Series de Términos Positivos y Negativos: Las Pruebas de Razón y Raíz para Convergencia Absoluta

Objetivos

En esta sección, aprenderás a usar el valor absoluto de los términos de series en las Pruebas de Razón y Raíz para determinar convergencia absoluta de una serie infinita con términos positivos y negativos.

Concepto

Considera la serie geométrica alternada $\sum\limits_{n=1}^{\infty} 3 \left(- \frac{2}{3} \right)^{n-1}$ . En la sección anterior, se presentó la noción de convergencia absoluta al observar la convergencia de una serie nueva creada al tomar el valor absoluto de cada término, por ejemplo, la serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \bigg| 3 \left(- \frac{2}{3} \right)^{n-1} \bigg|$ . Ahora se encuentran disponibles todas las pruebas de convergencia de términos positivos para determinar convergencia, incluidas las Pruebas de Razón y Raíz. ¿Qué te dicen las Pruebas de Razón y Raíz para $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \bigg| 3 \left(- \frac{2}{3} \right)^{n-1} \bigg|$ con respecto a su convergencia absoluta? Antes de comenzar esta sección, ¿puedes determinar qué modificación única de estas dos pruebas de términos positivos haría que cada una fuera aplicable a todos los tipos de series, series de términos positivos y de términos positivos y negativos?

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Orientación

Al evaluar una serie infinita que contiene términos positivos y negativos, convertir la serie en una de términos positivos al tomar el valor absoluto de cada término permite que se pueda usar cada una de las pruebas para series de términos positivos con el fin de determinar convergencia absoluta o divergencia. Se pueden reescribir las dos siguientes pruebas de convergencia para series de términos positivos para reflejar su uso al evaluar la convergencia absoluta en series de términos negativos y positivos:

La Prueba de Razón
La Prueba de Raíz $n$ -ésima

La Prueba de Razón para Convergencia Absoluta

Esta es una modificación a la Prueba de Razón para series de términos positivos que puede ser usada para evaluar convergencia absoluta en series de términos negativos y positivos:

La Prueba de Razón para Convergencia Absoluta

Considera $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n=a_1+a_2+a_3 \ldots +a_n+ \ldots$ como una serie infinita de números distintos a cero.

Si $\lim\limits_{n \to \infty} \bigg|\frac{a_n+1}{a_n} \bigg|= \alpha < 1$ , entonces la serie tiene convergencia absoluta.
Si $\lim\limits_{n \to \infty} \bigg|\frac{a_n+1}{a_n} \bigg|= \alpha > 1$ o $\lim\limits_{n \to \infty} \bigg|\frac{a_n+1}{a_n} \bigg|= \infty$ , entonces la serie tiene divergencia absoluta.
Si $\lim\limits_{n \to \infty} \bigg|\frac{a_n+1}{a_n} \bigg|= \alpha = 1$ , entonces la prueba no es concluyente.

* Podemos ignorar el valor cero $a_n$ en cuanto se refiere a la suma.

Nota que la única diferencia entre esta versión de la Prueba de Razón y la versión presentada cuando trabajamos con series de términos positivos es el uso de $|a_n|$ . Cuando trabajamos con series de términos positivos, no es necesario tomar el valor absoluto de la razón de los términos. Sin embargo, es diferente trabajar con series que tienen tanto términos positivos como negativos. Recuerda que si el uso de esta prueba demuestra que la serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_n|$ tiene convergencia absoluta, entonces la serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ converge. Si no, entonces se debe usar otra prueba.

Siempre piensa en usar la Prueba de Razón cuando una serie incluya un factorial.

Ejemplo A

Usando la Prueba de Razón, determina si la serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{A^n}{n !}$ , with $A$ con una constante (positiva o negativa), tiene convergencia absoluta o condicional, o es divergente.

Solución:

La Prueba de Razón para convergencia absoluta dice que observemos $\lim\limits_{n \to \infty} \bigg|\frac{a_n+1}{a_n} \bigg|$ .

Con $a_n=\frac{A^n}{n !}$ , entonces

$\lim_{n \to \infty} \bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n} \bigg| &=\lim_{n \to \infty} \bigg|\frac{A^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n !}{A^n} \bigg| \\&=\lim_{n \to \infty} \bigg|\frac{A}{n+1} \bigg| \\&=0<1$

Según la Prueba de Razón para convergencia absoluta, la serie tiene convergencia absoluta para cualquier constante $A$ , lo que significa que la serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{A^n}{n !}$ es convergente. De hecho, $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{A^n}{n !}=e^A$ , lo que es muy grande para $A$ , pero aún es finita.

La Prueba de Raíz para Convergencia Absoluta

Esta es una modificación a la Prueba de Raíz $n$ -ésima para series de términos positivos que puede ser usada para evaluar convergencia absoluta en series de términos negativos y positivos:

La Prueba de Raíz para Convergencia Absoluta

Considera $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n=a_1+a_2+a_3+ \ldots +a_n+ \ldots$ como una serie infinita de números distintos a cero.

Si $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\alpha < 1$ , entonces la serie tiene convergencia absoluta.
Si $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\alpha > 1$ o $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\infty$ , entonces la serie tiene divergencia absoluta.
Si $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=1$ , entonces la prueba no es concluyente.

Nota nuevamente que la única diferencia entre esta versión de la Prueba de Raíz $n$ -ésima y la versión presentada cuando trabajamos con series de términos positivos es el uso de $|a_n|$ . Cuando trabajamos con series de términos positivos, no es necesario tomar el valor absoluto de los términos de la serie. Sin embargo, es diferente trabajar con series que tienen tanto términos positivos como negativos.

Siempre piensa en usar la Prueba de Raíz cuando una serie tiene potencias en el numerador y denominador.

Ejemplo B

Usar la Prueba de Raíz $n$ -ésima para determinar si la serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{\cos (n \pi)}{n+2} \right)^n$ tiene convergencia absoluta, condicional, o es divergente.

Solución:

La Prueba de Raíz $n$ -ésima para convergencia absoluta dice que observemos $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ .

Con $a_n=\left(\frac{\cos(n \pi)}{n+2} \right)^n$ , entonces

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} &=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\bigg| \left(\frac{\cos(n \pi)}{n+2} \right)^n \bigg|} \\&=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\bigg|\left(\frac{1}{n+2} \right)^n \bigg|} \\&=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+2} \\&=0 < 1$

Según la Prueba de Raíz $n$ -ésima para convergencia absoluta, la serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{\cos(n \pi)}{n+2} \right)^n$ tiene convergencia absoluta.

En algunas series, ni la Prueba de Razón ni la Prueba de Raíz $n$ -ésima proporcionan una conclusión sobre la convergencia absoluta, y la Prueba de Divergencia del Término $n$ ésimo tampoco es concluyente. En esta situación, se deben intentar otras pruebas.

Ejemplo C

Usar la Prueba de Raíz $n$ -ésima o la de Razón para determinar si la serie $\sum\limits_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1} \left(\frac{n^2}{n^3-2} \right)$ tiene convergencia absoluta, condicional, o es divergente.

Solución:

La Prueba de Razón para convergencia absoluta dice que observemos $\lim\limits_{n \to \infty} \bigg|\frac{a_n+1}{a_n} \bigg|$ .

Con $a_n=\left(\frac{n^2}{n^3-2} \right)$ , entonces

$\lim_{n \to \infty} \bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n} \bigg| &=\lim_{n \to \infty} \left[\frac{(n+1)^2}{(n+1)^3-2} \cdot \frac{n^3-2}{n^2} \right] \\&=\lim_{n \to \infty} \left[\frac{n^5}{n^5} \frac{\left(1+ \frac{1}{n} \right)^2}{\left(1+ \frac{1}{n} \right)^3 - \frac{2}{n^3}} \cdot \frac{ \left(1- \frac{2}{n^3} \right)}{1} \right] \\&=1$

La Prueba de Razón para convergencia absoluta es inconclusa.

Si intentamos aplicar la Prueba de Divergencia del Término $n$ -ésimo: $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{n^2}{n^3 -2} \right)=\lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n} \frac{1}{1- \frac{2}{n^3}} \right)=0$ . ¡Este resultado no nos dice nada sobre la divergencia!

La Prueba de Raíz $n$ -ésima para convergencia absoluta tampoco es concluyente sobre la convergencia absoluta. Intenta realizar la prueba por ti mismo para demostrar $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=1$ , al encontrar cómo evaluar los límites:

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} &=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^2}{n^3 -2}} \\&=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2}{n^3 -2} \right)^{\frac{1}{n}} \\&=\left(\frac{\lim\limits_{n \to \infty} n^{\frac{2}{n}}}{\lim\limits_{n \to \infty}(n^3 -2)^{\frac{1}{n}}} \right) && \ldots \text{Can you evaluate these two limits}? \\&=\frac{1}{1}=1$

Intentemos aplicar la Prueba de Comparación de Límites a la serie $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \bigg|(-1)^{n-1} \left(\frac{n^2}{n^3 -2} \right) \bigg|$ y usemos $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{n^2}{n^3}=\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}$ como la serie de comparación.

Entonces $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{u_k}{v_k}=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^3 -2}}{\frac{1}{n}}$ , y

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^3 -2}}{\frac{1}{n}} &=\lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{n^3} \frac{1}{1- \frac{2}{n^3}} \\&=1 > 0$

Debido a que $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}$ es una serie armónica y diverge, $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \bigg|(-1)^{n-1} \left(\frac{n^2}{n^3 -2} \right) \bigg|$ también tiene divergencia absoluta.

Para evaluar la convergencia condicional, podemos usar la Prueba de Series Alternadas.

El término $\left(\frac{n^2}{n^3 -2} \right)$ siempre es decreciente y $\lim\limits_{N \to \infty} \left(\frac{n^2}{n^3 -2} \right)=0$ .

Por lo tanto, la serie $\sum\limits_{n=2}^{\infty} (-1)^{n-1} \left(\frac{n^2}{n^3 -2} \right)$ tiene convergencia condicional

Análisis del Problema de la Sección

¿Qué te dicen las Pruebas de Razón y Raíz para $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \bigg|3 \left(- \frac{2}{3} \right)^{n-1} \bigg|$ con respecto a su convergencia absoluta? Antes de comenzar esta sección, ¿puedes determinar qué modificación única de estas dos pruebas de términos positivos haría que cada una fuera aplicable a todos los tipos de series, series de términos positivos y de términos positivos y negativos?

Para evaluar la serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty} 3 \left(- \frac{2}{3} \right)^{n-1}$ en cuanto a convergencia absoluta, creamos la serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \bigg|3 \left(- \frac{2}{3} \right)^{n-1} \bigg|= \sum\limits_{n=1}^{\infty} 3 \left(\frac{2}{3} \right)^{n-1}$ que sabemos que es una serie geométrica convergente con $r=\frac{2}{3} < 1$ . ¿Demuestran esto las Pruebas de Razón y Raíz?

En la Prueba de Razón: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{3 \left(\frac{2}{3} \right)^n}{3 \left(\frac{2}{3} \right)^{n-1}}=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{3 \left(\frac{2}{3} \right)^n}{3 \left(\frac{2}{3} \right)^{n-1}}=\frac{2}{3} < 1$ . La serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \bigg|3 \left(- \frac{2}{3} \right)^{n-1} \bigg|=\sum\limits_{n=1}^{\infty} 3 \left(\frac{2}{3} \right)^{n-1}$ tiene convergencia absoluta según esta prueba, por lo tanto $\sum\limits_{n=1}^{\infty} 3 \left(- \frac{2}{3} \right)^{n-1}$ converge.

En la Prueba de Raíz: $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} &=\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{3 \left(\frac{2}{3} \right)^{n-1}} \\&=\lim\limits_{n \to \infty} 3^{\frac{1}{n}} \left(\frac{2}{3} \right)^{\frac{(n-1)}{n}}=\lim\limits_{n \to \infty} 3^{\frac{1}{n}} \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3} \right)^{\frac{(n-1)}{n}}=1 \cdot \left(\frac{2}{3} \right) < 1$

La serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \bigg|3 \left(- \frac{2}{3} \right)^{n-1} \bigg|=\sum\limits_{n=1}^{\infty} 3 \left(\frac{2}{3} \right)^{n-1}$ tiene convergencia absoluta según esta prueba, por lo tanto $\sum\limits_{n=1}^{\infty} 3 \left(- \frac{2}{3} \right)^{n-1}$ converge.

La aplicación de las Pruebas de Razón y Raíz a las series para demostrar convergencia absoluta se basó en tomar los valores absolutos de todos los términos. Por lo tanto, a continuación se muestran las modificaciones a las dos pruebas para hacer que ambas sean aplicables a todas las series:

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} \bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n} \bigg|$ y $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ .

Vocabulario

Una serie infinita de términos positivos y negativos es una serie infinita en la que sus términos son valores positivos o negativos.

La Prueba de Razón usa el límite del valor absoluto de la razón de los términos $(n+1)$ ésimo y $n$ -ésimo de una serie de términos positivos y negativos para determinar su convergencia o divergencia.

La Prueba de Raíz ( raíz $n$ -ésima) usa el límite del valor absoluto de la raíz del término $n$ -ésimo de una serie de términos positivos y negativos para determinar su convergencia o divergencia.

Práctica Guiada

Usar la Prueba de Razón para determinar si la serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{7n+3}$ tiene convergencia absoluta, condicional, o es divergente. Si la Prueba de Razón no es concluyente, intenta otras pruebas.

Solución:

La Prueba de Razón para convergencia absoluta dice que observemos $\lim\limits_{n \to \infty} \bigg|\frac{a_n +1}{a_n} \bigg|$ .

Con $a_n=\frac{(-1)^n}{7n+3}$ , entonces

$\lim_{n \to \infty} \bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n} \bigg| &=\lim_{n \to \infty} \bigg|\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{7(n+1)+3}}{\frac{(-1)^n}{7n+3}} \bigg| \\&=\lim_{n \to \infty} \bigg|\frac{7n+3}{7n+10} \bigg| \\&=\lim_{n \to \infty} \bigg|\frac{7n \left(1+ \frac{3}{7n} \right)}{7n \left(1+ \frac{10}{7n} \right)} \bigg| \\&=1$

La Prueba de Razón no es concluyente sobre la convergencia absoluta de la serie. Se debe intentar otra prueba.

Veamos si la serie absoluta diverge. Si se usa la Prueba del Término $n$ -ésimo el resultado es: $=\lim\limits_{n \to \infty} \bigg|\frac{1}{7n+3} \bigg|=0$ , lo que no es concluyente en establecer divergencia. Se debe intentar otra prueba.

Si se aplica la Prueba de Raíz $n$ -ésima el resultado es:

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} &=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\bigg|\frac{(-1)^n}{7n+3} \bigg|} \\&=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{(7n+3)^{\frac{1}{n}}} \\&=\frac{1}{\lim\limits_{n \to \infty} (7n+3)^{\frac{1}{n}}} && \ldots \text{To evaluate} \lim_{n \to \infty}(7n+3)^{\frac{1}{n}},\ \text{let} \ y=(7n+3)^{\frac{1}{n}}. \\&&& \text{Then} \ \lim_{n \to \infty} y \ \text{is related to} \ \lim_{n \to \infty}(\ln y) \ \text{as follows}: \\\lim_{n \to \infty} (\ln y) &=\lim_{n \to \infty} [\ln(7n+3)^{\frac{1}{n}}] \\&=\lim_{n \to \infty} \left[\frac{\ln (7n+3)}{n} \right] && \ldots \text{Looks like} \ \frac{\infty}{\infty}. \\&=\lim_{n \to \infty} \left[\frac{\frac{7}{(7n+3)}}{1} \right] && \ldots \text{Using LHopitals Rule}. \\&=0. &&\ldots \lim_{n \to \infty} (\ln y)=0 \ \text{means} \ \lim_{n \to \infty} y=e^0=1=\lim_{n \to \infty} (7n+3)^{\frac{1}{n}}. \\\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\bigg|\frac{(-1)^n}{7n+3} \bigg|} &=1$

La Prueba de Raíz tampoco es concluyente sobre la convergencia absoluta.

Intentemos la Prueba de Integrales en $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \bigg|\frac{(-1)^n}{7n+3} \bigg|$ para evaluar la convergencia absoluta.

Considera $f(x)=\frac{1}{7x+3}$ , $x \ge 1$ . Entonces, $f(x)$ es positiva, continua y decreciente, lo que satisface las condiciones para usar la Prueba de Integrales.

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{7x+3}dx &=\lim_{p \to \infty} \int_{1}^{p} \frac{1}{7x+3}dx \\&=\lim_{p \to \infty} \left[\frac{1}{7} \ln (7p+3)- \frac{1}{7} \ln (7+3) \right] \\&=\infty$

Según la Prueba de Integrales, la serie no tiene convergencia absoluta, es divergente.

Ahora, debido a que $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{7n+3}$ es una serie alternada, usa la Prueba de Series Alternadas para ver si tiene convergencia condicional.

Debido a que $\frac{1}{7n+3}$ es decreciente y $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{7n+3}=0$ , la serie converge.

¡La serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{7n+3}$ tiene convergencia condicional!

Práctica

Determina si cada una de las siguientes series tiene convergencia absoluta, condicional, o es divergente mediante el uso de la Prueba de Razón. Si la Prueba de Razón no es concluyente, intenta otras pruebas:

1. $\sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^k \frac{1}{2^{k-1}}$

2. $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k !}$

3. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{(-4)^n}$

4. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n (1.5)^n}{n^4}$

5. $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$

6. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n^2}{2^n}$

7. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{3^{n-1}}{n^4}$

Determina si cada una de las siguientes series tiene convergencia absoluta, condicional, o es divergente mediante el uso de la Prueba de Raíz $n$ -ésima. Si la prueba no es concluyente, intenta otras pruebas:

8. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n+1}{3^n}$

9. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{[\ln(n+1)]^n}$

10. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{n^2 -1}$

11. $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln(2n)}$

12. $\frac{2}{1.3}- \left(\frac{3}{2.4} \right)^2+ \left(\frac{4}{3.5} \right)^3- \left(\frac{5}{4.6} \right)^4+ \cdots$

13. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{4n+2}{19n-1} \right)^{2n}$

14. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{n^2 -1}{n^2 +1} \right)^{n}$

15. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{(-1)^n \ln n}{n} \right)^n$

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