Series de Potencias: Introducción y Convergencia

Objetivos

En esta sección, aprenderás sobre un tipo de serie infinita llamada serie de potencias y también revisarás las propiedades de convergencia de estas series.

Concepto

Hasta este punto, todas las series infinitas que se han estudiado han estado compuestas por números, por ejemplo, la serie $1+ \frac{1}{8}+\frac{1}{27}+\frac{1}{64}+\cdots +\frac{1}{n^3}+\cdots =\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$ . Existe un tipo importante de series infinitas que utiliza potencias integrales no negativas de una variable como una forma de representar una función. Determinar si este tipo de serie infinita se puede usar para este propósito dependerá de... ¡adivinaste!... si la serie converge para los valores de la variable que es el dominio previsto de la función. Afortunadamente, sabes cómo determinar la convergencia de una serie y deberías ser capaz de encontrar la validez de usar una serie particular. Bueno, antes de avanzar más en esta sección, ¿puedes determinar si la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{k-1}\left(\frac{x}{3}\right)^{2(k-1)}$ se puede usar para evaluar la función relacionada con $x=2$ ? ¿Puedes determinar la función que representa esta serie?

Como un repaso de las secciones anteriores, supone que te dan la serie infinita $\sum\limits_{n=1}^\infty 1.5 x^{n-1}$ , donde $x$ es una variable real, y te dicen que puede ser una serie de términos positivos o una serie alternada; y que puede tener convergencia absoluta o ser divergente. Además, te dicen que esta serie infinita puede ser la representación de una función $f(x)$ . Usando lo que has aprendido sobre series infinitas en las secciones, ¿puedes determinar si estas afirmaciones son verdaderas o falsas?

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Orientación

La serie de potencias es un tipo muy importante de serie infinita donde los términos contienen potencias de una variable.

Definición: Serie de Potencias

Una serie de potencias es una serie de la forma general:

$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\ldots$

(Llamada una serie de potencias centradas en $x_0$ )

Donde $x$ es una variable, $x_0$ es una constante real, y $a_n$ son constantes llamadas coeficientes de la serie.

En $x_0=0$ , la representación de la serie de potencias resulta en:

$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots$

Las series de potencias son una generalización de polinomios, con muchos términos infinitos. Como se nota, los exponentes,, $n$ , son no negativos, así que no hay exponentes integrales no negativos de $x$ , por ejemplo, $\frac{1}{x}$ no aparece en una serie de potencias.

Las series de potencias son muy útiles, como exploraremos en una sección posterior, ya que aproximan funciones en una forma en la que es más fácil y útil para realizar cálculos. Por ejemplo, la función $f(x)=e^x$ se puede representar con la serie $f(x)=e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ para cualquier $x$ . Esta representación de series de potencias abre la posibilidad de aproximar $f(x)=e^x$ a un número finito de términos de la serie, permite o usar la serie para evaluar integrales difíciles, por ejemplo $\int x^4e^xdx$ al remplazar la función por una serie parcial cuando solo se requiere una aproximación.

Para que sea útil una serie de potencias, una de las cosas que necesitamos saber es en qué valor(es) de $x$ la serie converge o diverge. Afortunadamente, sabes cómo evaluar la convergencia o divergencia de series.

Ejemplo A

¿Es la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ convergente?

Solución:

Debido a que la serie $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ puede ser una serie de términos positivos o una serie alternada dependiendo del valor de $x$ , usa una prueba de serie de términos positivos y negativos para determinar convergencia. Intenta la Prueba de Razón para convergencia absoluta.

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{a^{n+1}x^{n+1}}{a^nx^n}\right| &=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}}\right|\\&=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{x^{n+1}}{x^n}\frac{n!}{(n+1)!}\right|\\&=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{x}{n+1}\right|\\&=x\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{1}{n+1}\right|\\&=x\cdot 0=0<1$

La serie $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$ tiene convergencia absoluta para todos los valores de $x$ , es decir, $-\infty < x< \infty$ .

Observemos un ejemplo de una serie con un rango más restringido de $x$ para convergencia

Ejemplo B

La serie $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n^2}$ ¿converge o diverge?

Solución:

Debido a que la serie $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n^2}$ puede ser una serie de términos positivos o una serie alternada dependiendo del valor de $x$ , usa una prueba de serie de términos positivos y negativos para determinar convergencia. Intenta la Prueba de Razón para convergencia absoluta.

Establezcamos $b_n=\frac{x^n}{n^2}$ .

Entonces,

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| &=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)^2}\cdot \frac{n^2}{x^n}\right|\\&=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left|\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^2 x\right|\\&=|x|$

Según la Prueba de Razón, la serie es:

convergente absoluta para $|x|<1$ , es decir, en el intervalo abierto $-1 < x < 1$ ; y
divergente para $|x|>1$ .

Pero, ¿qué sucede en los extremos?

Si $x=\pm 1$ , entonces la serie $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n^2}$ se vuelve la serie $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}$ o $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}$ , ambas de las cuales son series $p$ convergentes absolutas con $p=2$ .

Por lo tanto, la serie $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n^2}$ tiene convergencia absoluta para $|x|\le 1$ , es decir, el intervalo cerrado $-1 \le x\le 1$ .

El Radio e Intervalo de Convergencia de una Serie de Potencias

En los ejemplos anteriores, el valor de $x$ determina si la serie de potencias es convergente o divergente. La convergencia puede ocurrir en un intervalo de $x$ que puede ser abierto o cerrado.

Estas ideas se resumen como se muestra a continuación:

Teorema: Convergencia de una Serie de Potencias

Establece $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$ como una serie de potencias centrada en $x_0$ .

Entonces, exactamente uno de los tres casos siguientes describe todos los valores de $x$ donde la serie es convergente:

Caso 1. La serie converge solo a $x=x_0$ .

Caso 2. La serie tiene convergencia absoluta para toda $x$ .

Caso 3. Existe un número real $R_c>0$ tal que la serie tiene convergencia absoluta si $|x-x_0| < R_c$ y es divergente si $|x-x_0|>R_c$ .

Nota: $|x-x_0|< R_c$ quiere decir el intervalo abierto $(x_0-R_c)< x< (x_0+R_c)$ . El teorema no puede confirmar lo que sucede en los extremos $x=x_0\pm R_c$ ; eso se debe determinar de manera separada.

En el teorema anterior, el número $R_c$ es llamado el radio de convergencia de la serie de potencias. El intervalo $x$ completo, donde la serie de potencias converge, recibe el nombre de intervalo de convergencia .

El Radio e Intervalo de Convergencia de una Serie de Potencias

Establece $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$ como una serie de potencias centrada en $x_0$ .

Entonces, exactamente uno de los tres casos siguientes describe la relación entre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia:

Caso	Radio de Convergencia	Intervalo de Convergencia
1. La serie converge solo a $x = x_0$ .	$R_c=0$	Un valor: $x_0$
2. La serie tiene convergencia absoluta para toda $x$ .	$R_c=\infty$	$(-\infty ,\infty )$
3. La serie tiene convergencia absoluta si $\|x-x_0\| < R_c$ , y diverge si $\|x-x_0\|>R_c$ .	$R_c>0$	$(x_0-R_c, x_0+R_c)$ , o $(x_0-R_c, x_0+R_c] ^$ , o $[x_0 - R_c, x_0+R_c)^$ , o $[x_0-R_c, x_0+R_c]^*$

* La convergencia en los extremos $x=x_0\pm R_c$ debe ser determinada de forma separada.

Para determinar el intervalo o radio de convergencia de una serie de potencias, debes aplicar una de las pruebas de convergencia aprendidas en secciones anteriores, y encontrar las condiciones en $x$ que comprueban la convergencia. .

Ejemplo C

Determina si la serie $\sum\limits_{n=0}^\infty (x-3)^n$ converge o diverge; si lo hace, encuentra el radio e intervalo de convergencia.

Solución:

Intenta la Prueba de Raíz $n$ -ésima para convergencia absoluta.

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|(x-3)^n|}} &=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}|(x-3)|\\&=|(x-3)|$

La serie tendrá convergencia absoluta si $|(x-3)|<1$ , y será divergente si $|(x-3)|>1$ .

$|(x-3)|<1$ significa un radio de convergencia $R_c=1$ sobre un intervalo de convergencia de $2 < x < 4$ .

Para determinar si los extremos necesitan ser incluidos, observa los extremos de la serie:

En $x=2$ : $\sum\limits_{n=0}^\infty (2-3)^n = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n$ que tiene divergencia absoluta, no satisface las condiciones de la Prueba de Series Alternadas, o se fija en un único límite de la suma parcial. Este extremo no produce convergencia.

En $x=3$ : La misma condición anterior: Este extremo no produce convergencia.

Por lo tanto, la serie $\sum\limits_{n=0}^\infty (x-3)^n$ tiene un radio de convergencia $R_c=1$ sobre un intervalo de convergencia de $2 < x < 4$ .

Análisis del Problema de la Sección

¿Puedes determinar si la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{k-1}\left(\frac{x}{3}\right)^{2(k-1)}$ se puede usar para evaluar la función relacionada a $x=2$ ?¿Puedes determinar la función que representa esta serie?

La serie se puede reescribir como: $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{k-1}\left(\frac{x}{3}\right)^{2(k-1)} = \sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{x^2}{9}\right)^{k-1}$ . Esta es una serie geométrica con $a=1$ y $r=-\frac{x^2}{9}$ . La serie tendrá convergencia absoluta (produce resultados significativos) siempre y cuando $|r|=\left|-\frac{x^2}{9}\right|=\frac{x^2}{9}<1$ , lo que significa que $-3 < x < 3$ . Debido a que $x=2$ se encuentra dentro del intervalo de convergencia, la serie se puede evaluar en $x=2$ .

Pero, ¿qué función será evaluada? Bueno $\sum\limits_{n=1}^\infty \left(-\frac{x^2}{9}\right)^{k-1}=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\left(-\frac{x^2}{9}\right)}=\frac{9}{9+x^2}$ .

Por lo tanto, $f(x)=\frac{9}{9+x^2}$ , y $f(2)=\frac{9}{9+2^2}=\frac{9}{13}$ .

Vocabulario

El intervalo de convergencia de una serie de potencias en la variable $x$ es el intervalo de $x$ en el que la serie de potencias converge. El intervalo puede o no incluir ambos extremos.

El radio de convergencia de una serie de potencias es la mitad de la magnitud del tamaño del intervalo de convergencia.

Práctica Guiada

Determina si la serie $\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)^2(x+4.5)^n$ converge o diverge; si lo hace, encuentra el radio e intervalo de convergencia.

Solución:

Intenta la Prueba de Raíz $n$ -ésima para convergencia absoluta.

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{|(n+1)^2(x+4.5)^n|} &= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left|(n+1)^{\frac{2}{n}}(x+4.5)\right|\\&=|(x+4.5)| \lim\limits_{n\rightarrow \infty}(n+1)^{\frac{2}{n}} && \ldots \text{Let } y=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(n+1)^{\frac{2}{n}}, \text{then}\\& && \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\ln y= \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left[\frac{2\ln (n+1)}{n}\right]\\& && \qquad \quad \ \ = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left[\frac{\frac{2}{ (n+1)}}{1}\right] = 0.\\& && \text{Therefore, } y=e^0=1= \lim\limits_{n\rightarrow \infty} (n+1)^{\frac{2}{n}}.\\&=|(x+4.5)|$

La serie tendrá convergencia absoluta si $|(x+4.5)|<1$ , y será divergente si $|(x+4.5)|>1$ .

$|(x+4.5)|<1$ lo que significa un radio de convergencia $R_c=1$ sobre un intervalo de convergencia de $-5.5 < x <-3.5$ .

Para determinar si los extremos necesitan ser incluidos en el intervalo de convergencia, observa los extremos de la serie:

En $x=-5.5$ : $\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)^2(-5.5+4.5)^n = \sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)^2(-1)^n$ que tiene divergencia absoluta, no satisface las condiciones de la Prueba de Series Alternadas, pero es divergente según la prueba de divergencia del término $n$ -ésimo. El extremo no produce convergencia.

En $x=-3.5$ : $\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)^2(-3.5+4.5)^n = \sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)^2$ diverge. Este extremo no produce convergencia.

Por lo tanto, la serie $\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)^2(x+4.5)^n$ tiene un radio de convergencia $R_c=1$ sobre un intervalo de convergencia de $-5.5 < x < -3.5$ .

Práctica

1. $\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n$

2. $\sum\limits_{n=1}^\infty n!x^n$

3. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n x^n}{n}$

4. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{\frac{n}{3}}}{n!}$

5. $\sum\limits_{n=1}^\infty \sqrt{n}(x-x_0)^n$

6. Dado que $\sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n$ converge a $x=5$ y diverge a $x=-7$ , deduce (cuando sea posible) la convergencia o divergencia de estas series:

$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n$
$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n 3^n$
$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(-8)^n$
$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n 9^n$
$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n 6^n$

7. $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n(x+4)^n}{5^{n+1}}$

8. $\sum\limits_{n=1}^\infty 3^n (x-2)^n$

9. $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n(x+4)^n$

10. $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n!x^n}{2^n}$

11. $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(2x)^n}{n^2}$

12. $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{4n^2+3}$

13. $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{4^n x^{2n}}{n+3}$

14. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{5^n(x-3)^n}{n4^n}$

15. $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n(x+1)^{2n}}{7^n}$

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