Objetivos

En esta sección, aprenderás sobre las secuencias, encontrarás el límite de una secuencia y determinarás si una secuencia es converge o diverge.

Concepto

El alfabeto, los nombres en una guía telefónica, las instrucciones numeradas de un kit de modelo de avión y el horario que aparece en la guía de televisión local son ejemplos de secuencias. Todos estos ejemplos son grupos de elementos ordenados. En matemáticas, una secuencia puede ser una lista de números. La lista de números puede ser finita o infinita. Se puede generar la lista basada en una regla matemática conocida o simplemente de manera aleatoria. Existen muchas secuencias de números infinitos conocidas. Observa si puedes reconocer y nombrar esta famosa secuencia: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. . . . ¿Puedes establecer la regla matemática que genera esta secuencia?

$t^{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \ldots}$ (secuencia A000045 in OEIS )

Por definición, los primeros dos números en la secuencia de Fibonacci son 0 y 1, y cada número subsiguiente es la suma de los dos anteriores.

En términos matemáticos, la secuencia $F_n$ de números de Fibonacci está definida por la relación de recurrencia

$F_n=F_{n-1}+F_{n-2},$

con valores iniciales

$F_0=0, \ F_1=1.$

La secuencia de Fibonacci recibe su nombre por Leonardo Fibonacci . Su libro de 1202 Liber Abaci introdujo la secuencia a las matemáticas del oeste europeo, aunque la secuencia había sido descrita antes en las matemáticas indias . Por convención moderna, la secuencia comienza ya sea con $F_0=0$ o con $F_1 = 1$ .

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http://www.youtube.com/watch?v=p-rc5mTDt9E - Sousa: Introducción a las Secuencias

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Orientación

El alfabeto, los nombres en una guía telefónica, las instrucciones numeradas de un kit de modelo de avión y el horario que aparece en la guía de televisión local son ejemplos de secuencias. Todos estos ejemplos son grupos de elementos ordenados. En matemáticas, una secuencia puede ser una lista de números. Existen secuencias finitas, tales como 2, 4, 6, 8. Estas secuencias tienen un final. Existen secuencias infinitas, tales como 3, 5, 7, 9,. . ., que no tienen un final, sino que continúan según lo indican los puntos suspensivos. En esta sección y las posteriores, la palabra secuencia se referirá a una secuencia infinita.

Una secuencia, señalada como $\{a_n \}$ o como $a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots , a_n, \ldots$ , es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos $n$ , y cuyo rango consiste en los términos de la secuencia $a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots , a_n, \ldots$ .

Cada subíndice 1, 2, 3,. . . en los términos $a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots$ es un exponente que se refiere al lugar que ocupa el término en la secuencia. Los subíndices reciben el nombre de exponentes de los términos. Asumimos que $n=1, 2, 3, \ldots ,$ a menos que se indique lo contrario.

En vez de hacer una lista de los elementos de una secuencia, una secuencia generalmente se puede definir por una regla, o fórmula, con respecto a sus exponentes.

Cada término en una secuencia está definido por el lugar que ocupa en la lista. Considera la secuencia 3, 5, 7, 9, . . . . El primer término es 3 porque corresponde al lugar 1 de la secuencia. El segundo término es 5 porque corresponde al segundo lugar de la secuencia. Así mismo, el tercer término es 7 porque está en el tercer lugar.

Ejemplo A

1. Genera los términos de la secuencia mediante el uso de la regla $a_n=\frac{1}{n}$ .

2. Genera los términos de la secuencia mediante el uso de la regla $a_n=\frac{n^2}{n+1}$ .

3. Genera la regla que corresponde a la secuencia: $\frac{1}{2}, - \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, - \frac{4}{5}, \ldots$ .

Solución:

1. Podemos generar los términos para la regla $a_n=\frac{1}{n}$ de la siguiente manera:

$& n&& 1 && 2 && 3&& 4&& \ldots \\& a_n=\frac{1}{n} && \frac{1}{1}=1 && \frac{1}{2} && \frac{1}{3} && \frac{1}{4} && \ldots$

2. Podemos generar los términos para la regla $a_n=\frac{n^2}{n+1}$ de la siguiente manera:

$& n&&1&&2&&3&&4&& \ldots\\& a_n=\frac{n^2}{n+1}&&\frac{1^2}{1+1}=\frac{1}{2}&&\frac{2^2}{2+1}=\frac{4}{3}&&\frac{9}{4}&&\frac{16}{5}&& \ldots$

3. Encuentra la regla para la secuencia $\frac{1}{2}, - \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, - \frac{4}{5}, \ldots$ .

$& n && 1 && 2 && 3 && 4\\& a_n && \frac{1}{2} && -\frac{2}{3} && \frac{3}{4} && -\frac{4}{5}$

Observa cada término en relación a su exponente. El numerador de cada término concuerda con el exponente. El denominador es uno más que el exponente. Hasta ahora, podemos escribir la fórmula $a_n$ como $\frac{n}{n+1}$ .

Sin embargo, no hemos terminado aún. Nota que cada término de exponente par posee un signo negativo. Esto quiere decir que todos los términos de la secuencia tienen una potencia de -1. Las potencias de -1 se alternan entre impares y pares. Usualmente, alternar potencias de -1 se puede señalar como $(-1)^n$ o $(-1)^{n+1}$ .

Debido a que los términos son negativos para los exponentes pares, usamos $(-1)^{n+1}$ . Así, la regla para la secuencia es $a_n=\frac{(-1)^{n+1}n}{n+1}$ . Puedes comprobar la regla mediante la búsqueda de algunos de los primeros términos de la secuencia.

Límite de una Secuencia

Estamos interesados en el comportamiento de la secuencia cuando el valor de $n$ se vuelve muy grande. Muchas veces una secuencia se acercará a un cierto número, o limite, a medida que $n$ aumenta. Encontrar el límite de una secuencia es muy parecido a encontrar el límite de una función. Observemos algunos gráficos de secuencias.

Ejemplo B

Encuentra el límite de la secuencia $\left \{ \frac{1}{2n+1} \right \}$ a medida que $n$ va hacia el infinito.

Solución:

Podemos graficar la función correspondiente $y= \frac{1}{2n+1}$ para $n=1, 2, 3, \ldots$ . El gráfico es similar a la función continua $y= \frac{1}{2x+1}$ para el dominio de $x \ge 1$ .

Para determinar el límite, observamos la tendencia o comportamiento del gráfico de la secuencia a medida que $n$ crece o se mueve hacia el infinito positivo. Esto quiere decir que observamos los puntos de la secuencia que corresponden al extremo más alejado a la derecha del eje horizontal en la figura de la derecha. Vemos que los puntos de la secuencia se acercan al eje horizontal, $y=0$ . De esta forma, el límite de la secuencia $\left \{\frac{1}{2n+1} \right \}$ es 0 a medida que $n$ va al infinito. Escribimos: $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{2n+1}=0$ .

A continuación, se encuentra la definición precisa del límite de una secuencia.

Límite de una Secuencia

El limite de una secuencia $a_n$ es el número $L$ tal que si para cada $\varepsilon > 0$ , existe un entero $N$ tal que $|a_n-L| < \varepsilon$ para todos los $n > N$ .

$|a_n-L| < \varepsilon$ significan los valores de $a_n$ tal que $L- \varepsilon < a_n < L+ \varepsilon$ .

Nota: Cada límite de secuencia se encuentra solo en uno de los cuatro casos posibles:

Un límite existe y el límite es $L$ : $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=L$ .
No hay límite: $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n$ no existe.
El límite aumenta sin medida en la dirección positiva: $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=+ \infty$ .
El límite aumenta sin medida en la dirección negativa: $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=- \infty$ .

La siguiente figura muestra el gráfico de la secuencia $\left \{\frac{l_n (n)}{n} \right \}$ .

Nota que desde $N$ los términos de $\frac{l_n n}{n}$ se encuentran entre $L- \varepsilon$ y $L+ \varepsilon$ . En otras palabras, para este valor de $\varepsilon$ , existe un valor $N$ tal que todos los términos de $a_n$ se encuentran en el intervalo desde $L- \varepsilon$ y $L+ \varepsilon$ . Así, $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{l_n (n)}{n}=0$ .

No cada secuencia tiene un límite.

Considera la secuencia $\{n+1 \}$ en la siguiente imagen.

A medida que $n$ aumenta y va hacia el infinito, los términos de $a_n=n+1$ se vuelven más y más grandes. La secuencia $\{n+1 \}$ no tiene un límite. Escribimos $\lim\limits_{n \to +\infty} (n+1)=+ \infty$ .

Convergencia y Divergencia

Decimos que una secuencia $\{a_n \}$ converge si la secuencia tiene un límite finito $L$ . La secuencia entonces tiene convergencia ; converge al límite $L$ , y describimos la secuencia como convergente.

Teorema: Si una secuencia es convergente, entonces su límite es único.

Por otra parte, si el límite de una secuencia $\{a_n \}$ crece sin medida, ya sea en la dirección positiva o negativa, se dice que la secuencia diverge . La secuencia tiene divergencia describimos la secuencia como divergente. Recuerda que ser divergente no es lo mismo que no tener un límite.

Ejemplo C

Determina si la secuencia converge:

1. $\{a_n=\ln (n) \}$

2. $\{a_n=4- \frac{8}{n} \}$

3. $1, -1, 1, -1, 1, -1, \ldots$ .

Solución:

1. La secuencia $\{\ln (n) \}$ aumenta sin límite a medida que $n$ se acerca al infinito. Nota que la función relacionada $y=\ln (x)$ aumenta sin medida. La secuencia es divergente porque no tiene un límite finito. Escribimos $\lim\limits_{n \to +\infty} \ln (n)=+ \infty$ .

2. La secuencia $\left \{a_n=4- \frac{8}{n} \right \}$ converge al límite $L=4$ y, por lo tanto, es convergente. Si graficas la función $y=4- \frac{8}{n}$ para $n=1, 2, 3, \ldots$ , verás que el gráfico se acerca a 4 a medida que $n$ aumenta. De forma algebraica, a medida que, as $n$ va hacia el infinito, el término $- \frac{8}{n}$ se vuelve más pequeño y tiende a 0, mientras que 4 se mantiene constante. Escribimos $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(4- \frac{8}{n} \right)=4$ .

3. La secuencia $1, -1, 1, -1, 1, -1, \ldots$ . oscila, o avanza y retrocede, entre los valores 1 y -1. La secuencia no se acerca a 1 o -1 a medida que $n$ aumenta. Decimos que la secuencia no tiene un límite, o $\lim\limits_{n \to +\infty} S_n$ no existe.

Análisis del Problema de la Sección

Observa si puedes reconocer y nombrar esta famosa secuencia:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 . . . . ¿Puedes establecer la regla matemática que genera esta secuencia?

¿Fuiste capaz de reconocer esta secuencia famosa que se encuentra en la naturaleza para describir la disposición de hojas en plantas, el patrón de los flósculos de una flor, las brácteas de una piña de pino o las cascarillas de una piña? Estos números de la secuencia de Fibonacci son aplicables al crecimiento de muchos seres vivos.

Por definición, los primeros dos números en la secuencia de Fibonacci son 0 y 1, y cada número subsiguiente es la suma de los dos anteriores. En términos matemáticos, la secuencia $F_n$ de números de Fibonacci está definida por la relación de recurrencia: $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ , con $F_0=0, \ F_1=1$ .

La secuencia de Fibonacci recibe su nombre por Leonardo Fibonacci, quien introdujo la secuencia a las matemáticas del oeste europeo.

Vocabulario

Una secuencia es una lista ordenada,

Los términos de una secuencia son los miembros de la secuencia.

La regla del término $n$ -nésimo de una secuencia es una fórmula que relaciona el término con el número del término y, así, puede ser usada para calcular cualquier término en una secuencia sin importar si se conoce alguno de estos.

Los exponentes de los términos de una secuencia son los subíndices que indican la posición del término en la secuencia.

El límite de una secuencia es el margen del término $n$ -ésimo a medida que el exponente va hacia el infinito.

Una secuencia converge si posee un límite finito a medida que el exponente se dirige al infinito.

Una secuencia diverge si posee un límite infinito a medida que el exponente se dirige al infinito, o el límite no existe.

Práctica Guiada

1. Usa la regla del término $n$ -ésimo para generar los términos indicados en cada secuencia:

$a_n=2^n-1$ ; términos 1-3 y el 10 .

2. Escribe la regla del término $n$ -ésimo para la secuencia 1, 7, 25, 79, . . . .

3. Determina si la secuencia $\left \{\frac{n^2-2n+3}{3n^2+6n-4} \right \}$ es convergente, divergente o no tiene límite. Si la secuencia es convergente, encuentra su límite.

Solución:

1. Para $a_n=2^n-1$ , los primeros tres términos son: $2^1-1=1, 2^2-1=3, 2^3-1=7$ ; $a_{10}=2^{10}-1=1023$ .

2. El análisis de la secuencia 1, 7, 25, 79, . . . . muestra que las diferencias entre los términos sucesivos son 6, 18, y 54. Estos pueden escribirse como $6 \cdot 3^0, 6 \cdot 3^1, 6 \cdot 3^2$ o $2 \cdot 3^1, 2 \cdot 3^2, 2 \cdot 3^3$ . Una regla recursiva que señala $a_n-a_{n-1}=2 \cdot 3^{n-1}$ funcionaría siempre y cuando se use para $n=1$ , $a_{n-1}=-1$ . La regla sería $a_n=a_{n-1}+2 \cdot 3^{n-1}$ con $a_0=-1$ .

3. $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2-2n+3}{3n^2+6n-4}=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2\left(1- \frac{2}{n}+ \frac{3}{n^2} \right)}{n^2 \left(3+ \frac{6}{n}- \frac{4}{n^2} \right)}=\frac{1}{3}$ . La secuencia es convergente al valor $\frac{1}{3}$ .

Práctica

Usa la regla del término $n$ -ésimo para generar los términos indicados en cada secuencia.

$2n+7$ , para los términos 1-5 y el
$\left(\frac{1}{2} \right)^n$ , para los términos 1-3 y el 8
$\frac{n(n+1)}{2}$ , para los términos 1-4 y el 20

Escribe la regla del término $n$ -ésimo para las siguientes secuencias.

-2, 2, -2, 2, . . .
6, 14, 24, 36, . . .
2, 5, 9, 14, . . .

Determina si cada secuencia es convergente, divergente o no tiene límite. Si la secuencia es convergente, encuentra su límite.

$\left \{ \frac{4}{n}+ \frac{3}{n^2} \right \}$
$\left \{6- \frac{7}{\sqrt{n}} \right \}$
-5, 5, -5, 5, -5, 5, . . .
$\left \{\frac{4n^6-7}{3n} \right \}$
$\left \{\frac{(-1)^n}{5n^2} \right \}$
$\{(-1)^n n \}$
$\left \{(-1)^n \frac{3n^4-2}{2n^4+6n^2-4n} \right \}$
$\left \{\frac{6n^2}{e^n} \right \}$
Establece $\{a_n \}$ como una secuencia tal que $\lim\limits_{n \to +\infty} |a_n|=0$ . Demuestra que $\lim\limits_{n \to + \infty} a_n=0$ . ( $|a_n|$ es el valor absoluto de $a_n$ .)

Secuencias, Sus Límites y Convergencia

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