Resumen de las Pruebas de Convergencia

Objetivos

En esta sección, repasarás las diferentes pruebas usadas para determinar convergencia (absoluta o condicional) o divergencia de una serie infinita, y revisarás las reglas generales para seleccionar una prueba apropiada.

Concepto

Como un repaso de las secciones anteriores, supone que te dan la serie infinita $\sum\limits_{n=1}^\infty 1.5 x^{n-1}$ , donde $x$ es una variable real, y te dicen que puede ser una serie de términos positivos o una serie alternada; y que puede tener convergencia absoluta o ser divergente. Además, te dicen que esta serie infinita puede ser la representación de una función $f(x)$ . Usando lo que has aprendido sobre series infinitas en las secciones, ¿puedes determinar si estas afirmaciones son verdaderas o falsas?

Mira Esto

"Videos disponibles solo en inglés"

Para encontrar presentaciones en video sobre las variadas pruebas de convergencia mira:

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http://www.youtube.com/watch?v=xesQnFWw8f8 - Tutorial de Matemáticas: Pruebas de comparación de límites y comparación directa (7:35)

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http://www.youtube.com/watch?v=iy8mhbZTY7g - Tutorial de Matemáticas: Uso de la prueba de razón para determinar si una serie converge (7:38)

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http://www.youtube.com/watch?v=vDdDLfIya0I - Tutorial de Matemáticas: Pruebas de Raíz para Series (10:07)

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http://www.youtube.com/watch?v=zgTRNpKcenE - Tutorial de Matemáticas: Prueba de series alternadas

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http://www.youtube.com/watch?v=rEyeRKd3TWo - Sousa: Series Convergentes Absolutas y Condicionales

Orientación

Hemos visto muchas pruebas para determinar la convergencia de una serie infinita. A veces, es difícil escoger la mejor prueba de convergencia para una serie en particular. No todas las pruebas sirven para una serie determinada. Pruebas múltiples pueden funcionar en una serie determinada, pero incluso si una prueba funciona en una serie particular, esa prueba aún podría requerir mucho más trabajo para encontrar una conclusión sobre convergencia. Sin embargo, con experiencia podremos aplicar la prueba correcta a una serie determinada. Como mínimo, podemos aprender qué pruebas son más fáciles de aplicar, de forma que podamos empezar con aquellas pruebas más fáciles si no tenemos otra idea de cómo proceder. Un factor muy importante es ser capaz de reconocer tantas formas como sea posible.

En cualquier caso, cuando estas evaluando la convergencia o divergencia de una serie, es útil tener un plan de ataque. Pregunta lo siguiente y luego selecciona la prueba apropiada:

¿Es la serie un tipo de serie reconocible con características de convergencia conocidas? Si es así, mira las opciones de pruebas disponibles. Si no lo es, entonces pasa a la siguiente pregunta.
¿Es la serie una serie de términos positivos? Si es así, mira las opciones de pruebas disponibles. Si no lo es, entonces pasa a la siguiente pregunta.
Es la serie una serie de términos positivos y negativos? Si es así, mira las opciones de pruebas disponibles.

La tabla que se encuentra a continuación sirve para seleccionar pruebas. Proporciona un resumen de las muchas pruebas y en qué momento pueden ser útiles.

I. La serie es reconocible con características de convergencia conocidas.

**Series Infinitas Reconocibles**
Tipo de Serie	Prueba Convergencia/Divergencia
Un tipo reconocible de serie : Geométrica : $\sum\limits_{n=1}^\infty ar^{n-1}$	Prueba de serie geométrica: $\|r\|<1\Rightarrow$ convergencia $\|r\|\ge 1\Rightarrow$ divergencia
Armónica : $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$	Diverge
Serie $p$ : $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{p}}$	Prueba de serie $p$ : $p>1\Rightarrow$ convergencia $0 < p \le 1\Rightarrow$ divergencia
Telescópica : $\sum\limits_{k=1}^\infty(a_k - a_{k+1})$	$\lim\limits_{n \to \infty}s_n=\lim\limits_{n \to \infty}(a_1 - a_n)=\text{finite}\Rightarrow$ convergencia $\lim\limits_{n \to \infty}s_n=\lim\limits_{n \to \infty}(a_1 - a_n)=\pm \infty$ o DNE $\Rightarrow$ divergencia

Ejemplo A

Determina si las series son convergentes o divergentes.

1. $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{4^{k+2}}{9^{k-1}}$

2. $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{5}{(2k)^{\frac{2}{3}}}$

Solución:

1. $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{4^{k+2}}{9^{k-1}}=\sum\limits_{k=1}^\infty 4^{3}\left(\frac{4}{9}\right)^{k-1}$ es una serie geométrica con $a=4^{3}$ y $r=\frac{4}{9}$ . Debido a que $|r|=\frac{4}{9}<1$ , la serie es convergente.

2. $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{5}{(2k)^{\frac{2}{3}}}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{5}{2^{\frac{2}{3}}}\frac{1}{k^{\frac{2}{3}}}=\frac{5}{2^{\frac{2}{3}}}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k^{\frac{2}{3}}}$ . Esta es una serie $p$ con $p=\frac{2}{3}$ . Debido a que $p=\frac{2}{3}<1$ , la serie es divergente.

II. La serie es una serie de términos positivos.

Una serie de términos positivos : $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ con $u_k\ge 0$

Prueba	Comentario
1. Prueba de divergencia del término $n$ -ésimo $\lim\limits_{k \to +\infty}u_k\ne 0$ o No Existe $\Rightarrow$ divergencia $\lim\limits_{k \to +\infty}u_k=0\Rightarrow$ sin conclusión; intenta otra prueba	$f(k)$ es continua, positiva, decreciente y fácilmente integrable.
2. Prueba de Integrales ( $u_k=f(k); f(k)$ es continua, positiva, decreciente y fácilmente integrable) $\int\limits_{1}^{\infty}f(x)dx=L, 0 < L < \infty\Rightarrow$ convergencia $\int\limits_{1}^{\infty}f(x)dx=\infty\Rightarrow$ divergencia	$f(k)$ es continua, positiva, decreciente y fácilmente integrable.
3. Prueba de Comparación (con $\sum\limits_{k=1}^\infty v_k, v_k\ge 0$ ) $u_k \le v_k$ y $\sum\limits_{k=1}^\infty v_k$ converge $\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ converge $u_k \ge v_k$ y $\sum\limits_{k=1}^\infty v_k$ diverge, entonces $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ diverge	$f(k)$ es continua, positiva, decreciente y fácilmente integrable.
4. Prueba de Comparación de Límites (con $\sum\limits_{k=1}^\infty v_k, v_k\ge 0$ ) Calcula $\lim\limits_{k \to \infty}\frac{u_k}{v_k}=L$ $0 < L < \infty\Rightarrow$ Ambas series convergen o divergen juntas. $L=0$ y $\sum\limits_{k=1}^\infty v_k$ converge $\Rightarrow\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ converge $L=+\infty$ y $\sum\limits_{k=1}^\infty v_k$ diverge $\Rightarrow\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ diverge	$f(k)$ es continua, positiva, decreciente y fácilmente integrable.
5. Prueba de Razón - calcula $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L$ $L<1 \Rightarrow$ convergencia $L>1\Rightarrow$ divergencia $L=1\Rightarrow$ no es concluyente; intenta otra prueba	Usa la Prueba de Razón cuando el término $n$ -ésimo incluye factoriales o potencias $n$ -ésimas. Evita usar la Prueba de Razón en términos $n$ -ésimos que contengan una expresión racional que incluya solo polinomios o polinomios bajo radicales, porque el resultado siempre será $L=1$ .
6. Prueba de Raíz - calcula $\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=L$ $L<1 \Rightarrow$ convergencia $L>1 \Rightarrow$ divergencia $L=1\Rightarrow$ no es concluyente; intenta otra prueba	Usa la Prueba de Raíz si el término $n$ -ésimo contiene productos o cocientes de potencias de $n$ .

Ejemplo B

Determina si las series son convergentes o divergentes.

1. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n2^{n}}{n!}$

2. $\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\ln n)}$

Solución:

1. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n2^{n}}{n!}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n2\cdot 2^{n-1}}{n!}=2\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{2^{n-1}}{(n-1)!}$ es una serie de términos positivos. Debido a que la serie tiene un factorial, intenta la Prueba de Razón.

$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} & = \lim\limits_{n \to \infty}\frac{\frac{2^{n}}{(n)!}}{\frac{2^{n-1}}{(n-1)!}}\\& = \lim_{n \to \infty}\frac{2^{n}}{2^{n-1}}\frac{(n-1)!}{(n)!}\\& = \lim\limits_{n \to \infty}2 \frac{1}{n}\\& = 0<1$

La serie tiene convergencia absoluta.

2. La serie $\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\ln n)}$ es una serie de términos positivos.

La prueba de divergencia del término $n$ -ésimo no es concluyente porque $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n(\ln n)}=0$ .

El término $n$ -ésimo parece integrable, así que intenta la Prueba de Integrales: considera $f(x)=\frac{1}{x(\ln x)},x\ge 2$ .

$\int\limits_{2}^{\infty}f(x)dx & = \lim\limits_{p \to \infty}\int\limits_{2}^{p}\frac{1}{x(\ln x)}dx \qquad \ldots\text{Let} \ u=\ln x,du=\frac{dx}{x}\\& = \lim\limits_{p \to \infty}\int\limits_{\ln 2}^{\ln p}\frac{1}{u}du\\& = \lim\limits_{p \to \infty}[\ln(\ln p)-\ln(\ln 2)]\\& = \infty$

La serie $\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\ln n)}$ diverge según la Prueba de Integrales.

III. La serie es una serie de términos positivos y negativos

**Una Serie de Términos Positivos y Negativos: Series Alternadas y** Series No Alternadas
Tipo de Series	Prueba
Series alternadas o no alternadas	Prueba para la convergencia absoluta o divergencia Prueba de Convergencia Absoluta : Forma la nueva serie $\sum\|u_k\|$ o $\sum\left\|(-1)^{k-1}u_k\right\|$ y evalúa usando las pruebas de series de términos positivos: Convergencia $\Rightarrow$ convergencia absoluta $\Rightarrow$ la serie original converge. Divergencia $\Rightarrow$ divergencia absoluta $\Rightarrow$ la serie original puede converger (condicionalmente) o divergir. No concluyente $\Rightarrow$ intenta otra prueba. Prueba de divergencia del término $n$ -ésimo $\lim\limits_{k \to +\infty}u_k\ne0$ o No Existe $\Rightarrow$ divergencia absoluta $\Rightarrow$ la serie original diverge. Prueba de Razón - calcula $\lim\limits_{n \to \infty}\left\|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\|=L$ $L<1 \Rightarrow$ convergencia $L>1\Rightarrow$ divergencia $L=1\Rightarrow$ no es concluyente; intenta otra prueba
Series Alternadas : $\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}u_k$ o $\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^{k}u_k$ con $u_k>0$ para toda $k$	Prueba de Series Alternadas para convergencia (condicional) $u_k\ge u_{k+1}$ (para toda $k$ ) y $\lim\limits_{k \to +\infty}u_k=0\Rightarrow$ convergencia; Nota : La falla en cumplir con una o ambas condiciones $u_k\ge u_{k+1}$ o $\lim\limits_{k \to +\infty}u_k=0$ no significa que la serie diverge. Se debe intentar otra prueba, por ejemplo, la prueba de divergencia del término $n$ -ésimo.

Ejemplo C

Determina si la serie $\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n^{q}}$ , donde $q$ es un número real, es convergente absoluta, condicional, o es divergente.

Solución:

La serie $\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n^{q}}$ es una serie alternada. ¿Satisface las condiciones necesarias para ser convergente?

El término $n$ -ésimo $\frac{1}{n^{q}}$ es decreciente y $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n^{q}}=0$ solo para $q>0$ .

La serie converge para $q>0$ . ¿Tiene convergencia condicional o absoluta?

La serie $\sum\limits_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n^q}\right|=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^q}$ es una serie $p$ que converge para $q>1$ .

Por lo tanto, si $q>1$ la serie $\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n^q}$ tiene convergencia absoluta.

Para $0 < q \le 1$ , la serie $\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n^q}$ tiene convergencia condicional.

Análisis del Problema de la Sección

Usando lo que has aprendido sobre series infinitas en las secciones, ¿puedes determinar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones sobre la serie infinita $\sum\limits_{n=1}^\infty 1.5 x^{n-1}$ , donde $x$ es una variable real?

la serie puede ser una de términos positivos o una alternada
la serie puede tener convergencia absoluta o ser divergente
la serie puede ser la representación de una función $f(x)$ .

¿Fuiste capaz de conseguir estas respuestas?

Verdadero: La serie puede ser una de términos positivos para $x>0$ , o una alternada para $x<0$ .
Verdadero: La serie es una serie geométrica $\sum\limits_{n=1}^\infty ar^{n-1}$ con $a=1.5$ y $r=x$ que tendrán convergencia absoluta cuando $|x|<1$ , y será divergente cuando $|x|\ge1$ .
Verdadero: Para $|x|<1$ donde la serie es convergente absoluta, $\sum\limits_{n=1}^\infty 1.5 x^{n-1}=\frac{1.5}{1-x}=f(x)$ .

La serie $\sum\limits_{n=1}^\infty 1.5 x^{n-1}$ es un tipo de serie muy importante llamada serie de potencias y ¡tienes el conocimiento para ser capaz de ver cuán útil puede ser!

Vocabulario

Una serie infinita es la sumatoria de los miembros de una secuencia en la que el exponente aumenta sin fin. Hay un número infinito de términos en la sumatoria.

Una serie infinita de términos positivos (no negativos) es una serie infinita en la que todos sus términos son mayores o iguales a 0.

Una serie infinita de términos positivos y negativos es una serie infinita en la que sus términos son valores positivos o negativos.

Una suma parcial de una serie infinita es la sumatoria de un número finito de términos en una serie infinita.

Una serie infinita converge si es finito el límite en el infinito positivo de su suma parcial $n$ -ésima.

Una serie infinita diverge si el límite en el infinito positivo de su suma parcial $n$ -ésima es infinito o no existe.

La prueba del término $n$ -ésimo para divergencia es una prueba que usa el límite en el infinito positivo de su término $n$ -ésimo para determinar divergencia. No es una prueba de convergencia.

La propiedad del término $n$ -ésimo de una serie infinita convergente , dice que en el límite a medida que el exponente va hacia el infinito, el término $n$ -ésimo tiende a cero.

La Prueba de Integrales puede ser usada para determinar convergencia o divergencia de una serie de términos positivos que siempre son decrecientes.

Las variadas pruebas de comparación son pruebas que pueden ser usadas para determinar convergencia o divergencia de una serie de términos positivos al compararla con otra serie de convergencia o divergencia conocida.

La Prueba de Razón usa el límite de la razón de los términos $(n+1)$ -ésimo y $n$ -ésimo de una serie de términos positivos para determinar su convergencia o divergencia.

La Prueba de Raíz ( raíz $n$ -ésima) usa el límite de la raíz del término $n$ -ésimo de una serie de términos positivos para determinar su convergencia o divergencia.

Una serie alternada es una serie cuyos términos alternan entre tener un signo positivo o uno negativo. Un número de formas de series comunes (armónica, geométrica, $p$ ) pueden ser series alternadas.

La Prueba de Series Alternadas se usa para determinar la convergencia o divergencia de una serie alternada al ver si la magnitud de cada término sucesivo es decreciente y el límite de la magnitud del término $n$ tiende a 0.

Una serie infinita tiene convergencia absoluta cuando la serie creada al tomar el valor absoluto de cada término es convergente.

Una serie infinita tiene convergencia condicional cuando la serie es convergente, pero no tiene convergencia absoluta.

La Prueba de Razón para convergencia absoluta usa el límite del valor absoluto de la razón de los términos $(n+1)$ -ésimo y $n$ -ésimo de una serie de términos positivos y negativos para determinar su convergencia o divergencia.

La Prueba de Raíz ( raíz $n$ -ésima) para convergencia absoluta usa el límite del valor absoluto de la raíz del término $n$ -ésimo de una serie de términos positivos y negativos para determinar su convergencia o divergencia.

Práctica Guiada

Determina si la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}\sqrt{n}}{n+1}$ tiene convergencia absoluta, condicional, o es divergente.

Solución:

La serie $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}\sqrt{n}}{n+1}$ es una serie alternada. ¿Satisface las condiciones necesarias para ser convergente?

El término $n$ -ésimo $\frac{\sqrt{n}}{n+1}$ es decreciente (observa la derivada de $\frac{\sqrt{x}}{x+1}$ ), y $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n}}{n+1}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{\left (2\sqrt{n} \right )}}{1}=0$ . La serie alternada converge. ¿Tiene convergencia condicional o absoluta?

Para determinar si la serie tiene convergencia absoluta, observamos la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^{n-1}\sqrt{n}}{n+1}\right|=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\sqrt{n}}{n+1}$ .

Nota que $\frac{\sqrt{n}}{n+1}\ge \frac{1}{n+1}$ , por lo tanto $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\sqrt{n}}{n+1}\ge\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}$ .

Según la Prueba de Integrales, $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}$ es divergente. Esto quiere decir que según la Prueba de Comparación, la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\sqrt{n}}{n+1}$ también es divergente.

Por lo tanto, la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}\sqrt{n}}{n+1}$ no tiene convergencia absoluta, sino que es convergente condicional.

Práctica

1. $\sum\limits_{n=3}^\infty\frac{5}{n-2}(2 \ 9.6)$

2. $\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{\ln n}{n^2}(12 \ 9.6)$

3. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2n^{2}+n+5}(9 \ 9.7)$

4. $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{k^{3}+4k^{2}+1}{3k^{6}+2k^{4}}(11 \ 9.7)$

5. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n!}{n^n}(7 \ 9.8)$

6. $\sum\limits_{n=1}^\infty n\left(\frac{2}{3}\right)^n(15 \ 9.8)$

7. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-2)^{n}n}{7^{n+1}}$

8. $\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{3n^{4}+5}{4n^{9}-3n}$

9. $\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt{n^{2}-1}}$

10. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\cos n}{n^3}$

11. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n^2}}$

12. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{n^2}$

13. $\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{\ln n}$

14. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n}2^n}{2n}$

15. $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n}n!}{3^n}$