Integrales impropias: Límites de integración infinitos

Objetivos

En esta sección, aprenderás a identificar una integral impropia y a calcular una integral impropia que tiene límites infinitos.

Concepto

Una función de densidad de probabilidad $f(x)$ debe tener la característica de que al integrarla en su dominio entero $a \le x \le b$ sea igual a 1, es decir, $\int \limits_{a}^{b} f(x)dx=1$ . Imagina que una variable al azar tiene una función de densidad de probabilidad exponencial $f(x)=Ae^{-|x|}$ sobre todos los valores reales de $x$ . Entonces $\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = \int\limits_{-\infty}^{\infty} Ae^{-|x|}dx=1$ . ¿Cómo calculas esta integral con los límites infinitos de integración para encontrar el valor de $A$ ?

Mira Esto

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http://www.youtube.com/watch?v=F19y9IiH-cM - James Sousa: Integral inadecuada

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http://www.youtube.com/watch?v=5Tz992fOYAA - James Sousa - Ex 1: Integral inadecuada

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http://www.youtube.com/watch?v=CvziF8rGSnw - James Sousa - Ex 3: Integral inadecuada

Orientación

El concepto de integrales impropias es una ampliación del concepto de integrales definidas. El término impropia se debe a que aquellas integrales

incluyen la integración sobre límites infinitos o
el integrando puede convertirse en infinito dentro de los límites de integración.

Recuerda que en la definición del integral definido $\int\limits_{a}^{b}f(x) dx$ suponemos que el intervalo de integración $[a, b]$ es finito y la función $f$ es continua en este intervalo. En esta sección, revisaremos el caso 1 donde la integración se encuentra sobre límites infinitos, pero el integrando es continuo en los límites. La tabla a continuación proporciona una pauta para evaluar estas integrales impropias.

Definición de integral impropia para una $f(x)$ continua

(1) Si $f$ es continua sobre el intervalo $[a, \infty]$ entonces la integral impropia $\int\limits_{a}^{\infty}f(x) dx$ es definida como:

$\int\limits_{a}^{\infty} f(x) dx=\lim_{l \to \infty} \int\limits_{a}^{l} f(x) dx.$ (2) Si $f$ es continua sobre el intervalo $[-\infty, a]$ , entonces la integral impropia $\int\limits_{-\infty}^{a}f(x) dx$ es definida como:

$\int\limits_{-\infty}^{a} f(x) dx=\lim_{l \to -\infty} \int\limits_{l}^{a} f(x) dx.$ (3) Si el integrando $f$ es continuo sobre el intervalo $[-\infty, \infty]$ entonces la integral impropia $\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$ es definida como:

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) dx=\lim_{l \to -\infty} \int\limits_{l}^{c} f(x) dx + \lim_{l \to \infty} \int\limits_{c}^{l} f(x) dx,$ donde $c$ es cualquier número real.

Si existe la integración de la integral impropia, entonces decimos que la integral converge . Pero si el límite de integración no existe, entonces se dice que la integral impropia diverge. La integral de más arriba tiene una interpretación geométrica importante que necesitas considerar. Recuerda que geométricamente la integral definida $\int\limits_{a}^{b}f(x) dx$ representa el área bajo la curva. Asimismo, la integral $\int\limits_{a}^{l}f(x) dx$ es una integral definida que representa el área bajo la curva $f$ sobre el intervalo $[a, l]$ como se muestra la imagen de abajo. Sin embargo, al aproximarse $l$ a $\infty$ , esta área se expandirá hasta el área bajo la curva de $f$ y por sobre el intervalo completo $[a, \infty]$ . Por lo tanto, la integral impropia $\int\limits_{a}^{\infty}f(x) dx$ puede ser considerada como el área bajo la función $f$ sobre el intervalo $[a, \infty]$ .

Ejemplo A

Calcula $\int\limits_{1}^{\infty} \frac{dx}{x}$ .

Solución:

Notamos inmediatamente que la integral es impropia ya que el límite de integración superior tiende a infinito. Primero, reemplaza el límite superior infinito por el límite finito $l$ y toma el límite de $l$ para tender al infinito:

$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{dx}{x} &= \lim_{l \to \infty} \int\limits_{1}^{l} \frac{dx}{x} \\&= \lim_{l \to \infty} [\ln x]^l_1 \\&= \lim_{l \to \infty} (\ln l - \ln 1) \\&= \lim_{l \to \infty} (\ln l) \\\int\limits_{1}^{\infty} \frac{dx}{x} &= \infty$

De este modo, la integral diverge.

Ejemplo B

Calcula $\int\limits_{2}^{\infty} \frac{dx}{x^2}$ .

Solución:

$\int\limits_{2}^{\infty} \frac{dx}{x^2} &= \lim_{l \to \infty} \int\limits_{2}^{l} \frac{dx}{x^2} \\&= \lim_{l \to \infty} \left[\frac{-1}{x}\right]^l_2 \\&= \lim_{l \to \infty} \left(\frac{-1}{l} + \frac{1}{2}\right) \\\int\limits_{2}^{\infty} \frac{dx}{x^2} &= \frac{1}{2}$

Por consiguiente, la integración converge a $\frac{1}{2}$ .

Ejemplo C

Calcula $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^2}$ .

Solución:

Lo primero que se debe hacer es separar la integral en dos intervalos $(-\infty, 0]$ y $[0, \infty)$ .

Así la integral se convierte en:

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^2} &= \int\limits_{-\infty}^{0} \frac{dx}{1+x^2} + \int\limits_{0}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^2}. \\&=\lim_{l \to -\infty} \int\limits_l^0 \frac{dx}{1+x^2} + \lim_{l \to \infty} \int\limits_0^l \frac{dx}{1+x^2} \\&= \lim_{l \to -\infty} \left[\tan^{-1} x\right]^0_l + \lim_{l \to \infty} \left[\tan^{-1} x\right]^l_0\\ &= \lim_{l \to -\infty} \left[\tan^{-1} 0 - \tan^{-1} l\right] + \lim_{l \to \infty} \left[\tan^{-1} l - \tan^{-1} 0\right] \\&= \left[0 - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right] + \left[\left(\frac{\pi}{2}\right) - 0 \right] \\\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^2} &= \pi$

Observación: En este ejemplo, separamos la integral en $x=0$ . Sin embargo, podríamos haber separado la integral en cualquier valor de $x=c$ sin que eso afecte la convergencia o divergencia de la integral. La elección es completamente arbitraria.

Análisis del Problema de la Sección

Calcula la integral impropia $\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int\limits_{-\infty}^{\infty} Ae^{-|x|} dx=1$ para encontrar el valor de $A$ ?

Utilizando la definición de límite de la integral impropia, $\int\limits_{-\infty}^{\infty}Ae^{-|x|} dx=1=\lim_{p \to -\infty} \int\limits_{p}^{0} Ae^x dx + \lim_{p \to \infty} \int\limits_{0}^{p} Ae^{-x}dx=2A \lim_{p \to \infty} \left[-e^{-x}\right]_0^p=2A[0+1].$

Por lo tanto $A=\frac{1}{2}$ , de forma que $f(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|}$ .

Vocabulario

Una integral impropia es una integral que tiene uno o ambos de sus límites de integración en $+\infty$ o $-\infty$ , y/o tiene una discontinuidad en el integrando dentro de los límites de integración.

Se dice que una integral impropia converge , cuando existe un límite de integración.

Se dice que una integral impropia diverge , cuando no existe el límite de integración.

Práctica guiada

Calcula la integral impropia $\int\limits_{0}^{\infty}e^{-5x} dx$ .

Solución:

$\int\limits_{0}^{\infty} e^{-5x} dx &= \lim_{a \to \infty} \int\limits_{0}^{a} e^{-5x} dx \\&= \lim_{a \to \infty} \left[-\frac{e^{-5x}}{5}\right]^a_0 \\&= \lim_{a \to \infty}\left[-\frac{e^{-5a}}{5} + \frac{1}{5}\right] \\\int\limits_{0}^{\infty} e^{-5x} dx &= \frac{1}{5} \\\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^2} &= \pi$

Práctica

1. Determina si las siguientes integrales son impropias. Si es así, explica por qué.

a. $\int\limits_{1}^{7} \frac{x+2}{x+3} dx$

b. $\int\limits_{-\infty}^{0} \frac{x^3+2}{x-7} dx$

c. $\int\limits_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x-2}} dx$

d. $\int\limits_{0}^{\infty} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx$

Calcula la integral o determina si diverge.

2. $\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2.001}} dx$

3. $\int\limits_{-\infty}^{-2} \left[\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right] dx$

4. $\int\limits_{-\infty}^{0} e^{5x} dx$

5. $\int\limits_{1}^{\infty} x^2 dx$

6. $\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{5x} dx$

7. $\int\limits_{2}^{\infty} \left[\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right] dx$

8. La región entre el eje $x$ y la curva $y=e^{-x}$ para $x \ge 0$ gira en torno al eje $x$ .

Encuentra el volumen de un sólido de revolución, $V$ .
Encuentra el área de la superficie del volumen generado, $S$ .

Calcula las siguientes integrales.

9. $\int\limits_{2}^{\infty} \frac{10}{x^3} dx$

10. $\int\limits_{2}^{\infty} \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} dx$

11. $\int\limits_{2}^{\infty} \frac{10}{x^5} dx$

12. $\int\limits_{2}^{\infty} \frac{10}{x^{\frac{1}{5}}} dx$

13. Según los resultados de los problemas 9-12 de más arriba, decide si el siguiente enunciado es verdadero o falso: $\int\limits_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^p}$ converge si $p>1$ , y de otra manera diverge.

14. La función Gamma, $\Gamma(x)$ , es una integral impropia que aparece frecuentemente en la física cuántica. Se define como $\Gamma(x)=\int\limits_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-t}dt$ . La integral converge para todas las $x \ge 0$ . Encuentra $\Gamma(1)$ .

15. Consulta la definición de función Gamma que se dio en el ejercicio anterior para probar lo siguiente: $\Gamma(x+1)=x \Gamma(x)$ , para todas $x \ge 0$ .

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