Algunas Propiedades de las Series Infinitas

Objetivos

En esta sección, aprenderás algunas propiedades que pueden ser útiles al trabajar con series infinitas.

Concepto

La sección anterior estableció la base para determinar si una serie infinita converge o diverge. Bueno, si la convergencia o divergencia de alguna serie infinita ha sido determinado, ¿existen propiedades básicas que nos digan cómo podrían estar combinadas? Recuerda que lo mismo ocurre con respecto a cómo las funciones, límites, derivadas e integrales se pueden combinar. Ahora, piensa en cómo combinar series que son convergentes o divergentes. Si dos series convergentes se combinan, ¿es convergente la serie resultante? ¿Qué pasa cuando se combina una serie convergente y una divergente?

Orientación

Cuando se trabaja con series infinitas, es útil conocer las siguientes propiedades básicas:

Propiedad del Término $n$ -ésimo de una Serie Infinita Convergente
Propiedades Básicas de Sumatoria o Producto de Series Infinitas
Re-exponenciar una Serie Infinita

Propiedad del Término $n$ -ésimo de una Serie Infinita Convergente

En la sección anterior, se presentó una prueba para la divergencia llamada la Prueba del Término $n$ -ésimo para Divergencia . Esta prueba es realmente un resultado de la siguiente propiedad de una serie infinita convergente

Propiedad del Término $n$ -ésimo de una Serie Infinita Convergente

Si la serie infinita $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ converge, entonces $\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} u_k=0$ .

Nota: $\lim\limits_{k\rightarrow +\infty}u_k=0$ no es una prueba para determinar la convergencia de series, es solo una propiedad de una serie convergente. Una serie podría ser divergente, pero aún tener $\lim\limits_{k\rightarrow +\infty}u_k=0$ .

Como se ha constatado no podemos usar esta propiedad de una serie convergente como una prueba para determinar convergencia, es solo una confirmación de convergencia una vez que ha sido determinada mediante el uso de una prueba apropiada.

Ejemplo A

1. Demuestra que la serie $p$ -convergente $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^3}$ satisface la propiedad del término $n$ -ésimo de una serie convergente.

2. Demuestra que la serie armónica divergente $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k}$ también satisface la propiedad del término $n$ -ésimo de una serie convergente.

Solución:

1. El término $n$ -ésimo de la serie convergente $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^3}$ está dada por $u_k=\frac{1}{k^3}$ , y $\lim\limits_{k\rightarrow +\infty}u_k=\lim\limits_{k\rightarrow +\infty}\frac{1}{k^3}=0$ .

Por lo tanto, la serie convergente $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^3}$ satisface la propiedad del término $n$ -ésimo de una serie convergente.

2. El término $n$ -ésimo de la serie divergente $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$ está dada por $u_k=\frac{1}{k}$ , y $\lim\limits_{ k\rightarrow +\infty} u_k =\lim\limits_ {k\rightarrow +\infty} \frac{1}{k^3}=0$ .

Por lo tanto, la serie divergente $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3}$ también satisface la propiedad del término $n$ -ésimo de una serie convergente.

¡No uses la propiedad del término $n$ -ésimo de una serie infinita convergente como una prueba para determinar convergencia!

Propiedades Básicas de Sumatoria o Producto de Series Infinitas

Al igual que con secuencias, existen algunas propiedades útiles de sumatoria y producto que se aplican a las series infinitas.

Propiedades Básicas de Sumatoria o Producto de Series Infinitas

1. La suma o resta de series convergentes también es convergente:

Supone que $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ y $\sum\limits_{k=1}^\infty v_k$ son series convergentes con $\sum\limits _{k=1}^\infty u_k=S_u$ y $\sum\limits _{k=1}^\infty v_k=S_v$ , entonces:

$\sum\limits_{k=1}^\infty (u_k+v_k)$ es convergente y $\sum\limits _{k=1}^\infty(u_k+v_k)=S_u+S_v$
$\sum\limits_{k=1}^\infty(u_k-v_k)$ es convergente y $\sum\limits_{k=1}^\infty(u_k-v_k)=S_u-S_v$

2. La suma de series convergente y divergente es divergente.

Supone que $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ es convergente y $\sum\limits_{k=1}^\infty v_k$ es divergente, entonces:

$\sum\limits_{k=1}^\infty(u_k+v_k)$ es divergente.

Nota: La suma o resta de dos series divergentes puede o no ser divergente.

3. Multiplicar una serie por una constante diferente a cero no afecta la convergencia o divergencia:

Establece $c\ne 0$ como una constante, entonces:

Si $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ converge y $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k = S_u$ , entonces $\sum\limits_{k=1}^\infty {cu}_k$ converge y $\sum\limits_{k=1}^\infty {cu}_k = cS_u$ .
Si $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ diverge, entonces $\sum\limits_{k=1}^\infty cu_k$ también diverge.

4. Sumar o restar un número finito de términos de una serie infinita no afecta la convergencia o divergencia.

Si $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ converge, entonces $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k \pm(u_1+u_2+\ldots+u_m)$ también es convergente.
Si $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ diverge, entonces $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k \pm(u_1+u_2+\ldots+u_m)$ también es divergente.

Nota: Agregar o quitar un número finito de términos afectará la suma.

Ejemplo B

1. Encuentra la sumatoria de $\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{2}{3^{k-1}}+\frac{1}{8^{k-1}}\right)$ si existe.

2. Demuestra que restar los términos $k=11,12,13,\ldots ,19$ de la serie $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{3}{5^{k-1}}$ no afecta la convergencia de esta serie geométrica.

Solución:

1. Al examinar las dos series, vemos que

$\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2}{3^{k-1}}$ es una serie geométrica convergente con $a=2$ y $r=\frac{1}{3}$ , y la sumatoria es $\frac{a}{1-r}=\frac{2}{1-\frac{1}{3}}=3$ .

$\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{8^{k-1}}$ es una serie geométrica convergente con $a=1$ y $r=\frac{1}{8}$ , la sumatoria es $\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{8}}=\frac{8}{7}$ .

Por lo tanto, usando el Teorema de Propiedades Básicas, $\sum\limits_{k=1}^\infty \left(\frac{2}{3^{k-1}}+\frac{1}{8^{k-1}}\right)=\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2}{3^{k-1}}+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{8^{k-1}}=3+\frac{8}{7}=\frac{29}{7}$ .

2. $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{3}{5^{k-1}} = \sum\limits_{k=1}^\infty 3 \left(\frac{1}{5}\right)^{k-1}$ es una serie geométrica con $a=3$ , $r=\frac{1}{5}$ , y la sumatoria es $\frac{a}{1-r}=\frac{3}{1-\frac{1}{5}}=\frac{15}{4}$ . Si los términos

$k=11,12,13,\ldots ,19$ son eliminados de la serie, la nueva serie sería $\sum\limits_{k=1}^{10} 3\left(\frac{1}{5}\right)^{k-1} + \sum\limits_{k=20}^\infty 3\left(\frac{1}{5}\right)^{k-1}$ .

La primera serie $\sum\limits_{k=1}^{10} 3 \left(\frac{1}{5}\right)^{k-1}$ es una serie geométrica finita con sumatoria $\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}=\frac{3\left[1-\left(\frac{1}{5}\right)^{10}\right]}{1-\frac{1}{5}}=\frac{15}{4}\left[1-\left(\frac{1}{5}\right)^{10}\right]$ .

La segunda serie $\sum\limits_{k=20}^\infty 3 \left(\frac{1}{5}\right)^{k-1}$ se puede escribir como

$\sum\limits_{k=20}^\infty 3\left(\frac{1}{5}\right)^{k-1}&=3\left(\frac{1}{5}\right)^{19}\left[1+\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^2+\left(\frac{1}{5}\right)^3+\ldots\right]\\&=\sum\limits_{k=1}^\infty 3\left(\frac{1}{5}\right)^{19}\left(\frac{1}{5}\right)^{k-1}$

Pero $\sum\limits_{k=1}^\infty 3\left(\frac{1}{5}\right)^{19}\left(\frac{1}{5}\right)^{k-1}$ también es una serie geométrica convergente con $a=3\left(\frac{1}{5}\right)^{19}$ , $r=\frac{1}{5}$ , y sumatoria $\frac{a}{1-r}=3\left(\frac{1}{5}\right)^{19}\frac{1}{1-\frac{1}{5}}=\frac{15}{4}\left(\frac{1}{5}\right)^{19}$ .

Por lo tanto, la serie $\sum\limits_{k=1}^{10}3\left(\frac{1}{5}\right)^{k-1} + \sum\limits_{k=20}^\infty 3 \left(\frac{1}{5}\right)^{k-1}$ se puede escribir como

$\sum_{k=1}^{10} 3 \left(\frac{1}{5}\right)^{k-1} + \sum_{k=20}^\infty 3 \left(\frac{1}{5}\right)^{k-1} &= \frac{15}{4}\left[1-\left(\frac{1}{5}\right)^{10}\right]+ \frac{15}{4}\left(\frac{1}{5}\right)^{19}\\&= \frac{15}{4}\left[1-\left(\frac{1}{5}\right)^{10}+ \left(\frac{1}{5}\right)^{19}\right] \ldots \text{This is a finite sum, which show}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{series convergence!}$

Por lo tanto, ¡la serie convergente $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{3}{5^{k-1}} = \sum\limits_{k=1}^\infty 3 \left(\frac{1}{5}\right)^{k-1}$ con los términos $k=11,12,13,\ldots ,19$ eliminados es una serie nueva que también es convergente!

Cambiar el Exponente de una Serie Infinita

La última propiedad que será abordada en esta sección es la re-exponenciación de una serie infinita. Con lo anterior, nos referimos a cambiar el exponente de las series para empezar en un número diferente que la serie determinada, por ejemplo. $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n = \sum\limits_{n=0}^\infty a_{n+1}$ . Siempre y cuando preservemos el orden de los términos , el exponente de una serie se puede cambiar para comenzar con un número diferente según se muestra a continuación: $\sum\limits_{n=p}^\infty a_n = \sum\limits_{k=s}^\infty a_{k+(p-s)}$ .

Ejemplo C

Cambia el exponente de la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{4}{3^{n-1}}$ de forma que el exponente comience en 6, en vez de 1.

Solución:

Queremos que el valor del primer exponente sea 6.

Establece un nuevo exponente $k$ de forma que $k=s=6$ corresponda a $n=p=1$ .

Luego, la nueva serie con exponente inicial $k=6$ se puede escribir ahora como:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{4}{3^{n-1}}= \sum_{k=6}^\infty \frac{4}{3^{{k+(1-6)-1}}}= \sum_{k=6}^\infty \frac{4}{3^{k-6}}$

Puedes comprobar que la serie en la derecha es la misma serie que la de la izquierda al anotar algunos de los primeros términos de cada serie. Nota que los términos aún están ordenados.

Análisis del Problema de la Sección

Si la convergencia o divergencia se alguna serie infinita ha sido determinado, ¿existen propiedades básicas que nos digan cómo podrían estar combinadas? Recuerda que lo mismo ocurre con respecto a cómo las funciones, límites , derivadas e integrales se pueden combinar. Aquí piensa en referencia a combinar series convergentes y divergentes.

¿Fuiste capaz de mencionar las propiedades de sumatoria y producto presentadas en esta sección?

Vocabulario

La propiedad del término $n$ -ésimo de una serie infinita convergente , dice que en el límite a medida que el exponente va hacia el infinito, el término $n$ -ésimo va hacia cero.

El exponente inicial se una serie infinita se puede cambiar, re-exponenciar , a un número diferente siempre y cuando se mantenga el orden de los términos de la serie.

Práctica Guiada

1. Encuentra la suma de $\sum\limits_{k=1}^\infty 2\left(\frac{5}{6^{k-1}}\right)$ .

2. Cambia el exponente de la serie para que inicie en 25.

Solución:

1. Según las reglas para las constantes en serie infinitas, $\sum\limits_{k=1}^\infty 2 \left(\frac{5}{6^{k-1}}\right) = 2\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{5}{6^{k-1}}$ .

La serie $\sum\limits_{k=1}^\infty \left(\frac{5}{6^{k-1}}\right)$ es una serie geométrica con $a=5$ y $r=\frac{1}{6}$ , así que converge.

Nota que, según el teorema sobre convergencia de series geométricas, $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{5}{6^{k-1}}=\frac{5}{1-\frac{1}{6}}=\frac{5}{\frac{5}{6}}=6$ .

Entonces $\sum\limits_{k=1}^\infty 2 \left(\frac{5}{6^{k-1}}\right)=2\times 6=12$ .

2. Queremos que la serie $\sum\limits_{k=1}^\infty 2\left(\frac{5}{6^{k-1}}\right)$ tenga un exponente inicial de 25.

Si el nuevo exponente es $n$ , entonces el exponente inicial es $n=25$ .

Luego, la nueva serie con exponente inicial $n=25$ se puede escribir como:

$\sum\limits_{k=1}^\infty 2 \left(\frac{5}{6^{k-1}}\right) = \sum\limits_{n=25}^\infty 2 \left(\frac{5}{6^{n+(1-25)-1}}\right)=\sum\limits_{n=25}^\infty 2 \left(\frac{5}{6^{n-25}}\right)$

Siempre comprueba para asegurarte que la serie en la derecha es la misma serie que la de la izquierda al anotar algunos de los primeros términos de cada serie. Los términos aún deberían estar ordenados.

Práctica

En los ejercicios #1-9, ¿la serie converge o diverge? Si una serie converge, encuentra su sumatoria.

1. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{3n}{n+4}$

2. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{2+(-4)^n}{5^n}$

3. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{4}$

4. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{3n}{n^4}$

5. $\sum\limits_{n=1}^\infty\left[\frac{n^2+2}{n^2+1}+5\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right]$

6. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n^2+3n+2}{4n^2+1}$

7. $\sum\limits_{n=1}^\infty\left[\frac{2}{n^2}+7\left(\frac{1}{3}\right)^{n+3}\right]$

8. $\sum\limits_{k=2}^\infty\left(\left(-\frac{2}{3}\right)^{k-1}+\frac{1}{5^{k-1}}\right)$

9. $\sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{4}{5^{k-1}}-\frac{2^k}{3^k}\right)$

10. Usa el hecho de que $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ para encontrar $\sum\limits_{n=3}^\infty\frac{4}{n^2}$ .

11. Cambia el exponente de $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{3n}{n+4}$ para que sea una sumatoria de la forma $\sum\limits_{n=7}^\infty a_n$ .

12. Cambia el exponente de $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^{n-1}}{n!}$ para que sea una sumatoria de la forma $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n$ .

13. Escribe una serie haciendo una sumatoria de:

los sumandos pares de $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ , es decir, $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots$ .
los sumandos impares de $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ , es decir, $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\dots$ .

14. Cambia el exponente de $\sum\limits_{n=1}^\infty\left[\frac{2}{n^2}+7\left(\frac{1}{3}\right)^{n+3}\right]$ para que tenga un exponente inicial de 10.

15. Cambia el exponente de $\sum\limits_{n=5}^\infty \frac{n^2+3n+2}{4n^2+1}$ para que tenga un exponente inicial de 1.

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