Serie de Términos Positivos: Pruebas de Razón y Raíz para Convergencia

Objetivos

En esta sección, aprenderás a usar la Prueba de Razón y la Prueba de Raíz para evaluar la convergencia de una serie de términos positivos.

Concepto

Cuando la suma parcial $n$ -ésima de una serie infinita se acerca a un límite finito a medida que $n$ va hacia el infinito, se dice que la serie converge. La convergencia puede ocurrir en una serie de términos positivos cuando cada término sucesivo de la serie es menor que el término anterior, es decir, cuando la razón de los términos (actual a anterior) es menor a 1. Probar esta condición es la base de la Prueba de Razón. Si una razón se puede determinar como menor a 1, podemos tener convergencia; una razón mayor a 1 significa que los términos son crecientes y la serie será divergente. ¿Puedes afirmar si piensas que este tipo de prueba funcionará para una serie de términos positivos como $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n}$ ?

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http://www.youtube.com/watch?v=iy8mhbZTY7g&noredirect=1 - Tutorial de Matemáticas: Uso de la Prueba de razón para determinar si una serie converge (7:38)

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http://www.youtube.com/watch?v=vDdDLfIya0I - Tutorial de Matemáticas: Pruebas de Raíz para Series (10:07)

Orientación

Hasta ahora, hemos analizado las siguientes pruebas para determinar convergencia o divergencia de series infinitas:

Prueba de Convergencia	Series Aplicables
Límite de la suma parcial $n$ -ésima	Todas
Prueba del $n$ -ésimo término para divergencia (y propiedad del $n$ -ésimo término para series convergentes)	Todas
Prueba de Integrales	Término Positivo
Pruebas de Comparación: Prueba de Comparación Directa Prueba de Comparación de Límites (y Prueba de Comparación de Límites Simplificada)	Término Positivo

En esta sección, analizaremos dos pruebas más que son usadas para series de términos positivos:

La Prueba de Razón
La Prueba de Raíz (o Raíz $n$ -ésima)

La Prueba de Razón

La Prueba de Razón analiza la razón de los términos de la serie para determinar convergencia o divergencia. Esta prueba puede ser útil cuando los términos o la serie tiene factoriales o potencias de $n$ .

La Prueba de Razón

Establezcamos $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ como una serie de términos positivos (es decir, $a_n > 0$ ) .

1. Si $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=L < 1$ , entonces la serie es convergente.

2. Si $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=L > 1$ , entonces la serie es divergente.

3. Si $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=1$ , entonces la serie puede ser convergente o divergente; se necesita otra prueba.

Nota: Esta prueba puede ser útil cuando $a_n$ tiene factoriales o potencias de $n$ .

Ejemplo A

La serie $\sum \frac{3^n}{n!}$ ¿converge o diverge?

Solución:

La serie $\sum \frac{3^n}{n!}$ es una serie de términos positivos con $a_n=\frac{3^n}{n!}$ .

Al usar la Prueba de Razón obtenemos,

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} &=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{3^n}{n!}} \\&=\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{3^n} \frac{n!}{(n+1)!} \\&=\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n+1} \\&=0$

Según la Prueba de Razón, la serie $\sum \frac{3^n}{n!}$ es convergente.

La Prueba de Razón no siempre es concluyente y el siguiente ejemplo muestra por qué existe una necesidad de reconocer tipos de series y aprender métodos alternativos para determinar convergencia.

Ejemplo B

Usa la Prueba de Razón para determinar si la siguiente serie converge:

1. La serie armónica $\sum \frac{1}{n}$

2. La serie $p$ $\sum \frac{1}{n^2}$

Solución:

1. La serie armónica $\sum \frac{1}{n}$ es una serie de términos positivos. Aplicar la Prueba de Razón resulta en

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} &=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)}}{\frac{1}{n}} \\&=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} \\&=1$

De acuerdo con la Prueba de Razón, no se puede concluir convergencia o divergencia, por lo que se necesita otra prueba. Sabemos de discusiones anteriores que la serie armónica es divergente.

2. La serie $p$ es una serie de términos positivos, y aquí $p=2$ . Aplicar la Prueba de Razón resulta en

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} &=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}\\&=\lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1} \right)^2 \\&=1$

De acuerdo con la Prueba de Razón, no se puede concluir convergencia o divergencia, por lo que necesita otra prueba. Sin embargo, sabemos de discusiones anteriores que para $p=2 > 1$ , la serie $p$ es convergente.

La Prueba de Raíz (o Raíz $n$ -ésima)

La Prueba de Raíz analiza el límite de una raíz del término $n$ -ésimo de la serie, y puede ser útil cuando los términos tienen potencias de $n$ .

La Prueba de Raíz

Establezcamos $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ como una serie de términos positivos.

1. Si $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}=L < 1$ , entonces la serie es convergente.

2. Si $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}=L > 1$ o $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}=\infty$ , entonces la serie es divergente.

3. Si $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}=L = 1$ , entonces la serie puede ser convergente o divergente; se necesita otra prueba.

Nota: Esta prueba puede ser útil cuando $a_n$ tiene potencias de $n$ .

Ejemplo C

Determina si la serie $\sum \left(\frac{n+1}{2n+3} \right)^n$ es convergente mediante el uso de la Prueba de Raíz y la de Razón.

Solución:

Establezcamos $a_n=\left(\frac{n+1}{2n+3} \right)^n$ .

a. La Prueba de Raíz da,

$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+3}=\frac{1}{2}$ .

Según la Prueba de Raíz, la serie $\sum \left(\frac{n+1}{2n+3} \right)^n$ es convergente.

b. La Prueba de Razón da,

$\lim\limits_{n \to \infty} {\frac{a_{n+1}}{a_n}} &=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{n+2}{2n+5}\right)^{n+1}}{\left(\frac{n+1}{2n+3} \right)^n} \\&=\lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{n+2}{2n+5}\right) \cdot \left[\frac{(n+2)(2n+3)}{(n+1)(2n+5)} \right]^n \\&=\lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{1+\frac{2}{n}}{2+\frac{5}{n}} \right) \cdot \left[\frac{ \left(1+\frac{2}{n} \right) \left(2+ \frac{3}{n} \right)}{ \left(1+\frac{1}{n} \right) \left(2+\frac{5}{n} \right)} \right]^n \\&=\lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{1+\frac{2}{n}}{2+\frac{5}{n}} \right) \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \left[\frac{ \left(1+\frac{2}{n} \right) \left(2+ \frac{3}{n} \right)}{ \left(1+\frac{1}{n} \right) \left(2+\frac{5}{n} \right)} \right]^n \\&=\left(\frac{1}{2} \right) \cdot \left[\frac{(1)(2)}{(1)(2)} \right]^n \\&=\frac{1}{2}$

Según la Prueba de Razón, la serie $\sum \left(\frac{n+1}{2n+3} \right)^n$ es convergente.

¡La Prueba de Raíz fue más fácil! Así que deberíamos aprender a aplicar la prueba correcta.

Análisis del Problema de la Sección

La convergencia puede ocurrir en una serie de términos positivos cuando cada término sucesivo de la serie es menor que el término anterior, es decir, cuando la razón de los términos (actual a anterior) es menor que 1. Probar esta condición es la base de la Prueba de Razón. Si una razón se puede determinar como menor a 1, podemos tener convergencia; una razón mayor a 1 significa que los términos son crecientes y la serie será divergente. ¿Puedes afirmar si piensas que este tipo de prueba funcionará para una serie de términos positivos como $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n}$ ?

La serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n}$ tiene términos decrecientes, así que $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n}{n+1} < 1$ . Sin embargo, contrario a las expectativas, se puede demostrar que esta serie diverge. ¿Qué sucede? Resultó que, $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}=1$ , de forma que el comportamiento de la serie es difícil de determinar mediante el uso de esta prueba. ¡Se necesita usar otra estrategia!

Vocabulario

Una serie infinita de términos positivos es una serie infinita en la que todos sus términos son mayores o iguales a 0.

La Prueba de Razón usa el límite de la razón de los términos $(n+1)$ -ésimo y $n$ -ésimo de una serie de términos positivos para determinar su convergencia o divergencia.

La Prueba de Raíz (raíz $n$ -ésima) usa el límite de la raíz del término $n$ -ésimo de una serie de términos positivos para determinar su convergencia o divergencia.

Práctica Guiada

Determina si la serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty} e^{-2n}n!$ converge mediante el uso de:

1. La Prueba de Razón

2. La Prueba de Raíz

Solución:

1. La serie es una serie de términos positivos con $a_n=e^{-2n}n!$ .

Aplicar la Prueba de Razón resulta en,

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} &=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{e^{-2(n+1)}(n+1)!}{e^{-2n}n!} \\&=\lim\limits_{n \to \infty} e^{-2}(n+1) \\&=e^{-2} \lim\limits_{n \to \infty} (n+1) \\&=\infty$

Según la Prueba de Razón, la serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty} e^{-2n}n!$ diverge.

2. Aplicar la Prueba de Raíz resulta en,

$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} &=\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{e^{-2n}n!} \\&=\lim\limits_{n \to \infty} e^{-2} \sqrt[n]{n!} \\&=e^{-2} \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} \\$

Esta evaluación es más complicada que la Prueba de Razón, porque encontrar $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!}$ no es fácil.

Se puede demostrar (por ejemplo, utilizando la aproximación de Stirling’s $n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e} \right)^n$ ) que $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!}=\infty$ .

La Prueba de Raíz y la de Razón brindan resultados contundentes; sin embargo, la Prueba de Razón fue más fácil de usar.

Práctica

Determina si las series convergen o divergen mediante el uso de la Prueba de Razón:

1. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n-1}}{(n-1)!}$

2. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{5^n}$

3. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}$

4. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{e^n}$

5. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}$

6. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$

7. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$

8. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{n4^n}$

Determina si las series convergen o divergen mediante el uso de la Prueba de Raíz:

9. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{e^n}{n^n}$

10. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-3}}{4^n}$

11. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n^2+1}{2n^2+1} \right)^n$

12. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{3^{2n}}{7^n}$

13. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{\ln(n^2+1)}{n} \right)^n$

14. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} \right)^n$

15. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} n \left(\frac{2}{3} \right)^n$

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