Introducción a las Series Infinitas

Objetivos

En esta sección, aprenderás cómo luce una serie infinita, verás algunos tipos de series infinitas que debes saber identificar, y aprenderás la noción de sumas parciales de series infinitas.

Concepto

El número racional $\frac{4}{9}$ se puede escribir como $0.44444 \ldots=0.\overline{4}$ . Este decimal periódico se puede escribir como una serie infinita, según se muestra a continuación:

$\frac{4}{9} &= 0.4 +0.04+0.004+0.0004+\ldots\\&= \frac{4}{10}+\frac{4}{100}+\frac{4}{1000}+\frac{4}{10,000}+\ldots\\&= \frac{4}{10}+\frac{4}{10^2}+\frac{4}{10^3}+\frac{4}{10^4}+\ldots$

Cualquier decimal periódico se puede escribir como una serie infinita que representa un valor finito, un valor racional. Antes de seguir con esta sección, ¿puedes nombrar el tipo de serie infinita que se puede usar para representar el valor finito de cualquier decimal periódico? ¿Puedes escribir la fracción anterior $\frac{4}{9}$ como una serie infinita mediante el uso de notación de sumatoria?

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Orientación

En las secciones anteriores, observamos secuencias infinitas $\{a_n\}$ y sus características de convergencia o divergencia. Esta sección amplía el concepto de una secuencia infinita a una serie infinita, la cual es simplemente la suma infinita de los miembros de la secuencia. La definición práctica es:

Series Infinitas

Una serie infinita es la suma $S$ de los términos de una secuencia infinita, $u_1, u_2, u_3, u_4, \ldots$ , que generalmente se escribe como:

$S=u_1+u_2+u_3+u_4+ \ldots$

o, en notación sigma como:

$S=\sum\limits^{\infty}_{k=1} u_k.$

(Lee: “Sumatoria de $u_k$ donde $k$ toma los valores desde 1 hasta infinito.”)

Ejemplo A

Basado en la secuencia dada, define la serie infinito desde el punto de vista de la suma de los términos y utiliza la notación sigma:

1, 0.1, 0.01, 0.001, ...
$\{a_n=n\}$ para $n \ge 1$ .
1.5, -3.0, 6.0, -12.0, ...
11, 7, 3, -1, -4, -8, ...

Solución:

La secuencia infinita 1, 0.1, 0.01, 0.001, ... puede tener las siguientes representaciones de series infinitas:
1. $S=1+0.1+0.01+0.001+\ldots$
2. $S=\sum\limits^\infty_{k=1} \left(\frac{1}{10}\right)^{k-1}$
La secuencia infinita puede tener las siguientes representaciones de series infinitas:
1. $S=0+1+2+3+4+\ldots$
2. $S=\sum\limits^\infty_{k=1} k$
La secuencia infinita 1.5, -3.0, 6.0, -12.0, ... puede tener las siguientes representaciones de series infinitas:
1. $S=1.5-3.0+6.0-12.0+\ldots$
2. $S=\sum\limits^\infty_{k=1}1.5 (-2)^{k-1}$
La secuencia infinita 11, 7, 3, -1, -4, -8, ... puede tener las siguientes representaciones de series infinitas:
1. $S=11+7+3-1-4-8 \ldots$
2. $S=\sum\limits^\infty_{k=1} [11-3(k-1)]$

Ya que los miembros individuales $u_k$ de una secuencia podrían ser negativos, cero o positivos, también podrían serlo los términos individuales de las series infinitas correspondientes. Debido a que las propiedades importantes de una serie están basadas en si los términos de la serie son todos positivos o son alternados (negativo, cero o positivo), es importante ser capaz de reconocer una serie como parte de una de las dos categorías siguientes:

Serie de términos positivos (no negativos) , o
Serie de términos positivos y negativos (la forma más simple es la serie alternada).

Dos Categorías de Series Infinitas
Tipo de Serie	Forma Extendida	Notación Sigma	Parámetros
Término Positivo	$S=a_1+a_2+a_3+ \ldots +a_n+\ldots$	$S=\sum\limits^\infty_{n=1}a_n$	$a_n > 0$
Término Positivo & Negativo: Alternando	$S=a_1-a_2+a_3-\ldots+(-1)^{n-1}a_n+\ldots$ or $S=-a_1+a_2-a_3+\ldots +(-1)^n a_n+\ldots$	$S=\sum\limits^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}a_n$ or $S=\sum\limits^\infty_{n=1} (-1)^n a_n$	$a_n > 0$

Además, existen algunos tipos de series importantes que aparecerán frecuentemente en secciones posteriores, y que deberías aprender a reconocer. Estos tipos se muestran en la siguiente tabla:

Tipos Comunes de Series
Tipo de Serie	Forma Extendida	Notación Sigma	Parámetros
Aritmética	$S=t_1+(t_1+d)+(t_1+2d)+(t_1+3d)+\ldots$	$S=\sum\limits^\infty_{n=1} [t_1+d(n-1)]$	$t_1, d$ son constantes.
Geométrica	$S=a+ar+ar^2+ar^3+\ldots ar^{n-1}+\ldots$	$S=\sum\limits^\infty_{n=1} ar^{n-1}$	$a,r$ son constantes.
Armónica	$S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}+\ldots$	$S=\sum\limits^\infty_{n=1} \frac{1}{n}$	---
Série $p$	$S=1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\ldots+\frac{1}{n^p}+\ldots$	$S=\sum\limits^\infty_{n=1} \frac{1}{n^p}$	$p>0$

Ejemplo B

Identifica las características de las siguientes series mediante el uso de la información anterior sobre el tipo:

1. $-4.3 -3.1 -1.9 -0.7 +\ldots$

2. $\frac{1}{72}+\frac{1}{24}+\frac{1}{8}+\ldots$

3. $1-0.6+0.06-0.006+\ldots$

Solución:

1. Cada término de la serie $-4.3 -3.1 -1.9 -0.7 +\ldots$ es mayor al término previo por 1,2. Esto quiere decir que la serie es una aritmética infinita de término positivo y negativo con el primer término $t_1=-4.3$ , y la diferencia común $d=1.3$ .

2. Luego del primer término de la serie $\frac{1}{72}+\frac{1}{24}+\frac{1}{8}+\ldots$ cada término es 3 veces mayor que el término anterior. Esto quiere decir que la serie es una geométrica de término positivo infinito con el primer término $t_1=\frac{1}{72}$ , y la razón común $r=3$ .

3. Luego del primer término de la serie $1-0.6+0.06-0.006+\ldots$ cada término es $-\frac{1}{10}$ veces mayor que el término anterior. Esto quiere decir que la serie es una geométrica de término infinito positivo/negativo (alternada) con el primer término $t_1=1$ , y la razón común $r=-\frac{1}{10}$ .

Secuencia de Sumas Parciales

Como revisaremos en la siguiente sección, la secuencia de sumas (parciales) finitas $\{s_n\}$ generadas de los términos de cualquier serie infinita $\sum\limits^\infty_{n=1} u_n$ nos da mucha información sobre las propiedades de convergencia (o divergencia) de las series infinitas. Para la serie $\sum\limits^\infty_{n=1} u_n$ , los miembros de la secuencia son

$s_1 &= u_1\\s_2 &= u_1+u_2\\s_3 &= u_1+u_2+u_3\\\vdots & \qquad \qquad \vdots\\s_n &= u_1+u_2+u_3+\ldots+u_n$

La primera suma es el primer término de la serie. La segunda suma es la adición de los primeros dos términos de la serie. El tercer término es la suma de los primeros tres términos. Así, la suma $n$ -ésima finita (parcial), $s_n$ , es la suma de los primeros términos $n$ de la serie infinita: $s_n=u_1+u_2+u_3+\ldots+u_n$ . La secuencia de sumas parciales se define como:

Una Suma Parcial de una Serie Infinita

Para una serie infinita $\sum\limits^\infty_{k=1} u_k$ , La suma parcial $n$ -ésima , $s_n$ , es la suma de los primeros términos $n$ de la serie infinita. Eso es:

$s_n=\sum\limits^n_{k=1}u_k.$

La secuencia $\{s_n\}$ formada a partir de esas sumas recibe el nombre de secuencia de sumas parciales .

Como puedes ver, el conjunto de sumas $s_n$ forman una secuencia. La secuencia es muy importante para el estudio de las series infinitas relacionadas ya que nos da mucha información sobre estas.

Ejemplo C

Encuentra la secuencia de la suma parcial de la primera $n$ de cada serie infinita:

$1+0.1+0.01+0.001+\ldots, n=5$ .
$S=\sum\limits^\infty_{k=1} k, n=10$ .
$S=\sum\limits^{\infty}_{k=1} 1.5 (-2)^{k-1}, n=10$

Solución:

1. Esta es una serie geométrica de término positivo. La secuencia de las cinco primeras sumas parciales es: $\{s_1, s_2, s_3, s_4, s_5\}$ Esto es:

$s_1 &= u_1=1\\s_2 &= u_1+u_2=1+0.1=1.1\\s_3 &= 1+0.1+0.01=1.11\\s_4 &= 1+0.1+0.01+0.001=1.111\\s_5 &= 1+0.1+0.01+0.001+0.0001=1.1111$

Para una serie geométrica con el primer término $a$ y una razón común de $r$ , la suma parcial $n$ -ésima $S_n$ se calcula a partir de: $S_n=a \frac{1-r^n}{1-r}$ .

2. Tal vez recuerdes de una sección anterior que $S_n=\sum\limits^n_{k=1} k =\frac{n(n+1)}{2}$ . Usar este atajo, permite determinar que la secuencia de las primeras diez sumas parciales $\{s_1, s_2, s_3, \ldots, s_{10}\}$ es:

$& s_1=\frac{1(1+1)}{2}=1 & s_6=21\\& s_2 =\frac{2(2+1)}{2}=3 & s_7=28\\& s_3=6 & s_8=36\\& s_4=10 & s_9=45\\& s_5=15 & s_{10}=55$

3. Esta es una serie geométrica alternada con $a=1.5$ y $r=-2$ . La secuencia de las diez primeras sumas parciales $\{s_1, s_2, s_3, \ldots s_{10}\}$ es:

$& s_1=\sum\limits^1_{k=1} 1.5(-2)^{1-1}=1.5 && s_6=-31.5\\& s_2=\sum\limits^2_{k=1} 1.5(-2)^{2-1}=1.5-3=-1.5 && s_7=64.5\\& s_3=\sum\limits^3_{k=1} 1.5(-2)^{k-1}=4.5 && s_8=-127.5\\& s_4=\sum\limits^4_{k=1} 1.5(-2)^{k-1}=-7.5 && s_9=256.5\\& s_5=\sum\limits^5_{k=1} 1.5(-2)^{k-1}=16.5 && s_{10}=-511.5$

Para explorar en mayor profundidad las series, intenta experimentar con este applet (programa). El applet muestra los términos de una serie, además de sumas parciales seleccionadas de la serie. Series Applet . Como puedes ver en el applet, en algunas series las sumas parciales parecen aproximarse a un número fijo, mientras que en otras series las sumas parciales no lo hacen. Explorar este fenómeno es el tema de las siguientes secciones.

Análisis del Problema de la Sección

Antes de seguir con esta sección, ¿puedes nombrar el tipo de serie infinita que se puede usar para representar el valor finito de cualquier decimal periódico? ¿Puedes escribir la fracción anterior $\frac{4}{9}$ como una serie infinita mediante el uso de notación de sumatoria?

Serie geométrica es el nombre de la serie infinita que se puede usar para representar el valor finito de cualquier decimal periódico. Tiene la forma de $S=\sum\limits^\infty_{n=1} ar^{n-1}$ . Debido a que la fracción $\frac{4}{9}$ se puede escribir como $\frac{4}{9}=\frac{4}{10}+\frac{4}{10^2}+\frac{4}{10^3}+\frac{4}{10^4}+\ldots$ , la serie geométrica se escribe como $\frac{4}{9}=\sum\limits^\infty_{n=1} \frac{4}{10} \left(\frac{1}{10}\right)^{n-1}=\sum\limits^\infty_{n=1} \frac{2}{5} \left(\frac{1}{10}\right)^{n-1}$ .

Vocabulario

Una serie infinita es la suma de los miembros de una secuencia en la que el exponente aumenta sin fin. Hay un número infinito de términos en la suma.

Una serie infinita de términos positivos (no negativos) es una serie infinita en la que todos sus términos son mayores o iguales a 0.

Una serie infinita de términos positivos y negativos es una serie infinita en la que sus términos son valores positivos o negativos.

Una suma parcial es la suma de un número finito de términos en una serie infinita.

Práctica Guiada

En la serie $7, -\frac{21}{2}, \frac{63}{3}, -\frac{189}{8}, \ldots$ .

a. Describe la serie utilizando tantas de las descripciones siguientes según se apliquen:

Finita o infinita
Término positivo o término positivo y negativo
Serie $p$ aritmética, geométrica y armónica, o de tipo desconocido

b. Escribe la serie usando notación sigma.

c. Calcula el 10 ^mo término de la serie y la 3 ^ra suma parcial.

Solución:

a. La serie continúa indefinidamente y alterna entre términos positivos y negativos: Es una serie alternada infinita. Además, las razones entre el 2 ^do y 1 ^er término, el 3 ^er y 2 ^do término, etc. son iguales, $-\frac{3}{2}$ . Esta es una serie geométrica con razón común $r=-\frac{3}{2}$ y $a=7$ .

b. La serie se puede escribir en notación sigma como $S=\sum\limits^\infty_{n=1} 7 \left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1}$ .

c. En una serie geométrica, el $n$ -ésimo término está dado por $t_n=ar^{n-1}:$

$t_{10}=ar^{10-1}=7 \left(-\frac{3}{2}\right)^9=-\frac{137781}{512}.$

En una serie geométrica, la $n$ -ésima suma parcial está dada por $S_n=a \frac{1-r^n}{1-r}$ :

$S_3=7 \frac{1-\left(-\frac{3}{2}\right)^3}{1-\left(-\frac{3}{2}\right)}=\frac{49}{4}.$

Práctica

Expresa los siguientes números como series infinitas en la forma de notación sigma:

1. $\frac{3}{9}$

2. $\frac{1}{11}$

3. $0.\overline{037}$

4. $0.\overline{1573}$

5. 0.12012001200012...

Identifica el tipo de series infinitas mostradas con tantos detalles como sea posible (término positivo o positivo/negativo, aritmética con primer término y diferencia común, geométrica, etc.):

6. $-7-3+1+5+9+\ldots$

7. $\sum\limits^\infty_{k=1} \left(\frac{3}{5}\right)^{k-1}$

8. $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{k^3}{k^3-5}$

9. $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{4^{k+2}}{9^{k-1}}$

En cada una de las series infinitas, identifica las características de estas y encuentra las primeras tres sumas parciales, $s_1, s_2, s_3$ :

10. $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{k+2}{5^{k-1}}$

11. $\sum\limits^{\infty}_{n=1} 5 \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

12. $\sum\limits^{\infty}_{n=1} (-13+3(n-1))$

13. $\sum\limits^{\infty}_{i=1} i^3$

14. $\sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{7}{n}$

15. $\sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{30}{n^2}$

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