Series de Términos Positivos: La Prueba de Integrales

Objetivos

En esta sección, aprenderás a usar la prueba de integrales para determinar si una serie infinita de términos positivos (no negativos) converge o diverge.

Concepto

Considera la función $f(x)=\frac{1}{x}$ con $x\ge1$ . Sabemos que $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{1}{x}=0$ . ¿Es finita el área bajo la curva de $f(x)$ con $0 < x < \infty$ , ? Si $f(x)$ es analizado en los puntos $x=n, n=1,2,3,\ldots$ , y estos valores son sumados, se genera la serie $\sum\limits_{n=1}^ \infty \frac{1}{n}$ ¿Esperas que la sumatoria infinita de esta serie sea finita? El asunto del área bajo la curva proporciona la base para usar la Prueba de Integrales para ayudarnos a determinar convergencia o divergencia de la serie: Si el área bajo la curva es finita (infinita) entonces la sumatoria infinita de los valores específicos de la serie asociada también debe ser finita (infinita).

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http://www.youtube.com/watch?v=qQlnPrpwKY8 - La Prueba de Integrales

Orientación

Las series que solo tienen términos no negativos, es decir, términos que son positivos o cero, generalmente reciben el nombre de series de términos positivos, tal como $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ con $u_k\ge0$ para cada $k$ . Muchos de los tipos de series identificados en secciones anteriores son, o pueden ser, series de términos no negativos (o positivos) como se muestra a continuación:

**Los Tipos de Series Comunes pueden ser (son) Términos Positivos (no negativos)**
Tipo de Serie	Notación Sigma	Converge si	Diverge si	Serie de Términos Positivos si
Aritmética	$S=\sum\limits_{n=1}^\infty[t_0+d(n-1)]$	Nunca	Siempre	$t_0, d\ge 0$
Geométrica	$S=\sum\limits_{n=1}^\infty ar^{n-1}$	$\|r\|<1$ con $S=\frac{a}{1-r}$	$\|r\|\ge1$	$a, r \ge 0$
Armónica	$S=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$	Nunca	Siempre	Siempre
Serie- $p$	$S=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}, p>0$	$p>1$	$0 < p \le 1$	Siempre

Hasta ahora, hemos analizado las siguientes pruebas para determinar convergencia o divergencia de series infinitas:

Prueba de Convergencia o Divergencia	Series Aplicables
Límite de la suma parcial $n$ -ésima	Todas
Prueba del término $n$ -ésimo para divergencia	Todas

En esta sección y las dos siguientes, analizaremos las pruebas de convergencia hechas específicamente para evaluar series de términos positivos:

La Prueba de Integrales
Pruebas de Comparación (La Prueba de Comparación de Limites Simplificada, Básica)
Pruebas de Razón y Raíz

Esta sección se centrará en la Prueba de Integrales.

La Prueba de Integrales evalúa la integral de la función que luce como el término $n$ -ésimo de la serie. Tiene sentido utilizar este tipo de prueba en ciertas series porque la integral es el límite de una serie determinada.

La Prueba de Integrales

Establece $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k=\sum\limits_{k=1}^\infty f(k)$ como una serie con términos positivos.

Si $f(x)$ es una * función positiva, continua y decreciente para $x\ge1$ ,

Entonces:

$\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ converge si y solo si $\int\limits_{1}^{\infty}f(x)dx$ converge, es decir $\int\limits_{1}^{\infty}f(x)dx=L$ , $0 < L < \infty$ .
$\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ diverge si y solo si $\int\limits_{1}^{\infty} f(x)dx$ diverge, es decir, $\int\limits_{1}^{\infty} f(x)dx=\infty$ .

* Podría ser necesario determinar que $f^\prime(x)<0$ para ver si $f(x)$ es decreciente en todas partes.

En el enunciado de la Prueba de Integrales, se asume que, $u_k$ es una función $f$ de $k$ . Luego, cambiamos esa función $f$ para que sea una función continua de $x$ con el fin de evaluar la integral impropia de $f$ . Si la integral impropia es finita, entonces la serie infinita converge. Si la integral impropia es infinita, entonces la serie infinita diverge. La convergencia o divergencia de la serie infinita depende de la convergencia o divergencia de la integral impropia correspondiente.

Ejemplo A

Usa la prueba de integrales para demostrar que la serie $p$ $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^5}$ converge.

Solución:

La serie $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^5}$ es una serie de términos positivos, con términos que siempre están definidos y son decrecientes. Por lo tanto, la prueba de integrales puede ser usada para determinar convergencia o divergencia.

Establezcamos $f(x)=\frac{1}{x^5}, x\ge 1$ .

Según la Prueba de Integrales, evaluamos $\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^5}dx$ :

$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^5}dx & = \lim\limits_{t \to \infty}\int\limits_{1}^{t} \frac{1}{x^5}dx\\& = \lim\limits_{t \to \infty}\bigg[-\frac{x^{-4}}{4}\bigg]^t_1\\& = \lim_{t \to \infty}\bigg[-\frac{t^{-4}}{4}+\frac{1}{4}\bigg]\\& = \frac{1}{4}$

Con la Prueba de Integrales, vemos que el integral es finito y, por lo tanto $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^5}$ converge.

Ejemplo B

Determina si la serie $1+ \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{1}{13} + \cdots \frac{1}{4n-3} + \cdots$ converge o diverge mediante el uso de la Prueba de Integrales.

Solución:

La serie $1+ \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{1}{13} + \cdots \frac{1}{4n-3} + \cdots$ es una serie de términos positivos, con términos que siempre están definidos y son decrecientes. Por lo tanto, la prueba de integrales puede ser usada para determinar convergencia o divergencia.

Establezcamos $f(x)= \frac{1}{4x-3}, x\ge 1$ .

Según la Prueba de Integrales, evaluamos $\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{4x-3}dx$ :

$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{4x-3}dx &= \lim\limits_{p \to \infty}\int\limits_{1}^{p} \frac{1}{4x-3}dx\\& = \lim\limits_{p \to \infty} \bigg[\frac{1}{4}\ln(4x-3)\bigg]^p_1\\& = \frac{1}{4}\lim\limits_{p \to \infty} [\ln(4p-3)-\ln 0]\\& = \infty$

Con la Prueba de Integrales, vemos que el integral no es finito y, por lo tanto, la serie $1+ \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{1}{13} + \cdots \frac{1}{4n-3} + \cdots$ diverge.

Ejemplo C

Determina si $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)^\frac{3}{2}}$ converge o diverge.

Solución:

La serie $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)^\frac{3}{2}}$ es una serie de términos positivos, con términos que siempre están definidos y son decrecientes. Por lo tanto, la prueba de integrales puede ser usada para determinar convergencia o divergencia.

Establezcamos $f(x)=\frac{1}{(2x+1)^\frac{3}{2}},x\ge 1$ .

Escribe y evalúa la forma integral:

$\int\limits_{1}^{\infty}\frac{1}{(2x+1)^\frac{3}{2}}dx = \lim\limits_{t \to \infty}\int\limits_{1}^{t}(2x+1)^{-\frac{3}{2}}dx$

Usa la siguiente substitución de $u$ para evaluar la integral:

$u&=2x+1\\du&=2dx$

Entonces,

$\lim\limits_{t \to \infty}\int\limits_{1}^{t}(2x+1)^{-\frac{3}{2}}dx & = \lim\limits_{t \to \infty}\int\limits_{3}^{2t+1}u^{-\frac{3}{2}}\frac{du}{2}\\& = \lim\limits_{t \to \infty} \frac{1}{2}\bigg[-2u^{-\frac{1}{2}}\bigg]^{2t+1}_3\\& = \lim\limits_{t \to \infty}\bigg[-\frac{1}{\sqrt{2t+1}}+ \frac{1}{\sqrt{3}}\bigg]\\& = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Debido a que la integral es finita, la serie $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k+1)^{\frac{3}{2}}}$ converge según la Prueba de Integrales.

Análisis del Problema de la Sección

El área bajo la curva de $f(x)=\frac{1}{x}$ es $\int\limits_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx=\lim\limits_{m \to \infty}\int\limits_{1}^{m}\frac{1}{x}dx=\lim\limits_{m \to \infty}[\ln m-\ln 1]=\infty$ .

Aunque este resultado podría parecer ilógico porque $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{1}{x}=0$ , sugiere que $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ no es finita y, por lo tanto, diverge.

Vocabulario

Una serie infinita de términos positivos es una serie infinita en la que todos sus términos son mayores o iguales a 0.

La Prueba de Integrales puede ser usada para determinar convergencia o divergencia de una serie de términos positivos que siempre decrecen.

Práctica Guiada

La serie armónica general tiene la forma $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{an+b}$ , donde $a\ne 0, b$ son números reales.

Usa la Prueba de Integrales para demostrar bajo qué condiciones la serie armónica general podría converger o divergir.

Solución:

Usar la Prueba de Integrales para determinar convergencia o divergencia de una serie infinita:

La función $f(x)=\frac{1}{ax+b}> 0$ para toda $x\ge 1$ ; esto significa que $ax+b> 0$ para toda $x$ ;
La función $f(x)=\frac{1}{ax+b}$ debe ser continua: $ax+b\ne 0,x\ge 1$ ; $a+b>0,b>-a$ ;
La función $f(x)=\frac{1}{ax+b}$ debe ser decreciente: $f^\prime(x)=-\frac{a}{(ax+b)^2}<0\Rightarrow a>0$ .

Si estas condiciones se aplican, entonces se puede usar la Prueba de Integrales:

$\int\limits_{1}^{\infty}\frac{1}{ax+b}dx & = \lim\limits_{p \to \infty}\int\limits_{1}^{p}\frac{1}{ax+b}dx\\& = \lim\limits_{p \to \infty}\bigg[\frac{1}{a}\ln(ax+b)\bigg]^p_1\\& = \frac{1}{a}\lim\limits_{p \to \infty}\bigg[\ln(ap+b)-\ln(a+b)\bigg]\\& = \infty$

Según la Prueba de Integrales, la serie armónica general $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{an+b}$ diverge para $a>0,b>-a$ .

Práctica

1. María usa la prueba de integrales para determinar si $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{3}{k^2}$ converge. Determina que $\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{3}{x^2}=3$ . Luego, define que $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{3}{k^2}$ converge y la suma es 3. ¿Qué error cometió?

Determina si cada serie converge o diverge mediante el uso de la Prueba de Integrales:

2. $\sum\limits_{n=3}^\infty\frac{5}{n-2}$

3. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n+2}{n+1}$

4. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{3n^2+2}$

5. $\frac{1}{3}\ln3+\frac{1}{4}\ln{4}+\frac{1}{5}\ln{5}+\ldots$

6. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)\ln(n+1)}$

7. $\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\ln n)^2}$

8. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{\frac{1}{4}}}$

9. $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{7}{\sqrt[5]{k^2}}$

10. $\sum\limits_{n=1}^\infty e^{-n}$

11. $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{(3k-1)^{\frac{5}{2}}}$

12. $\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{\ln n}{n^2}$

13. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+4}$

14. $\sum\limits_{n=1}^\infty n e^{-n^2}$

15. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{3n+2}{n(n+1)}$

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