Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)

Objetivos

En esta sección, aprenderás a identificar tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias y a formular formas de solución.

Concepto

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables independientes. Existen muchísimas relaciones en casi cualquier área de la vida diaria, especialmente en biología, economía, ingeniería y física, que pueden ser expresadas como una ecuación diferencial. La ecuación diferencial y su solución proporcionan un modelo matemático de la relación. Por ejemplo, la ecuación diferencial que expresa la conocida ley malthusiana de crecimiento de población de un organismo en condiciones ideales es expresada de la siguiente manera: la velocidad a la cual cambia el tamaño de una población $p$ con respecto al tiempo $t$ es directamente proporcional a la población. ¿Puedes escribir la ecuación diferencial? ¿Puedes encontrar la solución general para la ecuación diferencial? Debes notar que esta misma ecuación diferencial también describe muchas otras relaciones en otros campos, p. ej., la descomposición de elementos radioactivos.

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*Este video sólo se encuentra disponible en inglés.

http://www.youtube.com/watch?v=UUCN68SIDNI - Matemáticas Tutoriales en vídeo de James Sousa, Introducción a las ecuaciones diferenciales (8:12).

Orientación

Una ecuación diferencial (ED) puede ser clasificada dentro de dos tipos: puede ser una ecuación diferencial ordinaria (EDO), nuestro tema en esta sección, o una ecuación diferencial parcial (EDP).

Ecuación diferencial ordinaria versus ecuación diferencial parcial

Ecuación diferencial ordinaria (EDO): Una ecuación diferencial que contiene derivadas (ordinarias) de una función $y=f(x)$ que sólo tiene una variable independiente $x$ .

Nota: Las derivadas “Ordinarias” son las derivadas que aparecen en estas secciones.

Ecuación diferencial parcial (EDP): Una ecuación diferencial que contiene derivadas de una función $y$ que tiene más de una variable independiente.

Nuevamente, sólo consideraremos las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) en esta sección y las siguientes.

El orden de una EDO es el orden de la mayor derivada que aparece en la ecuación. Por ejemplo, la EDO $y^{\prime \prime} + xy^{\prime} + y = \sin x$ es una ecuación de 2 ^o orden.

Una EDO puede ser expresada en forma explícita o en forma implícita como se indica a continuación:

Forma explícita: La ED puede ser estructurada para que se vea como $y^{(n)} = F(x, y, y^\prime, y^{\prime\prime} \ldots y^{(n-1)})$ , donde la derivada de mayor orden $y^{(n)}$ está expresada explícitamente como una función $F$ de la variable independiente $x$ , la variable dependiente $y$ , y las derivadas de menor orden de $y$ . No siempre es posible escribir una EDO en la forma explícita .
2. Forma implícita: La ED sólo puede ser estructurada para que se vea como $F(x, y, y^\prime, y^{\prime\prime} \ldots y^{(n)}) = 0$ , donde la función $F$ incluye todas las derivadas ordinarias aplicables. Esta es la forma implícita de una EDO.

Considera la EDO: $y^{\prime\prime} + xy = 0$ . Debido a que la EDO también puede ser escrita como $y^{\prime\prime} = - xy^{\prime}$ , ésta tiene la forma $y^{(2)} = F(x,y,y^\prime)$ , donde la derivada de mayor orden, $n=2$ , iguala explícitamente una función de $x, y$ e $y^\prime$ . A esto se le llama EDO explícita . Una EDO que no puede ser explícita es una EDO implícita .

Las EDO también pueden ser clasificadas como lineales o no lineales como se explica a continuación.

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales versus ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales

EDO lineal: Una EDO $y^{(n)} = F(x, y, y^\prime, y^{\prime\prime} \ldots y^{(n-1)})$ es lineal si $F$ puede ser escrita como una combinación lineal de las derivadas de $y$ , es decir,

$y^{(n)} = \sum^{i=n-1}_{i=0} a_i (x) y^{(i)} + r(x).$

Debes notar que $y^{(0)}=y$ .

Si todas las $a_i(x)$ son constantes reales: la EDO es lineal y tiene, coeficiente constante .

Si $r(x)=0$ : la EDO es lineal, homogénea ;

Si $r(x) \neq 0$ : la EDO es lineal no homogénea .

EDO no lineal: Una EDO que no es lineal.

Considera la EDO $y^{\prime\prime} + (y^{\prime})^2+ y = x$ . Es una EDO de 2° orden explícita. Además, la EDO tiene un término no lineal porque la primera derivada está elevada a la potencia de dos. Por lo tanto, esta EDO recibe el nombre de no lineal ,de segundo orden, en forma explícita. Debido a que además existe un término que sólo incluye la variable independiente $x$ , esta EDO también es no homogénea. Si no hay un término que sólo incluya la variable independiente, entonces la EDO es homogénea.

Ejemplo A

Para cada ecuación diferencial ordinaria, identifica el orden de la ecuación y si ésta es explícita o implícita, lineal (¿coeficiente constante, homogénea?), no lineal o autónoma:

$\frac{d}{dt} s(t) = v_0 + at$
$y^{\prime\prime} + (y^{\prime})^2+ y = x$
$P^\prime (t) = kP(t) [M-P(t)]$
$y^{\prime\prime\prime} + 3y^{\prime\prime} + y^{\prime} = y - x$
$x^3 (y^{\prime\prime})^2 + y^\prime + y = x$

Solución:

$\frac{d}{dt} s(t) = v_0 + at$ es una EDO lineal, con coeficiente constante, de 1 ^er orden, en forma explícita.
Si $y$ es sólo una función de $x$ , $y^{\prime\prime} + (y^{\prime})^2+ y = x$ puede ser escrita como $y^{\prime\prime} = - (y^{\prime})^2 - y + x$ y es una EDO no lineal, de 2 ^o orden, en forma explícita.
$P^\prime (t) = kP(t) [M-P(t)]$ es una EDO no lineal, de 1 ^er orden, en forma explícita.
$y^{\prime\prime\prime} + 3y^{\prime\prime} + y^{\prime} = y - x$ puede ser escrita como $y^{\prime\prime\prime} = - 3y^{\prime\prime} - y^{\prime} + y - x$ , y es una EDO lineal, con coeficiente constante, de 3 ^er orden, en forma explícita.
$x^3 (y^{\prime\prime})^2 + y^\prime + y = x$ es una EDO no lineal, de 3 ^er orden, en forma implícita.

Soluciones para ecuaciones diferenciales ordinarias

Por lo general es difícil encontrar la solución de las ecuaciones diferenciales. Debido a que existen muy pocos métodos para resolver ecuaciones diferenciales no lineales de manera exacta, a menudo se utilizan métodos gráficos y numéricos, como veremos en las siguientes secciones. En algunos casos, funciona un método analítico y, en el mejor de los casos, $y$ tiene una fórmula explícita en $x$ .

Debido a que existen muchas formas de ecuaciones diferenciales ordinarias, simplificaremos la discusión sobre la búsqueda de soluciones enfocándonos en las EDO de 1 ^er orden. En este caso, la EDO puede ser escrita de la siguiente manera: $y^\prime = F(x, y)$ . y se pueden distinguir las siguientes categorías:

EDO de 1 ^er orden	Comentario	EDO Forma de la solución
Caso 1: $\frac{dy}{dx} = F(x, y) = F(x)$	$F(x, y)$ sólo es una función de $x$ .	$y = \int F(x) dx+C$
Caso 2: $\frac{dy}{dx} = F(x, y) = F(y)$	$F(x, y)$ sólo es una función de $y$ . (una EDO autónoma)	$\int \frac{dy}{F(y)}= x+C$
Caso 3: $\frac{dy}{dx} = F(x, y) = f(x)g(y)$ , o $\frac{dy}{dx} = F(x, y) = \frac{f(x)}{g(y)}$ , o $\frac{dy}{dx} = F(x, y) = \frac{g(y)}{f(x)}$	$F(x, y)$ es separable como producto o cociente.	$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx$ $\int g(y) dy = \int f(x) dx$ $\int \frac{dy}{g(y)} = \int \frac{dx}{f(x)}$
Caso 4: $\frac{dy}{dx} = F(x, y)$	$F(x, y)$ no es uno de los de arriba.	No tiene forma específica

Caso 1

Comenzamos las soluciones analíticas de las ecuaciones diferenciales con una ecuación diferencial de 1 ^er orden donde $F(x,y)$ es una función de $x$ solamente: $\frac{dy}{dx} = f(x)$ .

La solución puede ser determinada como se indica a continuación:

$\frac{dy}{dx} & = f(x)\\dy & = f(x) dx\\\int dy & = \int f(x) dx\\y & = \int f(x) dx + C$

Para obtener una solución, es necesario determinar la antiderivada de $f(x)$ . La constante de integración $C$ puede ser determinada si existe información sobre el valor inicial.

Una solución general de una EDO lineal es una solución que contiene una cantidad de variables arbitrarias (iguales al orden de la EDO) que corresponden a las constantes de integración. Una solución particular se obtiene a partir de la solución general mediante el establecimiento de las constantes de integración para valores que satisfacen las condiciones de valor inicial del problema.

Ejemplo B

Resuelve las ecuaciones diferenciales:

a. $\frac{dy}{dx} = x$ , para obtener la solución general; para obtener la solución particular con $y(0)=1$ ;

b. $\frac{dy}{dx} = \sqrt{9-x^2}$ , para obtener la solución general; para obtener la solución particular con $y(0)=3$ .

Solución:

a. Para $\frac{dy}{dx} = x$ , la solución general es

$y = \int x \ dx = \frac{x^2}{2} + C$ .

El valor inicial $y(0)=1$ significa

$1= \frac{0}{2} + C$ , de forma que $C=1$ .

La solución particular es, por lo tanto $y = \frac{x^2}{2} + 1$ .

b. Para $\frac{dy}{dx} = \sqrt{9-x^2}$ ,

$y & = \int \sqrt{9-x^2} dx\\& = \int \sqrt{9 -(3\sin \theta)^2} 3 \cos \theta d \theta && \ldots \text{Using trig substitution with } x = 3 \sin \theta, dx = 3 \cos \theta d \theta .\\& = 9 \int \cos^2 \theta d \theta\\& = 9 \int \frac{1}{2} [1+\cos 2 \theta ] d\theta\\& = \frac{9}{2} \left [ \theta + \frac{\sin 2 \theta}{2} \right ] + C\\& = \frac{9}{2} \left [ \sin^{-1} \left ( \frac{x}{3} \right ) + \frac{x}{9} \sqrt{9-x^2} \right ] + C && \ldots \text{Use } \theta = \sin^{-1} \left ( \frac{x}{3} \right ), \cos \theta = \frac{1}{3} \sqrt{9-x^2}, \text{ and }\\& && \quad \ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta.$

La solución general es $y = \frac{9}{2} \left [ \sin^{-1} \left ( \frac{x}{3} \right ) + \frac{x}{9} \sqrt{9-x^2} \right ] + C$ .

La solución particular se basa en satisfacer la condición $y(0)=3$ :

$y(0) = 3 = \frac{9}{2} \left [ \sin^{-1} \left ( \frac{0}{3} \right ) + \frac{0}{9} \sqrt{9} \right ] + C$ significa que $C=3$ .

La solución particular es $y = \frac{9}{2} \left [ \sin^{-1} \left ( \frac{x}{3} \right ) + \frac{x}{9} \sqrt{9-x^2} \right ] + 3$ .

Caso 2 (EDO autónoma)

A continuación revisaremos una ecuación diferencial de 1 ^er orden donde $F(x, y)$ es una función de $y$ solamente: $\frac{dy}{dx} = f(y)$ . Esto recibe el nombre de EDO de 1 ^er orden autónoma.

Se puede determinar la solución como se indica a continuación:

$\frac{dy}{dx} & = f(y)\\\frac{dy}{f(y)} & = dx\\\int \frac{dy}{f(y)} & = \int dx\\\int \frac{dy}{f(y)} & = x+C$

En este caso tenemos que calcular la integral $\int \frac{dy}{f(y)}$ para obtener una solución.

Ejemplo C

Resuelve la ecuación diferencial $y^\prime = 3y$ , para obtener la solución general; para obtener la solución particular con $y(0)=10$ ;

Solución:

$\frac{dy}{dx} & = 3y\\\frac{dy}{y} & = 3 dx\\\int \frac{dy}{y} & = 3 \int dx\\\ln y & = 3x+C\\y & = Ke^{3x} \qquad \ldots K \text{ is the constant of integration.}$

La solución general es $y=Ke^{3x}$ .

La solución particular se basa en satisfacer la condición $y(0)=10$ :

$y(0)=10=Ke^{3 \cdot 0} = K$ .

La solución particular es $y=10e^{3x}$ .

En la siguiente sección, revisaremos métodos visuales para ayudar a obtener soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Análisis del Problema de la Sección

Escribe una ecuación diferencial que exprese la conocida ley malthusiana de crecimiento de población de un organismo: la velocidad a la cual cambia el tamaño de una población $p$ con respecto al tiempo $t$ es directamente proporcional a la población. ¿Puedes encontrar la solución general para la ecuación diferencial?

La ecuación diferencial es: $\frac{dp}{dt} = rp$ , donde $r$ es la constante de proporcionalidad.
La ecuación diferencial lineal de arriba puede ser reorganizada a $\frac{dp}{p} = r dt$ , de manera que $\int \frac{dp}{p} = \int r dt$ , y $\ln p=rt+C$ , o $p=Ke^{rt}$ .

Vocabulario

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una o más derivadas de alguna función o funciones desconocidas.

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación que contiene una variable independiente; una o más variables dependientes, cada una de las cuales es una función de la variable independiente; y derivadas ordinarias de una o más de las variables dependientes.

El orden de una EDO es la derivada mayor que aparece en la ecuación diferencial.

Una EDO es autónoma si no contiene explícitamente la variable independiente.

Una EDO es lineal si puede ser escrita como una combinación lineal de la variable dependiente y sus derivadas.

Una EDO no lineal es una EDO que no es lineal.

Una EDO es homogénea cuando la EDO lineal no tiene un término que sólo contenga la variable independiente. (Nota: Existen varias definiciones diferentes para el término “homogéneo” que se aplican para EDO; ésta es una.)

Un problema de valor inicial es una ED con un valor de la función y quizás con valores de la derivada en el mismo valor independiente.

Una solución general de una EDO lineal es una solución que contiene una cantidad (el orden de la EDO) de variables arbitrarias que corresponden a las constantes de integración.

Una solución particular se obtiene a partir de la solución general mediante el establecimiento de las constantes de integración para valores que satisfacen las condiciones iniciales del problema.

Práctica guiada

Considera la EDO: $y^{\prime\prime} + y = 0$

a. ¿Qué tipo de EDO es esta?

b. Demuestra que la solución general tiene la forma $y_g=A \cos x + B \sin x$ , donde $A, B$ son números reales.

c. Encuentra la solución particular dadas las condiciones iniciales $y(0) = 0, y^\prime (0)=5$

Solución:

a. La EDO es lineal, con coeficiente constante, de 2 ^o orden, homogénea.

b. Si $y_g=A \cos x + B \sin x$ ,

Entonces ${y_g}^\prime = - A \sin x + B \cos x$ y ${y_g}^{\prime\prime} = -A\cos x - B \sin x$ .

Esto significa que ${y_g}^{\prime\prime} + y_g = 0$

c. Para $y=A \cos x + B \sin x$ , las condiciones iniciales son evaluadas de la siguiente manera:

$y(0) = 0 =A \cos 0 + B \sin 0 = A$

$y^\prime (0) = 5 = B \cos 0 = B$

Por lo tanto, la solución particular es $y=5\sin x$ .

Práctica

Para cada EDO (#1-5): identifica el orden de la ecuación y si es explícita o implícita, lineal (¿coeficiente constante, homogénea?) no lineal o autónoma:

1. $\frac{dx}{dt} = k(A-x^2)$

De esta manera una EDO puede estar relacionada con la velocidad a la que un químico es mezclado para dar forma a uno nuevo.

2. $\frac{d^2y }{dx^2} = \frac{C}{L} \sqrt{\left ( \frac{AC}{L} \right )^2 + \left ( \frac{dy}{dx} \right )^2}$

El gráfico de esta solución está relacionado con una curva catenaria invertida.

3. $m \frac{d^2 x}{dt^2} + a \frac{dx}{dx} + kx = G(t)$

Esta EDO puede ser usada para modelar el movimiento de un sistema de masa resorte amortiguado sujeto a un tiempo de fuerza variable.

4. $E \cdot l \cdot \frac{d^4 y}{dx^4} = w(x)$

Este EDO puede ser usado para modelar el desplazamiento vertical de un punto una distancia $x$ desde una barra con un extremo fijo de la sección transversal uniforme debido a una carga $w(x)$ .

5. $x^2 y (y^{(5)})^3 + 2x^3 y^4 (y^{\prime\prime})^5 = \sin^3 (x^2)$

Resuelve cada una de las ecuaciones diferenciales (6-10):

6. Solve $y^\prime = e^{2x}$ .

7. Solve $y^\prime = 2x\cos (x^2)$ .

8. Resuelve $y^\prime = 8x^3$ .

9. Resuelve $y^\prime = xe^{x^2}$ .

10. Resuelve $y^\prime = 4x \ln (x)$ .

11. Deja que $y=2 \ln (x+1)+C$ sea una solución general para una EDO con condición inicial $y(0)=10$ . ¿Cuál es la solución particular?

12. Deja $y=-\cos (\pi x+C)+1$ sea una solución general para una EDO con condición inicial $y(0)=\frac{3}{2}$ . ¿Cuál es la solución particular?

13. ¿Cuál es la solución general para la EDO $y=y^\prime$ ?

14. ¿Es la función $y= e^x \sin (x)$ una solución para la EDO $y^\prime -2y = 0$ ?

15. ¿Puedes pensar en una solución general para la EDO $y = - y^{\prime\prime}$ (pista: prueba con funciones simples), una segunda y una tercera?

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