EDO: Soluciones a partir de campos de pendientes e isoclinas

Objetivos

En esta sección, aprenderás a calcular y dibujar un campo de pendiente (dirección) como medio para visualizar la curva solución de una ecuación diferencial ordinaria.

Concepto

Cuando una solución analítica para una ecuación diferencial de primer orden es difícil de determinar o no puede ser determinada, es útil contar con una representación visual de la solución. El campo de pendiente, pequeños segmentos que indican $\frac{dy}{dx}$ en un conjunto de puntos $(x,y)$ , es una alternativa para poder visualizar la curva o curvas solución.

Mira Esto

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*Este video sólo se encuentra disponible en inglés.

http://www.youtube.com/watch?v=UUCN68SIDNI - Math Video Tutorials by James Sousa, Introduction to Differential Equations.

Orientación

En esta sección sólo consideraremos EDO lineales de primero grado, es decir, $\frac{dy}{dx}=F(x,y)$ .

Cada solución que es trazada en el plano $xy$ es llamada curva solución . Las curvas solución pueden ser generadas a partir de una solución analítica si hay una disponible. Pueden ser visualizadas antes de intentar aplicar un método analítico, dibujando el campo de pendiente (o dirección ) de la ecuación diferencial. El campo de pendiente (dirección) es un conjunto de pequeños segmentos que pasan por los puntos $(x,y)$ y que tienen una pendiente $F(x,y)$ . El campo de pendiente entrega la dirección del “flujo” de la curva solución en cada punto.

Los campos de pendiente pueden ser trazados:

creando una cuadrícula uniforme de puntos $(x,y)$ en el plano, $xy$ calculando la pendiente $F(x,y)$ en cada punto y dibujando un pequeño segmento en cada punto con la pendiente correspondiente o
dibujando rectas de pendiente constante, es decir, $F(x,y)=k$ , creando isoclinas

Una isoclina (para la constante $k$ ) es la línea a lo largo de la cual las curvas solución tienen la misma inclinación $(k)$ . Se puede visualizar el campo pendiente calculando esta inclinación para cada isoclina, lo que hace que sea relativamente fácil trazar curvas solución aproximadas.

Ejemplo A

Para la EDO $\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}$ :

a. Encuentra la curva solución.

b. Encuentra el campo pendiente y compáralo con la curva solución.

Solución:

a. La curva solución puede ser determinada al encontrar primero la solución analítica para la EDO como se indica a continuación:

$\frac{dy}{dx} &= \frac{x}{y}\\ydy &= xdx\\\int ydy &= \int xdx\\\frac{y^2}{2} &= \frac{x^2}{2}+C_1\\y ^2 &= x^2+C\\y &= \pm \sqrt{x^2+C}$

Se pueden graficar las curvas solución si se escogen diferentes valores para $C$ (p.ej., 0, 1, 4 y 9).

b. Se puede determinar el campo pendiente si se evalúa $\frac{x}{y}$ en diferentes puntos $(x,y)$ para obtener $\frac{dy}{dx}$ , como se muestra en la imagen.

Debes notar cómo los segmentos del campo pendiente destacan el flujo de las curvas solución. Cuando una solución analítica es difícil de determinar, el campo pendiente proporciona una alternativa para visualizar la(s) curva(s) solución.

Ejemplo B

Considera la EDO $\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y^2}$ . Grafica el campo pendiente y la curva solución.

Solución:

Se puede determinar el campo pendiente calculando $\frac{x}{y^2}$ sobre una cuadrícula de puntos $(x,y)$ como se muestra a continuación:

Las soluciones para la ecuación diferencial tienen la forma: $y^3=\frac{3}{2}x^2+C$ . A continuación se grafican las curvas solución y los campos de pendiente para que sean comparados.

Ejemplo C

Para la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=1-y$ :

a. Dibuja el campo pendiente e identifica algunas isoclinas.

b. Dibuja las curvas solución.

Solución:

a. Se pueden determinar las isoclinas al establecer $\frac{dy}{dx}=k=1-y$ , donde $k$ es una constante real, y al despejar $y$ . Las isoclinas, por lo tanto, están dadas por las rectas horizontales $y=1-k$ .

Los campos de pendiente son determinados utilizando las isoclinas para dibujar pequeños segmentos con una pendiente dada o valor $k$ .

La imagen a continuación muestra algunas isoclinas (en rojo) y el campo de pendiente. Debes notar que el campo de pendiente es simétrico con respecto a la recta $y=1(k=0)$ .

b. La siguiente imagen muestra seis curvas solución para la ecuación diferencial. Todas estas curvas solución tienen la forma $y=Ae^{-x}+1$ , y las seis curvas son trazadas para $A=\pm 2, \pm 1, \pm 0.25$ .

Vocabulario

Una curva solución es la curva que representa una solución (en el plano $xy$ ).

El campo de pendiente (o campo de dirección ) es una representación gráfica de todos los pequeños segmentos de recta que pasan por cada punto $(x,y)$ con una pendiente $F(x,y)$ de una ecuación diferencial de primer orden.

Una isoclina (para la constante $k$ ) es un conjunto de puntos en el campo de dirección para los que existe una constante $k$ donde $\frac{dy}{dx}=k$ .

La nulclina es el conjunto de puntos en el campo de dirección de manera que $\frac{dy}{dx}=0$ .

Práctica guiada

Para la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=y-x$ :

a. Dibuja las isoclinas y el campo de pendiente;

b. Dibuja una curva solución que pasa por (1, 0).

Solución:

a. Mas abajo se muestran las isoclinas (rojas) y los campos de pendientes (negro) seleccionados. Debes notar que la isoclina $k=-1$ pasa por (1, 0).

Práctica

1. Encuentra las nulclinas del siguiente sistema:

$y^\prime &= x(1-y)\\x^\prime &= y$

2. Encuentra las nulclinas del siguiente sistema:

$y^\prime &= x^2-6x+9\\x^\prime &= \sin (\pi y)$

3. Encuentra las nulclinas del siguiente sistema:

$y^\prime &= (x+2)(y+5)\\x^\prime &= (y-1)(x^2+2)$

4. Encuentra las nulclinas del siguiente sistema:

$y^\prime &= \ln (y)\\x^\prime &= e^x$

5. Encuentra las nulclinas del siguiente sistema:

$y^\prime &= xy\\x^\prime &= y+x$

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