Series de Términos Positivos y Negativos: Convergencia Absoluta y Condicional

Objetivos

En esta sección, aprenderás a identificar dos tipos de convergencia que son útiles al describir series infinitas con términos positivos y negativos.

Concepto

En la sección anterior, se presentó la serie alternada como un tipo de serie infinita con términos positivos y negativos, cuya convergencia podía ser determinada al usar la Prueba de Series Alternadas. Sin embargo, no toda serie infinitas con términos positivos y negativos es una serie alternada y, para estas, no se puede aplicar la Prueba de Series Alternadas. Por ejemplo, considera la serie $\sum\limits^\infty_{n=1} \frac{\sin (nx)}{n}$ . ¿Es esta una serie alternada? ¿Bajo qué circunstancias podría ser una serie no alternada con términos positivos y negativos? ¿Puedes predecir la convergencia?

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http://www.youtube.com/watch?v=rEyeRKd3TWo - Sousa: Series Convergentes Absolutas y Condicionales

Orientación

En el trabajo con series infinitas, el asunto ha sido determinar la convergencia o divergencia. En esta sección, presentamos el hecho de que existen dos tipos de convergencia: convergencia absoluta y convergencia condicional.

Definición: Convergencia Absoluta y Condicional

Establezcamos $\sum\limits^\infty_{k=1} u_k =u_1+u_2+u_3 \ldots + u_k+\ldots$ como una serie infinita.

1. La serie $\sum\limits^\infty_{k=1} u_k$ tiene convergencia absoluta si la serie $\sum\limits^\infty_{k=1} |u_k|$ converge.

$\sum\limits^\infty_{k=1} |u_k|=|u_1|+|u_2|+|u_3|+\ldots+ |u_k|+\ldots$

2. La serie $\sum\limits^\infty_{k=1} u_k$ tiene convergencia condicional (o convergencia) si converge pero no tiene convergencia absoluta.

La serie infinita $\sum\limits^\infty_{k=1} |u_k|$ es una serie de términos positivos que se crea al tomar los valores absolutos de los términos de $\sum\limits^\infty_{k=1} |u_k|$ . Esto quiere decir que son aplicables todas las técnicas usadas para determinar convergencia en una serie de términos positivos. Lo que hace que esto sea fundamental es que la convergencia de la sumatoria infinita de valores absolutos nos dice algo sobre la convergencia de las series.

Relación entre Convergencia Absoluta y Condicional

Establezcamos $\sum\limits^\infty_{k=1} u_k=u_1+u_2+u_3 \ldots+u_k+\ldots$ como una serie infinita.

Si $\sum\limits^\infty_{k=1} |u_k|$ tiene convergencia absoluta, entonces $\sum\limits^\infty_{k=1} u_k$ converge;
Si $\sum\limits^\infty_{k=1} |u_k|$ ino tiene convergencia absoluta, entonces no podemos concluir nada respecto a la convergencia de $\sum\limits^\infty_{k=1} u_k$ .

El teorema anterior nos dice que si puedes demostrar la convergencia absoluta, entonces la serie es convergente. Sin embargo, si la serie de valor absoluto diverge, no podemos hacer una conclusión sobre la misma.

Ejemplo A

Determina si la serie $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{(-1)^{k+1}}{3k^4-k}$ tiene convergencia absoluta.

Solución:

Esta es una serie alternada.

Encontramos la serie de valores absolutos: $\sum\limits^\infty_{k=1} \Big|\frac{(-1)^{k+1}}{3k^4-k} \Big| =\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{1}{3k^4-k}$ .

¿Es la serie $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{1}{3k^4-k}$ convergente?

Considera que $0<\frac{1}{3k^4-k}<\frac{1}{3k^3}$ para toda $k>1$ . Debido a que $\sum\limits^\infty_{k=2} \frac{1}{3k^3}$ es una serie $p$ con $p=3$ , es convergente. Por lo tanto, la serie $\sum\limits^\infty_{k=2} \frac{1}{3k^4-k}$ converge según la Prueba de Comparación; lo que también significa que $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{1}{3k^4-k}$ converge.

La serie $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{(-1)^{k+1}}{3k^4-k}$ , por lo tanto, tiene convergencia absoluta y, por esto, converge.

Ejemplo B

Determine if the series $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$ converges absolutely.

Solución:

Esta es una serie alternada.

Primero, determina la convergencia absoluta.

Encontramos la serie de valores absolutos: $\sum\limits^\infty_{k=1} \Big| \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1} \Big| = \sum\limits^\infty_{k=1} \frac{1}{2k+1}$ .

¿Es la serie $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{1}{2k+1}$ convergente?

Considera que $0<\frac{1}{3k} \le \frac{1}{2k+1}$ para toda $k$ . Debido a que $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{1}{3k}$ es una serie armónica, diverge. Por lo tanto, la serie $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{1}{2k+1}$ diverge según la Prueba de Comparación.

La serie $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$ , por lo tanto, no tiene convergencia absoluta.

Luego, comprueba la convergencia condicional (o simplemente convergencia) mediante el uso de la Prueba de Series Alternadas.

Primero, comprobamos que los términos de la serie no son crecientes: $\frac{u_{k+1}}{u_k} \le 1$ .

$\frac{u_{k+1}}{u_k}=\frac{\frac{1}{2(k+1)+1}}{\frac{1}{2k+1}}=\frac{2k+1}{2k+3}<1$

Por lo tanto, $u_k > u_{k+1}$ , y se cumple la primera condición.

Ahora, comprobamos que $\lim\limits_{k \rightarrow +\infty} u_k=0$ .

$\lim\limits_{k \rightarrow +\infty} u_k =\lim\limits_{k \rightarrow +\infty}\frac{1}{2k+1}=0$

Según la Prueba de Series alternadas, la serie $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$ converge; tiene convergencia condicional.

Ejemplo C

Determina si la serie $\sum\limits^\infty_{k=1} \left(\frac{-3n}{n+1}\right)^{4n}$ tiene convergencia absoluta.

Solución:

Encontramos la serie de valores absolutos: $\sum\limits^\infty_{k=1} \Big| \left(\frac{-3n}{n+1}\right)^{4n} \Big|=\sum\limits^\infty_{k=1} \left(\frac{-3n}{n+1}\right)^{4n}=\sum\limits^\infty_{k=1} \left(\frac{3n}{n+1}\right)^{4n}$ .

Nota que el uso del valor absoluto para los términos de la serie no cambia nada en la serie, porque $(-1)^{4n}=1$ .

¿Es convergente la serie $\sum\limits^\infty_{k=1} \left(\frac{3n}{n+1}\right)^{4n}$ ?

Debido a que la serie incluye una potencia de $n$ , intentemos usar la Prueba de Raíz.

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n} &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(\left(\frac{3n}{n+1}\right)^{4n}\right)^{\frac{1}{n}}\\&= \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{3n}{n+1}\right)^4\\&= \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{3}{1+\frac{1}{n}}\right)^4\\&= 3^4>1$

El hecho de que $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}>1$ significa que la serie $\sum\limits^\infty_{k=1} \left(\frac{3n}{n+1}\right)^{4n}$ diverge.

Reordenamiento

Hacer un reordenamiento de términos de una serie significa escribir todos los términos de la serie en un orden diferente. El siguiente teorema explica cómo el reordenamiento afecta la convergencia.

Reordenamiento de Términos de Series

Considera $\sum\limits^\infty_{k=1} u_k$ como una serie convergente absoluta. Entonces, cualquier reordenamiento de los términos en esa serie resulta en una nueva serie que también tiene convergencia absoluta al mismo límite.
Considera $\sum\limits^\infty_{k=1} u_k$ como una serie convergente condicional. Entonces, para cualquier número real $c$ existe un reordenamiento de la serie tal que la serie resultante convergerá a $c$ .

Análisis del Problema de la Sección

Sin embargo, no toda serie infinita con términos positivos y negativos es una serie alternada y, a estas, no se puede aplicar la Prueba de series Alternadas. Por ejemplo, considera la serie $\sum\limits^\infty_{n=1} \frac{\sin (nx)}{n}$ . ¿Es esta una serie alternada? ¿Bajo qué circunstancias podría ser una serie no alternada con términos positivos y negativos? ¿Puedes predecir la convergencia?

No es una serie alternada. La naturaleza de esta serie depende del valor de $x$ . Si $x=\frac{\pi}{2}$ , la serie es

$1, 0, -\frac{1}{3}, 0, \frac{1}{5}, 0, -\frac{1}{7}, 0, \ldots$ con un número infinito de términos positivos y negativos. Esta serie en particular se puede escribir como una nueva serie alternada $\sum\limits^\infty_{n=1} \left(-\frac{1}{2n-1}\right)^{n+1}$ si los términos con valores de 0 se eliminan. Otros valores de $x$ , por ejemplo, $\frac{\pi}{4}$ , resultarían en términos positivos y negativos diferentes. La serie $\sum\limits^\infty_{n=1} \frac{\sin (nx)}{n}$ es convergente para cada valor de $x$ .

Vocabulario

Una serie infinita tiene convergencia absoluta cuando la serie creada al tomar el valor absoluto de cada término es convergente.

Una serie infinita tiene convergencia condicional cuando la serie es convergente, pero no tiene convergencia absoluta.

El reordenamiento de términos de una serie significa escribir todos los términos de la serie en un orden diferente.

Práctica Guiada

Determina si $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}$ tiene convergencia absoluta o condicional, o es divergente.

Solución:

Para comprobar convergencia absoluta, observa la serie de valores absolutos: $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{1}{k}$ . Esta es una serie armónica, que diverge. Entonces, la serie $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}$ no tiene convergencia absoluta.

El próximo paso es comprobar la convergencia de $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}$ . Esto nos dirá si la serie tiene convergencia condicional.

Al aplicar la Prueba de Series Alternadas:

La secuencia $\frac{1}{1} >\frac{1}{2}>\frac{1}{3}>\ldots$ no es creciente y $\lim\limits_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{k}=0$ .

La serie $\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}$ converge.

Por lo tanto, la serie tiene convergencia condicional, pero no absoluta.

Práctica

Determina si cada serie tiene convergencia absoluta o condicional, o es divergente.

$\sum\limits^\infty_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{\frac{1}{4}}}$
$\sum\limits^\infty_{n=1} \frac{(-1)^n}{n^4}$
$\sum\limits^\infty_{k=1} (-1)^{k+1} \frac{3k}{2^k}$
$\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{(-1)^{k+1}k}{2k^2+2}$
$\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{(-4)^{k+1}}{7k^2}$
$\sum\limits^\infty_{k=1} \frac{(-1)^{k+1}}{k^{\frac{7}{2}}}$
$\sum\limits^\infty_{k=1} (-1)^{k+1} \frac{k}{3k^2+k}$
$\sum\limits^\infty_{n=1} \frac{(-1)^n e^{\frac{1}{n}}}{n^3}$
$\sum\limits^\infty_{k=1} (-1)^{k+1} \frac{1}{n \sqrt{n}}$
$\sum\limits^\infty_{n=1} (-1)^{n+1} \frac{n}{e^n}$
$\sum\limits^\infty_{n=1} \frac{(-2)^n}{n^2}$
$\sum\limits^\infty_{n=1} (-1)^n \frac{n}{(n+1) \sqrt{n}}$
$\sum\limits^\infty_{n=1} \frac{(-1)^n}{n\sqrt{k^2+2}}$
$\sum\limits^\infty_{n=1} (-1)^n \frac{2n^2}{n^3+1}$
$\sum\limits^\infty_{k=1} (-1)^k \frac{\ln k}{\sqrt{k}}$

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