sec \theta+ \tan \theta|\right)+C$

Utilizando $x=a \tan \theta$ y el triángulo rectángulo asociado de más arriba, se obtiene

$\tan \theta=\frac{2x}{3}$ y $\sec \theta=\frac{\sqrt{\frac{9}{4}+x^2}}{\frac{3}{2}}$ . Por lo tanto

$\int \sqrt{9+ 4 x^2} dx &=\frac{9}{4} \left(\sec \theta \tan \theta+ \ln | \sec \theta+ \tan \theta| \right)+C \\&=\frac{9}{4} \left(\frac{\sqrt{\frac{9}{4}+x^2}}{\frac{3}{2}} \cdot \frac{x}{\frac{3}{2}}+ \ln \Bigg |\frac{\sqrt{\frac{9}{4}+x^2}}{\frac{3}{2}}+ \frac{x}{\frac{3}{2}} \Bigg| \right) +C \\&=\frac{9}{4} \left(\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} x \sqrt{9+4 x^2}+ \ln \Bigg|\frac{\frac{1}{2} \left(\sqrt{9+4 x^2}+2x \right)}{\frac{3}{2}} \Bigg| \right)+C \\&=\frac{1}{2}x \sqrt{9+4 x^2}+ \frac{9}{4} \left(\ln \bigg|\sqrt{9+4 x^2}+2x \bigg|+ \ln \frac{1}{3} \right)+C \\\int \sqrt{9+4 x^2}dx &=\frac{1}{2}x \sqrt{9+4 x^2}+ \frac{9}{4} \ln \bigg|\sqrt{9+4 x^2}+2x \bigg|+C^\prime$

Práctica

Calcula las integrales.

$\int \sqrt{4-x^2} dx$
$\int \frac{1}{\sqrt{9+x^2}} dx$
$\int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}dx$
$\int \frac{1}{\sqrt{1-9x^2}} dx$
$\int x^3 \sqrt{4-x^2} dx$
$\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2-36}} dx$
$\int \frac{1}{(x^2+25)^2} dx$
$\int\limits_{0}^{4} x^3 \sqrt{16-x^2} dx$
$\int\limits_{- \pi}^{0} e^x \sqrt{1-e^{2x}} dx$ ( Pista: Primero sustituye $u$ , dejando $u=e^x$ )
Grafica y luego encuentra el área de la superficie generada por la curva $y=x^2$ desde $x=0$ hasta $x=1$ , y que gira en torno al eje $x$ .

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