Integrales impropias: Integrandos con discontinuidades

Objetivos

En esta sección, aprenderás a identificar una integral impropia y a calcular una integral impropia que tiene un integrando con discontinuidades.

Concepto

Evaluar algunas integrales definidas sin determinar si la integral es impropia puede llevar, en ocasiones, a una solución errónea. A modo de ejemplo, intenta evaluar la integral $\int\limits_{0}^{\pi}\sec^{2}xdx$ antes de continuar con esta sección. ¿Sabes por qué la integral es impropia?

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*Este video sólo se encuentra disponible en inglés.

http://www.youtube.com/watch?v=85-HNJyuyrU - Integrales impropias, www.justmathtutoring.com (6:23).

Orientación

En esta sección continuamos con el tema de las integrales impropias. Recuerda que el término impropia se debe a que aquellas integrales:

incluyen la integración sobre límites infinitos o
el integrando puede convertirse en infinito dentro de los límites de integración.

En esta sección abordaremos el caso 2, en el que el integrando puede ser discontinuo dentro de los límites de integración. Esto significa que el integrando tiene una asíntota vertical (una discontinuidad infinita) en el límite de integración o en algún punto del intervalo de integración.

La tabla de más abajo proporciona una pauta para evaluar estas integrales impropias.

Definición de integral impropia para $f(x)$ discontinua

(1) Si $f$ es discontinua en $x=a$ en el intervalo $[a,b]$ , entonces la integral impropia $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ es definida como: $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{l \to a^{+}}\int\limits_{l}^{b}f(x)dx$

(2) Si $f$ es discontinua en $x=b$ en el intervalo $[a,b]$ , entonces la integral impropia $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ es definida como: $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{l \to b^{-}}\int\limits_{a}^{l}f(x)dx.$

(3) Si el integrando $f$ es discontinuo en $x=c$ sobre el intervalo $[a,b]$ entonces la integral impropia $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ es definida como:

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{l \to c^{-}}\int\limits_{a}^{l}f(x)dx+\lim\limits_{l \to c^{+}}\int\limits_{l}^{b}f(x)dx.$

Debes recordar de la lección acerca de Integrales definidas en el capítulo 5 que para que la función $f$ sea integrable, ésta debe estar limitada por el intervalo $[a,b]$ . De otra manera, la función no es integrable y, por lo tanto, no existe. Por ejemplo, la integral

$\int\limits_{0}^{4} \frac{dx}{x-1}$

desarrolla una discontinuidad infinita en $x=1$ debido a que el integrando tiende a infinito en dicho punto. Sin embargo, la integral es continua en los intervalos $[0,1)$ y $(1,4]$ . Si observas la integral cuidadosamente, podemos separar el intervalo $[0,4]\rightarrow[0,1)\cup(1,4]$ e integrarlo entre esos dos intervalos para ver si la integral converge.

$\int\limits_{0}^{4}\frac{dx}{x-1}=\int\limits_0^1 \frac{dx}{x-1}+\int\limits_{1}^{4}\frac{dx}{x-1}.$

A continuación evaluamos cada integral impropia. Integrando la primera integral al lado derecho,

$\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{x-1} & =\lim_{l \to 1^{-}}\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{x-1}\\& = \lim_{l \to 1^{-}}[\ln|x-1|]_0^l\\& = \lim_{l \to 1^{-}}[\ln|l-1|-\ln|-1|]\\& = -\infty.$

La integral diverge ya que $\ln(0)$ es indefinida y, por lo tanto, no hay razón para calcular la segunda integral. Podemos concluir que la integral original diverge y no tiene valor finito.

Ejemplo A

Calcula $\int\limits_{1}^{3}\frac{dx}{\sqrt{x-1}}$ .

Solución:

$\int\limits_{1}^{3}\frac{dx}{\sqrt{x-1}} & = \lim_{l \to 1^{+}} \int\limits_{1}^{3}\frac{dx}{\sqrt{x-1}}\\& = \lim_{l \to 1^{+}}\left[2\sqrt{x-1}\right]_l^3\\& = \lim_{l \to 1^{+}}\left[2\sqrt{2}-2\sqrt{l-1}\right]\\& = 2\sqrt{2}.$

Por consiguiente, la integración converge para $2\sqrt{2}$ .

Ejemplo B

En el capítulo 6 aprendiste a calcular el volumen de un sólido que se general al hacer girar una curva. Deja que la curva sea $y=xe^{-x},0\le x\le \infty$ , y hazla girar en torno al eje $x$ ¿Cuál es el volumen de revolución?

Solución:

A partir de la imagen de arriba se puede determinar que el área de la región que se formará al hacer girar la curva está dada por $A=\pi y^{2}=\pi x^{2}e^{-2x}$ . Por lo tanto, el volumen del sólido es

$V=\pi \int\limits_{0}^{\infty}x^{2}e^{-2x}dx=\pi \lim\limits_{l \to \infty}\int\limits_{0}^{l}x^{2}e^{-2x}dx.$

Como puedes ver, tenemos que aplicar la integración por partes dos veces:

$\int x^{2}e^{-2x}dx & = -\frac{x^{2}}{2}e^{-2x}+\int xe^{-2x}dx\\& = -\frac{x^{2}}{2}e^{-2x}-\frac{x}{2}e^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-2x}+C.$

Entonces

$V & = \pi\lim_{l \to \infty}\left[-\frac{x^{2}}{2}e^{-2x}-\frac{x}{2}e^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-2x}\right]_0^l\\& = \pi \lim_{l \to \infty}\left[\frac{2x^{2}+2x+1}{-4e^{2x}}\right]_0^l\\& = \pi \lim_{l \to \infty}\left[\frac{2l^{2}+2l+1}{-4e^{2l}}-\frac{1}{-4e^{0}}\right]\\& = \pi \lim_{l \to \infty}\left[\frac{2l^{2}+2l+1}{4e^{2l}}+\frac{1}{4}\right].$

En este punto, tomamos el límite cuando $l$ tiende a infinito. Debes notar que cuando sustituyes el infinito en la función, el denominador de la expresión $\frac{2l^{2}+2l+1}{-4 e^{2l}},$ que es una función exponencial, tenderá a infinito con mayor rapidez que el numerador. De esta manera, esta expresión tenderá a cero en el infinito. Por consiguiente, $V=\pi \left[0+\frac{1}{4}\right]=\frac{\pi}{4},$ así que el volumen del sólido es $\frac{\pi}{4}$ .

Ejemplo C

Calcula $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}$ .

Solución:

¡Puede que esta sea una integral difícil! Para simplificarla, reescribe la integral como

$\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{1}{e^{-x}(e^{2x}+1)}=\frac{e^{x}}{e^{2x}+1}=\frac{e^{x}}{1+(e^x)^{2}}.$

Sustituye en la integral:

$\int\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}=\int\frac{e^{x}}{1+(e^{x})^{2}}dx.$

Utiliza la técnica de sustitución $u$ , deja $u=e^{x},du=e^{x}dx.$

$\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}} & =\int\frac{du}{1+u^{2}}\\& = \tan^{-1}u+C\\& = \tan^{-1}e^{x}+C.$

Al regresar a nuestra integral con límites infinitos, la separamos en dos regiones. Escoge $x=0.$

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}=\int\limits_{-\infty}^{0}\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}+\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}.$

Tomando cada integral por separado,

$\int\limits_{-\infty}^{0}\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}} & = \lim_{l \to -\infty}\int_{l}^{0}\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}\\& = \lim_{l \to -\infty}\left[\tan^{-1}e^{x}\right]_l^0\\& = \lim\limits_{l \to -\infty}\left[\tan^{-1}e^{0}-\tan^{-1}e^{l}\right]\\& = \frac{\pi}{4}-0\\& = \frac{\pi}{4}.$

Asimismo,

$\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}} & =\lim_{l \to \infty}\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}\\& = \lim_{l \to \infty}\left[\tan^{-1}e^{x}\right]_0^l\\& = \lim_{l \to \infty}\left[\tan^{-1}e^{l}-\tan^{-1}1\right]\\& = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\\& = \frac{\pi}{4}.$

Por lo tanto, la integral converge a

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.$

Análisis del Problema de la Sección

Intenta evaluar la siguiente integral impropia antes de continuar con esta sección: $\int\limits_{0}^{\pi}\sec^{2}xdx$ . ¿Sabes por qué la integral es impropia?

¿Conseguiste que $\int\limits_{0}^{\pi}\sec^{2}xdx=\tan \pi-\tan 0=0$ ? ¡Esto es incorrecto!

La integral $\int\limits_{0}^{\pi}\sec^{2}xdx$ es impropia porque $\sec x$ no está definida en $x=\frac{\pi}{2}$ , y debe ser calculada utilizando la definición de límite descrita en esta sección. Al hacerlo resulta lo siguiente:

$\int\limits_{0}^{\pi}\sec^{2}xdx=\lim\limits_{p \to -{\frac{\pi}{2}}}\int\limits_{0}^{p}\sec^{2}xdx+\lim\limits_{p \to +{\frac{\pi}{2}}}\int\limits_{p}^{\pi}\sec^{2}xdx=\lim\limits_{p \to-{\frac{\pi}{2}}}[\tan p]+\lim\limits_{p \to+{\frac{\pi}{2}}}[-\tan p].$

Pero $\lim\limits_{p \to -\frac{\pi}{2}}[\tan p]=\infty$ y diverge, como también lo hace $\lim\limits_{p \to +\frac{\pi}{2}}[-\tan p]$ . Por lo tanto, la integral diverge.

Vocabulario

Una integral impropia es una integral que tiene uno o ambos de sus límites de integración en $+\infty$ o $-\infty$ , y/o tiene una discontinuidad en el integrando dentro de los límites de integración.

Se dice que una integral impropia converge , cuando existe el límite de la integral.

Se dice que una integral impropia diverge , cuando no existe el límite.

Práctica guiada

Calcula la integral $\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}dx$ .

Solución:

$\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}dx & = \lim_{t \to 1^{+}}\int\limits_{t}^{2}\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}dx\\& = \lim_{t \to 1^{+}}[arc \sec x]_t^2\\& = arc \sec 2-\lim_{t \to 1^{+}}[arc \sec t]\\& = arc \cos \left(\frac{1}{2}\right)-\lim_{t \to 1^{+}}\left[arc \cos\frac{1}{t}\right]\\& = \frac{\pi}{3}-0$

Por lo tanto, $\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}dx=\frac{\pi}{3}$ .

Práctica

1. Determina si las siguientes integrales son impropias. Si ese es el caso, explica por qué.

$\int\limits_{5}^{\infty}\frac{dx}{(x-2)^{2}}$
$\int\limits_{2}^{5}\frac{dx}{(x-2)^{2}}$
$\int\limits_{3}^{5}\frac{dx}{(x-2)^{2}}$
$\int\limits_{4}^{10}\frac{1}{\sqrt{x-2}}dx$
$\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}\tan 4x dx$
$\int\limits_{0}^{10}\frac{x+4}{x^{2}-2x-15}dx$

Calcula la integral o determina si diverge.

2. $\int\limits_0^4 \frac{1}{\sqrt{x}}dx$

3. $\int\limits_{1}^{8}\frac{1}{\sqrt{8-x}}dx$

4. $\int\limits_{0}^{4}\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx$

5. $\int\limits_{3}^{5}\frac{1}{(x-3)^{4}}dx$

6. $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sec x dx$

7. $\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$

8. $\int\limits_{0}^{3}\frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}}dx$

9. $\int\limits_{0}^{5}\frac{5x+1}{x^{2}-2x-3}dx$

10. $\int\limits_{0}^{\sqrt{\pi}}x \tan^{2}(x^{2})\sec^{2}(x^{2})dx$

11. $\int\limits_{0}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}dx$

12. $\int\limits_{-1}^{8}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx$

13. $\int\limits_{0}^{1}\ln x dx$

14. $\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{x \ln x}dx$

15. $\int\limits_{1}^{e}\frac{1}{x(\ln x)^{2}}dx$

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