Secuencias: Técnicas de Límites para Determinar Convergencia

Objetivos

En esta sección, aprenderás a usar algunas propiedades y técnicas asociadas a encontrar el límite de una secuencia con el fin de determinar si es convergente o divergente.

Concepto

Algunas de las mismas propiedades y técnicas que fueron útiles al aplicar límites a funciones reales son también útiles cuando se evalúan secuencias. Las propiedades de límites de adición, sustracción, multiplicación y cociente, además de la regla de L'Hôpital y el teorema del sándwich o encaje pueden ser todos usados para ayudar a evaluar los límites de secuencias cuando se quiere determinar su convergencia. Como una pequeña revisión antes de seguir con esta sección, ve si puedes anotar tantas propiedades básicas de límites como sea posible. ¿Recuerdas la regla de L’Hôpitals’s y cuándo se usa? ¿Recuerdas el teorema del encaje?

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http://www.youtube.com/watch?v=E9NrTG_gavU - Sousa: Regla de L’Hôpital’s Parte 1

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http://www.youtube.com/watch?v=hAb4Nvc_epA - Sousa: Regla de L’Hôpital’s Parte 2

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http://www.youtube.com/watch?v=TpbxFJphGyg - Sousa: Teorema del Encaje

Orientación

En la sección anterior, aprendiste que determinar si una secuencia $\{a_n \}$ es convergente o divergente implica evaluar $\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ . En esta sección, revisaremos algunas técnicas para evaluar la convergencia de algunas secuencias y algunas reglas que se aplican a secuencias convergentes.

Regla de L’Hôpital’s

De forma realista, no podemos graficar cada secuencia para determinar si posee un límite finito y encontrar el valor de ese límite. Tampoco podemos llevar a cabo un razonamiento algebraico sobre el límite para cada secuencia posible. Al igual que existen formas indeterminadas cuando se buscan límites de funciones, existen formas indeterminadas de secuencias, tales como $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0+ \infty$ . Para encontrar el límite de tales secuencias, podemos aplicar la regla de L’Hôpital’s .

Regla de L’Hôpital’s

1. Establece que las funciones $f$ y $g$ sean diferenciables en cualquier número diferente a $c$ en algún intervalo, con $g^{\prime}(x) \ne 0$ si $x \ne c$ . Si $\lim\limits_{x \to c} f(x) =0$ y $\lim\limits_{x \to c} g(x)=0$ , o si $\lim\limits_{x \to c} f(x)= \pm \infty$ y $\lim\limits_{x \to c} g(x)= \pm \infty$ , entonces:

$\lim\limits_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to c} \frac{f^{\prime (x)}}{g^{\prime} (x)}$

siempre y cuando $\lim\limits_{x \to c} \frac{f^{\prime (x)}}{g^{\prime (x)}}$ exista o sea infinito.

2. Si $f$ y $g$ son diferenciables en cada número $x$ mayor que algún número $a$ , con $g^{\prime}(x) \ne 0$ entonces:

$\lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$

siempre y cuando $\lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{f^{\prime (x)}}{g^{\prime (x)}}$ exista o sea infinito.

Nota: La regla de L’Hôpital’s también es válida para límites de un lado.

Ejemplo A

Encuentra $\lim\limits_{x \to + \infty} \frac{\ln (n)}{n}$ .

Solución:

En la sección anterior, resolvimos este límite mediante el uso de un gráfico. Ahora, haremos una aproximación diferente.

La secuencia $\left \{\frac{\ln (n)}{n} \right \}$ tiene una forma indeterminada $\frac{\infty}{\infty}$ . Debido a que las funciones $y=\ln (n)$ e $y=n$ son diferenciables, podemos aplicar la regla de L’Hôpital’s a este problema según se muestra a continuación:

$\lim_{n \to + \infty} \frac{\ln (n)}{n}&=\lim_{n \to + \infty} \frac{\frac{d}{dn} \ln(n)}{\left(\frac{d}{dn} n \right)} \\&=\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \\&=0$

Existen algunas reglas útiles para trabajar con secuencias. Las propiedades de límites de funciones también se usan con límites de secuencias.

Algunas Reglas para Evaluar el Límite de una Secuencia

Establece $\{a_n \}$ y $\{b_n \}$ como secuencias tales que,

$\lim\limits_{n \to + \infty} a_n=L_1 \text{ and } \lim\limits_{n \to + \infty} b_n=L_2,$

y establece $c$ como una constante, entonces:

1. $\lim\limits_{n \to + \infty} c=c$	El límite de una constante es la misma constante.
2. $\lim\limits_{n \to + \infty} c \cdot a_n=c \cdot \lim\limits_{n \to + \infty} a_n=cL_1$	El límite de una constante multiplicado por una secuencia es igual a la constante multiplicada por el límite de la secuencia.
3. $\lim\limits_{n \to + \infty}(a_n+b_n)=\lim\limits_{n \to + \infty}a_n+ \lim\limits_{n \to + \infty}=L_1+L_2$	El límite de una suma de secuencias es igual a la suma de los límites de las secuencias.
4. $\lim\limits_{n \to + \infty}(a_n \times b_n)=\lim\limits_{n \to + \infty}a_n \times \lim\limits_{n \to + \infty}b_n=L_1 L_2$	El límite del producto de las secuencias es igual al producto de los límites de las secuencias.
5. Si $L_2 \ne 0$ , entonces $\lim\limits_{n \to + \infty} \left(\frac{a_n}{b_n} \right)= \frac{\lim\limits_{n \to + \infty} a_n}{\lim\limits_{n \to + \infty} b_n}= \frac{L_1}{L_2}.$	El límite del cociente de dos secuencias es igual al cociente de los límites de las secuencias.

Ejemplo B

Encuentra $\lim\limits_{n \to + \infty} \frac{7n}{9n+5}$ .

Solución:

Podríamos usar la regla de L’Hôpital’s o usar alguna de las reglas en el teorema anterior. Utilicemos las reglas en el teorema. Divide tanto el numerador como el denominador por la mayor potencia de $n$ en la expresión y al utilizar reglas del teorema, encontramos el límite:

$\lim_{n \to + \infty} \frac{7n}{9n+5} &=\lim_{n \to + \infty} \frac{7}{9+ \frac{5}{n}} && \ldots \text{Dividing both numerator and denominator by }n. \\&=\lim_{n \to + \infty} \frac{\lim\limits_{n \to \infty} 7}{\lim\limits_{n \to \infty}\left(9+ \frac{5}{n} \right)} && \ldots \text{Applying the division rule for limits}. \\&=\lim_{n \to + \infty} \frac{\lim\limits_{n \to \infty} 7}{\lim\limits_{n \to \infty} 9+ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{5}{n}} && \ldots \text{Applying the rule for the limit of a sum}. \\&=\lim_{n \to + \infty} \frac{7}{9+0} && \ldots \text{Evaluating the limits}. \\&=\frac{7}{9}$

Teorema del Sándwich o Encaje

Al igual que en los límites de funciones, existe un Teorema del Sándwich o Encaje para los límites de secuencias, lo que compone otra técnica que se puede usar para determinar si una secuencia es convergente.

Teorema del Sándwich o Encaje

Establece $\{a_n \}$ , $\{b_n \}$ y $\{c_n \}$ como secuencias tales que $a_n \le c_n \le b_n$ para todo $n \ge N$ donde $N$ es un entero positivo. Si $\lim {a_n}=\lim {b_n}=L$ , entonces $\lim {c_n}=L$ .

Puedes notar cómo el nombre del teorema cobra sentido en el enunciado anterior. Luego de un cierto punto en las secuencias, los términos de una secuencia $c_n$ son hechos sándwich o encajados entre los términos de dos secuencias convergentes con el mismo límite. Luego, el límite de la secuencia $c_n$ es encajado para convertirse en el mismo que el límite de las dos secuencias convergentes.

Observemos un ejemplo.

Ejemplo C

Prueba $\lim\limits_{n \to + \infty} \frac{8^n}{n !}=0$ .

Solución:

Recuerda que $n !$ se lee como “ factorial de $n$ ” y se escribe como $n !=n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 1$ .

Queremos aplicar el teorema del sándwich al encajar la secuencia $\frac{8^n}{n !}$ entre dos secuencias que convergen al mismo límite.

Primero, sabemos que $0 \le \frac{8^n}{n !}$ .

Ahora, queremos encontrar una secuencia cuyos términos sean mayores o iguales a los términos de la secuencia $\frac{8}{7}$ para alguna $n$ .

Podemos escribir

$\frac{8^n}{n !} &=\frac{8 \times 8 \times 8\times \ldots \times 8}{n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots 1} \\&=\frac{8}{n} \times \frac{8}{n-1} \times \ldots \times \frac{8}{2} \times \frac{8}{1} \\&=\left(\frac{8}{n} \right) \left(\frac{8}{n-1} \times \ldots \times \frac{8}{9} \times \frac{8}{8} \right) \left(\frac{8}{7} \times \frac{8}{6} \times \frac{8}{5} \times \ldots \times \frac{8}{1} \right)$

Debido a que cada factor en el producto $\frac{8}{n-1} \times \ldots \times \frac{8}{9} \times \frac{8}{8}$ es menor o igual a 1, entonces el producto $\frac{8}{n-1} \times \ldots \times \frac{8}{9} \times \frac{8}{8} \le 1$ .

Luego, hacemos una inecuación:

$\left(\frac{8}{n} \right) \left(\frac{8}{n-1} \times \ldots \times \frac{8}{9} \times \frac{8}{8} \right) \left(\frac{8}{7} \times\frac{8}{6} \times \frac{8}{5} \times \ldots \times \frac{8}{1} \right) & \le \left(\frac{8}{n} \right) (1) \left(\frac{8}{7} \times\frac{8}{6} \times \frac{8}{5} \times \ldots \times \frac{8}{1} \right) \\& \le \left(\frac{8}{n} \right) \left(\frac{8}{7} \times\frac{8}{6} \times \frac{8}{5} \times \ldots \times \frac{8}{1} \right) \\& \le \left(\frac{8}{n} \right) \left(\frac{8^7}{7 !} \right)$

Asi, $\lim\limits_{n \to +\infty} 0 \le \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{8^n}{n !} \le \lim\limits_{n \to +\infty} \left(\frac{8}{n} \right) \left(\frac{8^7}{7 !} \right)$ .

Al usar el teorema de reglas, obtenemos $\lim\limits_{n \to +\infty} 0=0$ y $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\frac{8}{n} \right) \left(\frac{8^7}{7 !} \right)= \left(\frac{8^7}{7 !} \right) \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{8}{n}= \left(\frac{8^7}{7 !} \right) \times 0=0$ .

Así, $0 \le \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{8^n}{n !} \le 0$ .

Según el Teorema del Sándwich o Encaje, $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{8^n}{n !}=0$ .

Análisis del Problema de la Sección

Como una pequeña revisión antes de seguir con esta sección, ve si puedes anotar tantas propiedades básicas de límites como sea posible. ¿Recuerdas la regla de L’Hopital’s y cuándo se usa? ¿Recuerdas el teorema del encaje?

Si fuiste capaz de anotar propiedades de límites y recordar la regla de L’Hopital’s y el teorema de encaje, ¡felicitaciones! Su uso debería convertirse en algo natural para ti al trabajar con problemas de secuencias y series.

Vocabulario

La regla de L’Hôpital’s es un procedimiento que usa derivadas para ayudar a evaluar límites relacionados con formas indeterminadas.

Una forma indeterminada es una expresión algebraica que incluye las formas: $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0^0, 1^{\infty}, \infty -\infty, 0 \times \infty$ , y $\infty^0$ .

El Teorema del Sándwich o Encaje es un teorema usado para ayudar a evaluar el límite de una función o expresión al compararla con otras dos funciones cuyos límites son conocidos o fácilmente calculados.

Práctica Guiada

Evalúa el siguiente límite: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2}{2^n}$ .

Solución:

$a_n=f(n)=\frac{n^2}{2^n}$ para $f(x)=\frac{x^2}{2^x}$ .

$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2}{2^x}$ es indeterminado $\frac{\infty}{\infty}$ .

Usa la Regla de L’Hôpital’s : $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2}{2^x}=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x}{2^x \cdot \ln 2}=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{2}{2^x \cdot (\ln 2)^2}=0$ .

Por lo tanto, $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2}{2^n}=0$ .

Práctica

Determina si cada secuencia es convergente, divergente o no tiene límite. Si la secuencia es convergente, encuentra su límite.

$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[8n]{3n}$
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{3n^2-5}{n^2-5n+2}$
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{e^n}$
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n^2}$
$\lim\limits_{n \to \infty} \left(1- \frac{b}{n} \right)^{an}$
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n^2+1}$
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\cos n}{n}$
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}$
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{7}{n !}$
$\lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{n^2}{n+1}- \frac{1}{n+1} \right)$
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\ln (n+7)}{n^{\frac{1}{n}}}$
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^3+n^2-n+1}{n^2+1}$
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sin^2 n}{3^n}$
$\lim\limits_{n \to \infty} \left(3- \frac{1}{3^n} \right) \left(2+ \frac{1}{2^n} \right)$
$\lim\limits_{n \to + \infty} \left(\frac{11}{n}- \frac{8}{n^2} \right)$

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