Términos Positivos y Negativos: Series Alternadas

Objetivos

En esta sección, aprenderás sobre las series infinitas alternadas, uno de los tipos de series con términos positivos y negativos.

Concepto

No todas las series infinitas son series de términos positivos. Algunas contienen términos positivos y negativos. Considera la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty 8 \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ , cuyos términos tienen signos alternados. ¿Sabes qué tipo de serie es esta? ¿Cómo determinarías convergencia o divergencia?

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http://www.youtube.com/watch?v=8qhVGeCkgGg - La Prueba de las Series Alternadas

Orientación

Hasta este punto, en secciones anteriores se han identificado y discutido propiedades de series infinitas que consisten solo en términos no negativos (positivos). En esta sección, expandiremos nuestra cobertura para incluir series infinitas que tienen tanto términos positivos como negativos.

De las muchas series infinitas que tienen tanto términos positivos como negativos, la serie alternada es el tipo más simple de reconocer y estudiar. Las. series alternadas son series cuyos términos alternan entre signos positivos y negativos.

Definición: Serias Alternadas

Una serie alternada es una serie infinita que se puede escribir como:

$\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} u_k = u_1 - u_2 + u_3 - \cdots + (-1)^{k-1} u_k + \cdots$ con $u_k > 0$ para toda $k$ , o
$\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k} u_k = -u_1 + u_2 - u_3 + \cdots + (-1)^{k} u_k + \cdots$ con $u_k > 0$ para toda $k$ .

Nota que el signo negativo puede ser asociado ya sea con valores impares del exponente $k$ , o con valores pares del exponente $k$ . También ten en cuenta que los números determinados representados por $u_k$ son positivos.

Existen muchos tipos de series alternadas cuyas formas debieran ser familiares:

Serie armónica alternada

Ejemplo: $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{1}{k}=1 -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$

Esta serie tiene términos que lucen como la serie armónica, pero los términos con exponentes pares tienen un signo negativo.

Serie geométrica alternada

Ejemplo: $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k} \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}=-1 +\frac{2}{3} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \cdots$

Los términos con exponentes impares de estas series tienen el signo negativo.

Series $p$ alternadas

Ejemplo: $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{1}{\sqrt[3]{k}}=1 -\frac{1}{\sqrt[3]{2}} +\frac{1}{\sqrt[3]{3}} -\frac{1}{\sqrt[3]{4}} - \cdots$

Al igual que en las series anteriores, hemos analizado el importante asunto de cómo determinar la convergencia o divergencia de una serie alternada. Como podrías esperar, existe una prueba de series alternadas.

La Prueba de Series Alternadas

Establezcamos $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} u_k$ o $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k} u_k$ como una serie alternada (con $u_k > 0$ para toda $k$ ), entonces la serie converge si:

$u_1 \ge u_2 \ge u_3 \ge \ldots \ge u_k \ge \ldots ;$ y
$\lim\limits_{k \to +\infty}u_k=0$

Toma los términos de las series y quita sus signos. Entonces, el teorema nos dice que los términos de la serie no deben ser crecientes y que el límite de los términos debe ser 0 para que la prueba funcione. A continuación, verás un ejemplo de cómo usar la Prueba de Series Alternadas.

Ejemplo A

Determina si $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{k+5}{k^3+k}$ converge o diverge.

Solución:

La serie $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{k+5}{k^3+k}$ es una serie alternada.

Primero, comprobamos que los términos de la serie no son crecientes. Nota que para que $u_k \ge u_{k+1}$ , entonces $1 \ge \frac{u_{k+1}}{u_k}$ , o $\frac{u_{k+1}}{u_k} \le 1$ .

$\frac{u_{k+1}}{u_k}=\frac{\frac{(k+1)+5}{(k+1)^3+(k+1)}}{\frac{k+5}{k^3+k}} = \frac{(k+1)+5}{(k+1)^3+(k+1)} \times \frac{k^3+k}{k+5}$

Al expandir la última expresión, obtenemos:

$\frac{u_{k+1}}{u_k}=\frac{(k+6)(k^3+k)}{(k^3+3k^2+4k+2)(k+5)} = \frac{k^4+6k^3+k^2+6k}{k^4+8k^3+19k^2+22k+10}$

Debido a que $k$ es positivo y la suma en el numerador es parte de la suma del denominador, el numerador es menor que el denominador. Por lo tanto $\frac{u_{k+1}}{u_k} \le 1$ . Así, $u_k > u_{k+1}$ .

Ahora, comprobamos que $\lim\limits_{k \to +\infty}u_k=0$ .

$\lim\limits_{k \to +\infty}u_k=\lim\limits_{k \to +\infty}\frac{k+5}{k^3+k}=\lim\limits_{k \to +\infty}\frac{k}{k^3} \frac{1+\frac{5}{k}}{1+ \frac{1}{k^2}}=0.$

Otra forma de evaluar el límite es ver que $\lim\limits_{k \to +\infty}u_k=\lim\limits_{k \to +\infty}\frac{k+5}{k^3+k}= \frac{\infty}{\infty}$ , y debido a que esto es una forma indeterminada, podemos usar la regla de l’Hopital:

$\lim\limits_{k \to +\infty}\frac{k+5}{k^3+k}=\lim\limits_{k \to +\infty}\frac{\frac{d}{dk}(k+5)}{\frac{d}{dk}(k^3+k)}=\lim_{k \to +\infty} \frac{1}{3k^2+1}=0.$

Por lo tanto, según la Prueba de Series Alternadas, la serie alternada $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{k+5}{k^3+k}$ converge.

Ten en mente que se deben cumplir ambas condiciones de la Prueba de Series Alternadas para que esta determine convergencia.

Ejemplo B

Determina si $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{\sqrt{n}}{1+4 \sqrt{n}}$ converge o diverge.

Solución:

La serie $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{\sqrt{n}}{1+4 \sqrt{n}}$ es una serie alternada.

Primero, comprobamos que los términos de la serie no son crecientes. Observamos si $\frac{u_{k+1}}{u_k} \le 1$ .

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{\sqrt{n+1}}{1+4 \sqrt{n+1}}}{\frac{\sqrt{n}}{1+4\sqrt{n}}}=\frac{1+4 \sqrt{n}}{1+4 \sqrt{n+1}} \times \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}$

Al expandir la última expresión, obtenemos:

$\frac{u_{n+1}}{u_n}&=\frac{1+4 \sqrt{n}}{1+4 \sqrt{n+1}} \times \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}} \\&= \frac{\frac{1}{\sqrt{n}}+4}{\frac{1}{\sqrt{n+1}}+4} \times \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \times \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}} \\&= \frac{4+ \frac{1}{\sqrt{n}}}{4+ \frac{1}{\sqrt{n+1}}} > 1$

Nota que $\frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ , es decir, $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ , lo que no satisface la condición de Series Alternadas.

Por lo tanto, la serie alternada $\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n \frac{\sqrt{n}}{1+4 \sqrt{n}}$ diverge.

Nota también que para la segunda condición de la Prueba de Series Alternadas tenemos

$\lim_{n \to + \infty} u_n=\lim_{n \to + \infty} \frac{\sqrt{n}}{1+4 \sqrt{n}}=\frac{\infty}{\infty}$

Debido a que esto es una forma indeterminada, podemos usar la regla de l’Hopital:

$\lim\limits_{n \to +\infty}u_n = \lim_{n \to +\infty}\frac{\sqrt{n}}{1+4 \sqrt{n}} = \lim_{k \to +\infty} \frac{\frac{1}{2}n^{-\frac{1}{2}}}{2n^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{4} \ne 0$

Tampoco satisface la segunda condición.

Error de Truncamiento de Series Alternadas (o Resto)

Una suma parcial $s_n$ de una serie alternada se puede usar para aproximar la sumatoria de la serie. Si la serie alternada converge, de hecho podemos encontrar una diferencia entre la suma parcial y la sumatoria real. Esta diferencia, o resto, recibe el nombre de error.

Error de Truncamiento de Series Alternadas (Resto)

Establezcamos $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}u_k$ o $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k}u_k$ como una serie alternada ( $u_k > 0$ para toda $k$ ) que cumple las condiciones de la Prueba de Series Alternadas.

Si la serie tiene sumatoria $S$ , y la suma parcial $n$ -ésima es $s_n$ , entonces

$|S-s_n| \le u_{n+1}.$

La idea principal del teorema es que el resto $|S-s_n|$ no puede ser mayor que el siguiente término $n+1$ en la serie.

Ejemplo C

En la serie $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{k+5}{k^3+k}$ (ver Ejemplo A)

1. Calcula la tercera suma parcial $s_3$ , y

2. Determina el valor del resto.

Solución:

Sabemos del Ejemplo A que la serie $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{k+5}{k^3+k}$ pasa la Prueba de Series Alternadas y, por lo tanto, converge.

1. Primero, calculamos la tercera suma parcial para aproximar la sumatoria $S$ de la serie:

$s_3 &= (-1)^0 \frac{1+5}{1^3+1} + (-1)^1 \frac{2+5}{2^3+2} + (-1)^2 \frac{3+5}{3^3+3} \\&= \frac{6}{4} - \frac{7}{10} + \frac{8}{30} \\&= \frac{16}{15}$

2. Luego, el teorema nos dice que usemos el término $u_4$ en la serie para calcular el valor de la diferencia o resto.

Así $u_4=\frac{4+5}{4^3+4}=\frac{9}{68}$ .

Entonces $|S-s_n|=\Big|S-\frac{16}{15}\Big|<\frac{9}{68} \approx 0.13.$

Esto nos dice que el valor absoluto del error o resto es menor a 0,13.

Análisis del Problema de la Sección

Considera la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty 8 \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ , cuyos términos tienen signos alternados. ¿Sabes qué tipo de serie es esta? ¿Cómo determinarías convergencia o divergencia?

¿Reconoces esta serie como una serie geométrica? Es una serie geométrica alternada, en donde los términos alternan entre positivos y negativos. Al igual que en cualquier serie geométrica, la convergencia o divergencia es determinada por la razón común, $r:|r|<1 \Rightarrow$ convergencia;

$|r| \ge 1 \Rightarrow$ divergencia. La serie $\sum\limits_{n=1}^\infty 8 \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ converge porque $r=-\frac{1}{2}$ .

Vocabulario

Una serie alternada es una serie cuyos términos alternan entre tener un signo positivo o uno negativo. Un número de formas de series comunes (armónica, geométrica, $p$ ) pueden ser series alternadas.

La Prueba de Series Alternadas se usa para determinar la convergencia o divergencia de una serie alternada al ver si la magnitud de cada término sucesivo es decreciente y el límite de la magnitud del término $n$ tiende a 0.

El Resto de la Serie Alternada (Error de Truncación) es la magnitud de la diferencia entre la sumatoria de la serie actual y la suma parcial $n$ -ésima.

Práctica Guiada

En la serie $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{k^2}{8^k}$ :

1. Determina si la serie converge o diverge, y

2. Aproxima la sumatoria de las serie a cuatro número decimales.

Solución:

1. La serie $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{k^2}{8^k}$ es una serie alternada con $u_k = \frac{k^2}{8^k}$ .

Primero, comprobamos que los términos de la serie no son crecientes.

$\frac{u_{k+1}}{u_k}= \frac{\frac{(k+1)^2}{8^{k+1}}}{\frac{k^2}{8^k}}= \frac{8^k}{8^{k+1}} \times \frac{(k+1)^2}{k^2} = \frac{1}{8} \left(1+\frac{1}{k}\right)^2<1$
Por lo tanto $\frac{u_{k+1}}{u_k}<1$ . Así, $u_k > u_{k+1}$ .

Ahora, comprobamos que $\lim\limits_{k \to +\infty}u_k=0$ .

$\lim\limits_{k \to +\infty}u_k=\lim\limits_{k \to +\infty} \frac{k^2}{8^k}=\frac{\infty}{\infty}$

Debido a que esto es una forma indeterminada, podemos usar la regla de l’Hopital:

$\lim\limits_{k \to +\infty} \frac{k^2}{8^k}=\lim\limits_{k \to +\infty} \frac{\frac{d}{dk}(k^2)}{\frac{d}{dk}(8^k)} = \lim\limits_{k \to +\infty} \frac{2k}{8^k \ln 8} = \lim\limits_{k \to +\infty} \frac{2}{8^k(\ln 8)^2}=0$

Según la Prueba de Series Alternadas, la serie alternada $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{k^2}{8^k}$ converge.

2. Aproximar la sumatoria de la serie a cuatro números decimales quiere decir, $|S-s_n| \le u_{n+1} \le 0.00005$ . Necesitamos encontrar el término de la serie $n$ tal que $\frac{n^2}{8^n} \le 0.00005$ . Si $n=7$ entonces $\frac{n^2}{8^n} = 0.00002 < 0.00005$ .

Por lo tanto, se necesitan 6 términos de la serie: $\sum\limits_{k=1}^6(-1)^{k-1} \frac{k^2}{8^k}$ es preciso a 4 números decimales.

Al sumar los 6 primeros términos: $\sum\limits_{k=1}^6(-1)^{k-1} \frac{k^2}{8^k}=0.0768$

Práctica

Determina si las siguientes series convergen o divergen mediante el uso de la Prueba de Series Alternadas:

1. $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}$

2. $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$

3. $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n}{n+3}$

4. $\sum\limits_{k=1}^\infty \left(-\frac{5}{13}\right)^{k-1}$

5. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^6}$

6. $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k}}{10^n n!}$

7. $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{1}{\ln(n+1)}$

8. $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\ln(n+1)}{n+1}$

9. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \cos n \pi$

10. $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{1}{n \sqrt{n}}$

11. $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{3n+2}{n+10}$

12. Demuestra que la serie $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{5}{k^2}$ converge según la Prueba de Series Alternadas. Establece $S=\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{5}{k^2}$ . Calcula $s_3$ para $\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{5}{k^2}$ y determina el valor de $|S-s_3|$ .

13. Demuestra que la serie $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k !}$ converge según la Prueba de Series Alternadas. Establece $S=\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k !}$ . Calcula $s_4$ para $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k !}$ y determina el valor de $|S-s_4|$ .

En la serie del problema #1, encuentra el valor menor de $n$ tal que:

14. $\Bigg| \sum\limits_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k} -S \Bigg| <0.05$

15. $\Bigg| \sum\limits_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k} -S \Bigg| <0.005$

16. $\Bigg| \sum\limits_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k} -S \Bigg| <0.0001$

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