Series de Términos Positivos: Pruebas de Comparación

Objetivos

En esta sección, aprenderás a usar muchas pruebas de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie infinita que tenga solo términos positivos.

Concepto

La prueba de comparación que se analiza en esta sección se basa en las ideas de que (1) si una serie de términos positivos siempre es mayor, término a término, que otra serie infinita que diverge, entonces la serie de términos positivos también debe divergir; y (2) si una serie de términos positivos es siempre menor, término a término, que otra serie infinita que converge, entonces la serie de términos positivos también debe converger. Si $\triangle_n$ representa cuán mayor o menor es un término $a_n$ de una serie comparado con un término $b_n$ de una serie de convergencia o divergencia conocida, ¿puedes formular expresiones que muestren las ideas (1) y (2)?

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http://www.youtube.com/watch?v=2J9vhLkA1Xo - La Prueba de Comparación Directa

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http://www.youtube.com/watch?v=LQ_ktobTEp0 - La Prueba de Comparación de Límites

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http://www.youtube.com/watch?v=mzrmkveJ8nk - Series Infinitas: La Prueba de Comparación de Límites (Divergente)

Orientación

Las series que solo tienen términos no negativos, es decir, términos que son positivos o cero, generalmente reciben el nombre de series de términos positivos, tal como $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ con $u_k\ge 0$ para cada $k$ . Muchos de los tipos de series identificados en secciones anteriores son, o pueden ser, series de términos no negativos (o positivos) como se muestra a continuación:

**Los Tipos de Series Comunes pueden ser (son) Series de Términos Positivos**
Tipo de Serie	Notación Sigma	Converge si	Diverge si	Serie de Términos Positivos si
Aritmética	$S=\sum\limits_{n=1}^\infty[t_0+d(n-1)]$	Nunca	Siempre	$t_0,d\ge 0$
Geométrica	$S=\sum\limits_{n=1}^\infty ar^{n-1}$	$\|r\|<1$ con $S=\frac{a}{1-r}$	$\|r\|\ge 1$	$a,r\ge 0$
Armónica	$S=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$	Nunca	Siempre	Siempre
Serie $p$	$S=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p},p>0$	$p>1$	$0< p\le 1$	Siempre

Hasta ahora, hemos analizado las siguientes pruebas para determinar convergencia y divergencia de series infinitas:

Prueba de Convergencia y Divergencia	Series Aplicables
Límite de la suma parcial $n$ -ésima	Todas
Prueba del término $n$ -ésimo para divergencia	Todas
Prueba de Integrales	Término Positivo

Las siguientes pruebas están hechas específicamente para evaluar series de términos positivos:

La Prueba de Integrales
Pruebas de Comparación (La Prueba de Comparación de Limites Simplificada, Básica)
Pruebas de Razón y Raíz

Esta sección se centrará en muchas pruebas de comparación, es decir, pruebas que comparan una serie infinita de convergencia desconocida con otra serie de convergencia conocida. La comparación puede ser de término a término, o a través de la razón de los términos.

La Prueba de Comparación (Directa)

El nombre de la prueba nos dice que compararemos una serie con otra para determinar convergencia o divergencia.

La Prueba de Comparación

Establece que $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ y $\sum\limits_{k=1}^\infty v_k$ son series con términos no negativos, entonces:

Si $u_k \le v_k$ para cada entero positivo $k$ y $\sum\limits_{k=1}^\infty v_k$ converge, entonces $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ converge.
Si $u_k \ge v_k$ para cada entero positivo $k$ y $\sum\limits_{k=1}^\infty v_k$ diverge, entonces $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ diverge.

Para poder usar esta prueba, debemos comprobar la relación entre $u_k$ y $v_k$ para cada exponente $k$ . Esta es la parte de comparación de la prueba. Si la serie con los términos de mayor valor converge, entonces también converge la serie con los términos de menor valor. Si la serie con los términos de menor valor diverge, entonces también diverge la serie con los términos de mayor valor.

Ejemplo A

Determina si $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^{3}+3}$ converge o diverge.

Solución:

$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^{3}+3}$ parece similar a $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{3}}$ , así que intentaremos aplicar la Prueba de Comparación.

Primero, comparamos cada término en ambas series: Para cada $k$ , $\frac{1}{k^{3}+3}< \frac{1}{k^{3}}$ entonces $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{3}+3}<\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{3}}$ .

Luego, sabemos que $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{3}}$ es una serie $p$ que converge porque $p> 1$ .

Por lo tanto, según la Prueba de Comparación, $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^{3}+3}$ también converge.

La Prueba de Comparación de Límites

La Prueba de Comparación de límites es más fácil de usar que la Prueba de Comparación para determinar la convergencia de series con términos no negativos.

La Prueba de Comparación de Límites

Establece que $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ y $\sum\limits_{k=1}^\infty v_k$ son series con $u_k >0$ y $v_k >0$ para todas las $k$ ,

Entonces:

Si $\lim\limits_{k \to \infty}\frac{u_k}{v_k}=L$ , Donde $0 < L < \infty$ , entonces ambas $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ y $\sum\limits_{k=1}^\infty v_k$ convergen o divergen.
Si $\lim\limits_{k \to \infty}\frac{u_k}{v_k}=0$ y $\sum\limits_{k=1}^\infty v_k$ converge, entonces $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ converge.
Si $\lim\limits_{k \to \infty}\frac{u_k}{v_k}=+\infty$ y $\sum\limits_{k=1}^\infty v_k$ diverge, entonces $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ diverge.

La Prueba de Comparación de Límites dice que se debe hacer una razón de los términos de dos series y calcular el límite. A diferencia de la Prueba de Comparación, no hay necesidad de comparar los términos de ambas series. Esta prueba es más útil para series con expresiones racionales.

Ejemplo B

Determina si $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k^{4}+6k^{3}-1}{7k^{5}+k^{2}}$ converge o diverge.

Solución:

Al igual que con las funciones racionales, cuando $k\rightarrow \infty$ la serie $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k^{4}+6k^{3}-1}{7k^{5}+k^{2}}$ se comporta como la serie con solo las potencias mayores de $k$ en el numerador y denominador:

$\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k^{4}}{7k^{5}}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{7k}=\frac{1}{7}\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k}.$

Utilizaremos la serie $\frac{1}{7}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k}$ para aplicar la Prueba de Comparación de Límites.

Primero, encuentra el límite de la razón de los términos de las dos series:

$\lim\limits_{k \to \infty}\frac{u_k}{v_k} & = \lim\limits_{k \to \infty}\frac{\frac{k^{4}+6k^{3}-1}{7k^{5}+k^{2}}}{\frac{1}{7k}}\\& = \lim\limits_{k \to \infty}\frac{7k^{4}+42k^{3}-7}{7k^{4}+k}\\& = 1$

Debido a que $\lim\limits_{k \to \infty}\frac{u_k}{v_k}=1$ , según la Prueba de Comparación de Límites, ambas $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k^{4}+6k^{3}-1}{7k^{5}+k^{2}}$ y $\frac{1}{7}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k}$ convergen o divergen.

Sin embargo, $\frac{1}{7}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k}$ es una serie armónica, que es una serie que diverge.

Por lo tanto, $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k^{4}+6k^{3}-1}{7k^{5}+k^{2}}$ diverge.

Una forma más simple de la Prueba de Comparación de Límites, que podría ser más fácil de recordar y usar, es la que se señala a continuación:

La Prueba de Comparación de Límites Simplificada

Establece que $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ y $\sum\limits_{k=1}^\infty v_k$ son series con $u_k >0$ y $v_k >0$ para toda $k$ , y establece que

$\lim\limits_{k \to \infty}\frac{u_k}{v_k}=L>0,$

entonces ambas:

$\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ y $\sum\limits_{k=1}^\infty v_k$ convergen, o
$\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ y $\sum\limits_{k=1}^\infty v_k$ divergen.

Ejemplo C

Determina si $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2}{8^{k}+5}$ converge o diverge.

Solución:

La serie $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2}{8^{k}+5}$ es una serie sin términos negativos. Podemos aplicar la Prueba de Comparación de Límites Simplificada al comparar la serie $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2}{8^{k}+5}$ con la serie $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2}{8^{k}}$ que es una serie geométrica convergente.

Entonces $\lim\limits_{k \to \infty}\frac{\frac{2}{8^{k}+5}}{\frac{2}{8^{k}}}=\lim\limits_{k \to \infty}\frac{8^{k}}{8^{k}+5}=1>0$ .

Así, debido a que $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2}{8^{k}}$ converge, entonces $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2}{8^{k}+5}$ también converge.

Análisis del Problema de la Sección

Si una serie de términos positivos $\sum a_n$ siempre es mayor, término a término, que otra serie infinita $\sum b_n$ que diverge, entonces la serie de términos positivos $\sum a_n$ también debe divergir;
Si una serie de términos positivos $\sum a_n$ es siempre menor, término a término, que otra serie infinita $\sum b_n$ que converge, entonces la serie de términos positivos $\sum a_n$ también debe converger.

Si $\triangle_n >0$ representa cuán mayor o menor es un término $a_n$ de una serie comparado con un término $b_n$ de una serie de convergencia o divergencia conocida, ¿puedes formular expresiones que muestren las ideas (1) y (2)?

¿Fuiste capaz de escribir alguna afirmación simple de lo anterior? Así es cómo debería lucir:

Si $a_n - \triangle_n=b_n$ , entonces $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n-\triangle_n)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n + \sum \limits_{n=1}^{\infty}\triangle_n$ . Debido a que $\sum b_n$ diverge, agregar a su sumatoria no cambia la divergencia, y demuestra que $\sum a_n$ también debe ser divergente.
Si $a_n + \triangle_n=b_n$ , entonces $\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n+\triangle_n)=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ . Debido a que $\sum b_n$ converge, $\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n+\triangle_n)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n+\sum\limits_{n=1}^\infty \triangle_n$ converge, lo que significa que $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ y $\sum\limits_{n=1}^\infty \triangle_n$ deben converger (la sumatoria de una serie convergente y divergente es divergente).

Vocabulario

Una serie infinita de términos positivos es una serie infinita en la que todos sus términos son mayores o iguales a 0.

Las variadas pruebas de comparación son pruebas que pueden ser usadas para determinar convergencia o divergencia de una serie de términos positivos al compararla con otra serie de convergencia o divergencia conocida.

Práctica Guiada

Determina si $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[4]{k}-5}$ converge o diverge.

Solución:

Nota que la serie $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[4]{k}-5}$ tiene algunos términos negativos y se puede escribir como

$\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[4]{k}-5}$

La serie $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[4]{k}-5}$ es similar a $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[4]{k}}=\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{\frac{1}{4}}}$ , que es una serie $p$ que diverge porque $p<1$ .

Al usar la Prueba de Comparación, $\frac{1}{\sqrt[4]{k}-5}\ge \frac{1}{\sqrt[4]{k}}$ para toda $k$ .

Según la Prueba de Comparación, $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[4]{k}-5}$ también diverge.

Práctica

Determina si cada serie converge o diverge mediante el uso de la Prueba de Comparación:

1. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3}+n+3}$

2. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2^{n}+3}$

3. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3^{n}}{5^{n}+6}$

4. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2n^{2}+n+5}$

5. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(\sin n)^2}{n(n+5)}$

6. $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{(4k+1)^{\frac{1}{2}}}$

7. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\arctan n}{2n^{3}}$

8. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\sqrt{n+4}}{n\sqrt{n+2}}$

Determina si cada serie converge o diverge mediante el uso de la Prueba de Comparación de Límites:

9. $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2}{5k^{5}-4}$

10. $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{5}{(k+1)(k+3)}$

11. $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{k^{3}+4k^{2}+1}{3k^{6}+2k^{4}}$

12. $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{4k^{2}+3k+9}{7k^{3}+11}$

13. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n}}{2n^{3}+4}$

14. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{4^{n}+5}{7^{n}+13}$

15. Serie armónica general $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{an+b}$ con $a>0$ .

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