Determinar Convergencia o Divergencia de una Serie Infinita

Objetivos

En esta sección, aprenderás el significado de convergencia y divergencia de una serie infinita con respecto a un límite de la suma parcial $n$ -ésima, o el término $n$ -ésimo.

Concepto

Imagina que te paras exactamente a 8 pies de un muro y comienzas a dar pasos hacia este disminuyendo en la mitad la distancia que queda con cada paso. ¿Puedes expresar matemáticamente, usando notación sigma, cuán lejos has llegado luego de cada paso? ¿Qué tipo de serie es? ¿Qué te dice la serie sobre el número de pasos que realmente tomaría para llegar al muro?

Mira Esto

"Video disponible solo en inglés"

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido (requiere conexión a internet)

http://www.youtube.com/watch?v=4vGr104Qpj4 - Series Infinitas: La Prueba de Divergencia del Término $N$ -ésimo

Orientación

Al igual que con las secuencias, podemos hablar de la convergencia o divergencia de series infinitas. Resulta que la convergencia o divergencia de una serie infinita depende de la convergencia o divergencia de la secuencia de las sumas parciales.

Convergencia y Divergencia de una Serie Infinita

Establezcamos que $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ es una serie infinita y definamos $\{s_n\}$ como la secuencia de las sumas parciales para las series:

Si $\lim\limits_{n \to \infty} s_n=S$ , donde $S$ es un número real, entonces la serie infinita converge y $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k=S$ .
Si $\lim\limits_{n \to \infty} s_n$ no tiene un límite finito, entonces la serie infinita diverge.

Cuando determinemos que el límite de la suma parcial de una serie infinita es finita, entonces sabremos que la serie infinita converge.

Basándonos en las definiciones anteriores de la convergencia y divergencia de una serie infinita, la tabla presentada a continuación resume la convergencia y divergencia en algunas de las series infinitas comunes y reconocibles que fueron presentadas en la sección previa. Deberías aprender a reconocer estas formas de series.

Propiedades de Convergencia de Tipos de Series Comunes
Tipo de Serie	Notación Sigma	Converge si	Diverge si
Aritmética	$S=\sum\limits_{n=1}^\infty [t_1+d(n-1)]$	Nunca	Siempre
Geométrica	$S=\sum\limits_{n=1}^\infty ar^{n-1}$	$\|r\|<1$ con $S=\frac{a}{1-r}$	$\|r\| \ge 1$
Armónica	$S=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$	Nunca	Siempre
$p$ -Serie	$S=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$	$p>1$	$p \le 1$

Apliquemos la definición de convergencia y divergencia a algunos tipos presentados en la sección anterior.

Ejemplo A

Determina si la siguiente serie infinita converge o diverge: $S=-100-95-90-85+ \ldots$

Solución:

La serie infinita $S=-100-95-90-85+ \ldots$ se puede escribir en notación sigma como $S=\sum\limits_{k=1}^\infty [-100+5(k-1)]$ .

Esta es una serie aritmética con $t_1=-100$ y $d=5$ .

Recuerda de las secciones en Análisis que la suma parcial $n$ -ésima, $S_n$ , de una serie aritmética está dada por

$S_n=\frac{n}{2} \left[t_1 + t_n\right] = \frac{n}{2} \left[2t_1 + (n-1)d\right].$

Usar la definición de convergencia y divergencia de series al evaluar el límite de la suma parcial $n$ -ésima da:

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} \left[2(-100) + (n-1)5\right] = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} \left[-200\right] + \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} \left[(n-1)5 \right] = \infty.$

La serie aritmética infinita es divergente. ¡Esto se comprueba para todas las series aritméticas infinitas!

Observemos otro ejemplo.

Ejemplo B

La serie infinita $1+0.1+0.01+0.001+ \ldots$ ¿converge o diverge?

Solución:

Esta es una serie geométrica con $a=1$ y $r=\frac{1}{10}=0.1$ .

Recuerda de las secciones en Análisis que la suma parcial $n$ -ésima, $S_n$ , de una serie geométrica está dada por

$S_n=a \frac{1-r^n}{1-r}.$

Usar la definición de convergencia y divergencia de series al evaluar el límite de la suma parcial $n$ -ésima da:

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left[a \frac{1-r^n}{1-r}\right] = \lim_{n \to \infty} \left[\frac{1-(0.1)^n}{1-0.1}\right] = \lim_{n \to \infty} \left[\frac{1}{0.9}\right] - \lim_{n \to \infty} \left[\frac{1-(0.1)^n}{0.9}\right] = \frac{10}{9}.$

Este es el resultado que se obtendría de la tabla anterior, debido a que $|r| < 1$ , la serie converge al valor $S=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-0.1}=\frac{10}{9}.$

Esta solución también puede ser mostrada mediante el siguiente proceso.

Escribe la serie infinita $1+0.1+0.01+0.001+ \ldots$ como una serie infinita de fracciones:

$1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} + \cdots$

La suma parcial $n$ -ésima es: $S_n=1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^ 3} + \cdots + \frac{1}{10^{n-1}}$ .

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{1}{10}$ :

$\frac{1}{10} s_n &= \frac{1}{10} \left(1+ \frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} + \ldots + \frac{1}{10^{n-1}}\right) \\&= \frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} + \frac{1}{10^4} + \ldots + \frac{1}{10^n}$

Ahora tenemos dos ecuaciones:

$s_n &=1+ \frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} + \ldots + \frac{1}{10^{n-1}} \\ \frac{1}{10}s_n &= \frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} + \frac{1}{10^4} + \ldots + \frac{1}{10^n}$

Resta la ecuación inferior a la ecuación superior para eliminar términos y simplificar:

$s_n - \frac{1}{10} s_n &= 1- \frac{1}{10^n} \\ \frac{9}{10}s_n &= 1- \frac{1}{10^n}$

Resuelve $s_n$ al multiplicar ambos lados de la última ecuación por $\frac{10}{9}$ :

$s_n=\frac{10}{9} \left(1- \frac{1}{10^n}\right)$

Ahora encontramos el límite de ambos lados:

$\lim_{n \to +\infty} s_n &=\lim_{n \to \infty} \frac{10}{9} \left(1- \frac{1}{10^n}\right) \\ &=\lim_{n \to \infty} \frac{10}{9} - \lim_{n \to +\infty} \frac{10}{9} \left(\frac{1}{10^n}\right) \\&=\frac{10}{9} - 0 = \frac{10}{9} \\&= \frac{10}{9}$

La suma de la serie infinita es $\frac{10}{9}$ , por lo tanto, la serie converge.

Prueba del Término $n$ -ésimo para Divergencia de Series

Determinar convergencia al usar el límite de la secuencia de sumas parciales no es siempre factible o práctico. Este es el caso con las series armónicas y $p$ -en donde no existe ecuación para la suma parcial $n$ -ésima, por lo que no es posible calcular el límite. Se deben usar otros métodos o pruebas para mostrar convergencia o divergencia en estas dos series (y otras).

Si no se puede mostrar convergencia o divergencia al utilizar el límite de una expresión de suma parcial, entonces la siguiente prueba al término $n$ -ésimo de la suma parcial podría mostrar si una serie es divergente.

Prueba del Término $n$ -ésimo para Divergencia de Series

En una serie infinita $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ , si $\lim\limits_{k \to +\infty}u_k \ne 0$ o $\lim\limits_{k \to +\infty}u_k$ no existen, entonces la serie infinita $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ diverge.

Nota: Si $\lim\limits_{k \to +\infty}u_k=0$ , no podemos concluir nada sobre la convergencia o divergencia.

Ejemplo C

Determina si la siguiente serie infinita; $S=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{-3}}$ converge o diverge.

Solución:

Esta es una serie de forma $S=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ , es decir, una serie $p$ con $p=-3$ .

No es posible obtener una expresión determinada para la suma parcial del $n$ -ésimo, lo que significa que no podemos aplicar la estrategia de límite para determinar convergencia o divergencia. Sin embargo, la prueba del término $n$ -ésimo se puede aplicar a la prueba para divergencia.

Tenemos

$\lim_{k \to +\infty} u_k = \lim_{k \to +\infty} \frac{1}{k^p} = \lim_{k \to +\infty} \frac{1}{k^{-3}} = \lim_{k \to +\infty} k^3 = \infty.$

Por lo tanto, la serie $S=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{-3}}$ diverge.

En general, cualquier serie $p$ diverge cuando $p<0$ . En secciones posteriores, se darán pruebas para demostrar la convergencia o divergencia de series $p$ para otros valores de $p$ .

Análisis del Problema de la Sección

La distancia viajada, $D_N$ , luego de $N$ pasos se vería así:

$D_N=8 \left(\frac{1}{2}\right) + 8 \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) + 8 \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) + \cdots = 8 \left(\frac{1}{2}\right) \left(1+ \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cdots \left(\frac{1}{2}\right)^{N-1}\right) = \sum\limits_{k=1}^N 4 \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}$

Esta es una serie geométrica finita con $a=4$ pies y una razón común de $r=\frac{1}{2}$ . La suma parcial $n$ -ésima de esta serie geométrica es; $S_N=a \frac{1-r^N}{1-r}=4 \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^N}{1- \frac{1}{2}}=8 \left[1- \left(\frac{1}{2}\right)^N\right]$ . ¡Parece que nunca llegarás al muro! Pero es bueno saber que con el límite en $N \rightarrow \infty$ , lo logras. ¿Tienes tiempo?

Vocabulario

Una serie infinita converge si es finito el límite en el infinito positivo de su suma parcial $n$ -ésima.

Una serie infinita diverge si el límite en el infinito positivo de su suma parcial $n$ -ésima es infinito o no existe.

La prueba del término $n$ -ésimo para divergencia es una prueba que usa el límite en el infinito positivo de su término $n$ -ésimo para determinar divergencia. No es una prueba de convergencia.

Práctica Guiada

Determina si la serie converge o diverge:

1. $\sum\limits_{k=1}^\infty \left(\frac{5}{6^{k-1}}\right)$

2. $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k}{k+5}$

3. $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{8}{k-3}$

Solución:

1. $\sum\limits_{k=1}^\infty \left(\frac{5}{6^{k-1}}\right) = \sum\limits_{k=1}^\infty 5 \left[\frac{1}{6}\right]^{k-1}$ . Esta es una serie geométrica con $a=5$ y $r=\frac{1}{6}$ . Debido a que $|r|<1$ , la serie converge. Converge al valor $S=\frac{a}{1-r}=\frac{5}{\frac{5}{6}}=6$ .

2. La serie $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k}{k+5}$ es difícil de evaluar mediante el uso del límite de la suma parcial. Usa la Prueba del Término $n$ -ésimo para determinar si la serie diverge.

$\lim_{k \to +\infty} \frac{k}{k+5} &= \lim_{k \to +\infty} \frac{\frac{k}{k} }{\frac{k+5}{k}} \\&= \lim_{k \to +\infty} \frac{1}{1+ \frac{5}{k}} \\&= \frac{\lim\limits_{k \to +\infty} 1}{\lim\limits_{k \to +\infty} \left(1+\frac{5}{k}\right)} \\&= 1$

Debido a que $\lim\limits_{k \to +\infty} \frac{k}{k+5} \ne 0$ , la serie $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k}{k+5}$ diverge.

3. La serie $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{8}{k-3}$ es difícil de evaluar mediante el uso del límite de la suma parcial. Usa la Prueba del Término $n$ -ésimo para determinar si la serie diverge $\lim_{k \to +\infty} \frac{8}{k-3} = \lim_{k \to + \infty} \frac{\frac{8}{k}}{\left ( \frac{1-3}{k} \right ) } = 0.$

Debido a que el límite es 0, no podemos hacer una conclusión sobre la convergencia o divergencia.

Práctica

Determina si cada serie infinita converge o diverge. Si una serie converge, encuentra su sumatoria.

$3 + \frac{3}{10} + \frac{3}{10^2} + \frac{3}{10^3} + \cdots$
$\sum\limits_{k=1}^\infty \left(\frac{3}{5}\right)^{k-1}$
$\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \left(-\frac{2}{3}\right)^{k-1}$
$\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k^3}{k^3-5}$
$\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{4^{k+2}}{9^{k-1}}$
$7 + \frac{7}{8} + \frac{7}{8^2} + \frac{7}{8^3} + \cdots + \frac{7}{8^{i-1}} + \cdots$
$\sum\limits_{k=1}^{+\infty} 9^{k-1}$
$-\frac{3}{4} + \frac{3}{4^2} - \frac{3}{4^3} + \cdots + \frac{3(-1)^k}{4^k} + \cdots$
$3+2+ \frac{4}{3} + \frac{8}{9} + \cdots$
$-2+ \frac{5}{2} - \frac{25}{8} + \frac{125}{32} + \cdots$
$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{n+7}$
$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n+1}{2n-3}$
$\sum\limits_{n=1}^\infty \sqrt[n]{3}$
¿Para qué valores de $x$ la serie $\sum\limits_{k=1}^\infty 3 \sin(x)^{k-1}$ converge?
Prueba que $0.99999999 \ldots = 1$ .

Prev Next

Determinar Convergencia o Divergencia de una Serie Infinita

Objetivos

Concepto

Mira Esto

Orientación

Vocabulario

Práctica Guiada

Práctica

Licencia