Series de Potencias: Representación de Funciones y Operaciones

Objetivos

En esta sección, aprenderás cómo algunas funciones se pueden representar con series de potencias, y cómo se realizan operaciones como adición, multiplicación y división en dos series de potencias.

Concepto

En la sección anterior, la serie geométrica fue usada como un marco para mostrar cómo algunas funciones podrían ser representadas como series de potencias al remplazar la razón común $r$ por una expresión variable. El dominio aplicable de representación de las series de potencias es el intervalo de convergencia. Si se realizan operaciones como suma y multiplicación en dos series, o diferenciación, y las operaciones integradoras son realizadas en una sola serie, ¿qué se puede decir sobre el dominio (intervalo de convergencia) de la serie resultante y sobre el radio de convergencia? Supone que estás trabajando con las dos siguientes series y necesitas encontrar su suma: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} x^n=\frac{1}{1-x}$ y $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3} x \right)^n=\frac{1}{1- \left(\frac{x}{3} \right)}$ Antes de seguir con esta sección, ¿puedes determinar el dominio de la suma de las dos series y cómo se comparan?

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http://www.youtube.com/watch?v=zCQuEN7TFNE - Sousa: Diferenciar e Integrar mediante el uso de Series de Potencias

Orientación

La serie de potencias es un tipo muy importante de serie infinita donde los términos contienen potencias de una variable. Recuerda la definición de la sección anterior:

Definición: Serie de Potencias

Una serie de potencias es una serie de la forma general:

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+ \ldots$

(Llamada una serie de potencias centradas en $x_0$ )

donde $x$ es una variable, $x_0$ es una constante real, y $a_n$ son constantes llamadas coeficientes de la serie.

En $x_0=0$ , la representación de la serie de potencias resulta en:

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+ \ldots$

En esta sección, se abordarán los siguientes temas:

Introducción sobre cómo una serie de potencias se puede usar para representar una función
Cómo una serie de potencias se puede diferenciar o integrar
Sumatorias (diferencias), productos y cocientes de dos series de potencias

Representación de Funciones mediante Series de Potencias

La serie de potencias $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ es una serie infinita y luce como una función de $x$ . Una manera fácil de ilustrar la idea de una serie de potencias que representa una función es usar una serie geométrica como ejemplo.

La serie geométrica tiene la forma : $\sum\limits_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} ar^n=a+ar+ar^2+ar^3+ \dots$ .

Recuerda que existe un valor único para $\sum\limits_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$ , de $\frac{a}{1-r}$ , solo si $|r| < 1$ ; explicado de otra forma, para $|r| > 1$ no existe valor para la sumatoria infinita, es divergente. Estas son las características de convergencia y divergencia de una serie geométrica.

Ahora, al remplazar $r$ en $\sum\limits_{n=0}^{\infty} ar^n$ con la variable $x$ , se crea la serie de potencias $\sum\limits_{n=0}^{\infty} ax^n$ con cada $a_n=a$ . Sin embargo, existe un único valor finito para $\sum\limits_{n=0}^{\infty} ax^n$ solo si $|x| < 1$ . El valor único es $\frac{a}{1-x}$ , y podemos escribir: $f(x)=\frac{a}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} ax^n$ para el dominio $|x| < 1$ .

Ejemplo A

Encuentra la función representada por las siguientes series infinitas y establece el dominio:

1. $\sum\limits_{n=0}^{\infty} 3x^{2n}$

2. $\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2 \left[\frac{1}{3}(x-1) \right]^n$

Solución:

1. $\sum\limits_{n=0}^{\infty} 3x^{2n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} 3(x^2)^n$ es una serie geométrica con $a=3$ y $r=x^2$ .

La serie converge si $|r|=x^2 < 1$ , es decir, el intervalo de convergencia es $(-1, 1)$ .

En $(-1, 1)$ , la serie tiene la suma $\sum\limits_{n=0}^{\infty} 3(x^2)^n=\frac{3}{1-x^2}$ .

Por lo tanto, $f(x)=\frac{3}{1-x^2}$ en el dominio $(-1, 1)$ . La serie no representa esta función fuera del dominio, porque la serie es divergente.

2. $\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2 \left[\frac{1}{3}(x-1) \right]^n$ es una serie geométrica con $a=2$ y $r= \frac{1}{3}(x-1)$ .

La serie converge si $|r|=\Big|\frac{1}{3}(x-1) \Big| < 1$ , es decir, el intervalo de convergencia es $(-2, 4)$ .

En $(-2, 4)$ , la serie tiene la suma $\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2 \left[\frac{1}{3}(x-1) \right]^n=\frac{2}{1- \frac{1}{3}(x-1)}=\frac{6}{4-x}$ .

Por lo tanto, $f(x)=\frac{6}{4-x}$ en el dominio $(-2, 4)$ . La serie no representa esta función fuera del dominio, porque la serie es divergente.

Existen muchas funciones que pueden ser representadas por series de potencias y, en la siguiente sección, abordaremos el tema de cómo generarlas. A continuación, hay una lista de funciones comunes, sus formas de series de potencias, y su dominio de aplicación (intervalo de convergencia).

Series de Potencias	Intervalo de Convergencia
$\sin x= \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x- \frac{x^3}{3 !}+ \frac{x^5}{5 !}- \frac{x^7}{7 !}+ \cdots$	$(- \infty, \infty)$
$\cos x= \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}=1- \frac{x^2}{2 !}+ \frac{x^4}{4 !}- \frac{x^6}{6 !}+ \cdots$	$(- \infty, \infty)$
$e^x= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !} =1+x+ \frac{x^2}{2 !}+ \frac{x^3}{3 !}+ \cdots$	$(- \infty, \infty)$
$\ln (1+x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}=x- \frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{3}- \frac{x^4}{4}+ \cdots$	$(-1,1]$
$\arcsin x=\sin^{-1}x=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)! x^{2n+1}}{2^{2n}(n !)^2(2n+1)}$	$[-1,1]$
$\arctan x=\tan^{-1}x=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$	$(-1,1)$
$\sinh x=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$(- \infty, \infty)$
$\cosh x=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$	$(- \infty, \infty)$

Diferenciación e Integración de Series de Potencias

Una vez que generamos una representación de series de potencias de una función, un asunto importante es cómo manejar la diferenciación e integración de las series. Esperamos alcanzar los mismos resultados con diferenciación o integración directa de la función explícita. En el siguiente teorema, se resumen las reglas que se deberían usar para diferenciar e integrar una serie de potencias:

Teorema: Diferenciación e Integración de Series de Potencias

Supone que la serie de potencias $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$ tiene un radio de convergencia $R_c$ .

Entonces, la función definida por $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$ es:

1. Diferenciable para $|x-x_0| < R_c$ , es decir, en $(x_0-R_c, x_0+R_c)$ , y $f^\prime (x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} na_n(x-x_0)^{n-1}$ .

Es decir, $\frac{d}{dx} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{d}{dx} [a_n(x-x_0)^n]$

2. Integrable para $|x-x_0| < R_c$ , y $\int f(x) dx=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{a_n(x-x_0)^{n+1}}{n+1}+C$ .

Es decir, $\int \sum\limits_{n=0}^{\infty} (a_n x^n)dx= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \int (a_n x^n)dx$

Tanto la derivada como la integral anterior tienen el mismo radio de convergencia $R_c$ .

Nota: Aunque la serie de potencias, su derivada, y su integral tienen el mismo radio de convergencia, los extremos del intervalo de convergencia podrían ser diferentes.

Ejemplo B

Encuentra una serie de potencias para cada una de las funciones y su radio de convergencia:

1. $g(x)=\frac{1}{(1-x)^2}$

2. $h(x)=\tan^{-1} x$

Solución:

1. Deberías reconocer que $g(x)=\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1-x} \right)=\frac{d}{dx} \left(\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n \right)$ . El radio de convergencia de una serie de potencias $\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n$ es $R_c=1$ , con intervalo de convergencia $-1 < x < 1$ .

Según el anterior teorema de diferenciación (1),

$g(x)=\frac{d}{dx} \sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}$ , y tiene un radio de convergencia $R_c=1$ . El intervalo de convergencia también es $-1 < x < 1$ .

2. Reconocemos $h(x)=\tan^{-1} x=\int \frac{1}{1+x^2}dx=\int \left[\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} \right]dx$ , es decir, $h(x)$ es la antiderivada de $\frac{1}{1+x^2}$ que se puede representar con una serie de potencias con $R_c=1$ , y el intervalo de convergencia $-1 < x < 1$ .

Según el anterior teorema de integración (2),

$h(x)=\tan^{-1} x=\int \left[\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} \right]dx=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} dx=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}+C$ y tiene un radio de convergencia $R_c=1$ .

Entonces $C=\tan^{-1} 0=0$ y $h(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ .

Se puede demostrar que el intervalo de convergencia de $h(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ es $-1 \le x \le 1$ , es decir, la serie converge en los extremos

Sumas (diferencias), Productos y Cocientes de Series de Potencias

Los siguientes teoremas proporcionan una guía de cómo manejar operaciones aritméticas en series de potencias.

Teoremas sobre Operaciones en Series de Potencias

Dadas las dos series de potencias $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ y $g(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n x^n$ con radios de convergencia $R_f$ y $R_g$ respectivamente, entonces se sostienen las siguientes propiedades:

1. La suma de las dos series está dada por: $f(x)+g(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n)x^n$ , con $|x| < R$ , donde $R=\min(R_f, R_g)$ .

Nota: La diferencia de dos series se puede considerar su suma con un cambio en el signo para $b_n$ .

2. El producto de las dos series está dada por: $f(x) \cdot g(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n x^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \left(\sum\limits_{n=0}^{n} a_k b_{n-k} \right)x^n$ , con $|x| < R$ , donde $R=\min(R_f, R_g)$ .

3. El cociente de las dos series está dada por: $\frac{f(x)}{g(x)}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n x^n$ , con $|x| < R^\prime$ , donde $R^\prime=\min(R_f, R_g, x_{zero})$ y $x_{zero}$ es el cero de $g(x)$ más cercano a $x=0$ .

$c_n$ es determinado frecuentemente $(b_0 \ne 0)$ : $c_0=\frac{a_0}{b_0}$ , $c_n=\frac{1}{b_0} \left[a_n- \sum\limits_{k=1}^n b_k c_{n-k} \right] n=1, 2, 3 \ldots$

Observemos un ejemplo del producto de una serie.

Ejemplo C

Encuentra una serie de potencias para la función $\frac{1}{(1-x)(1-2x)}$ .

Solución:

Vemos que $\frac{1}{(1-x)(1-2x)}=\frac{1}{1-x} \cdot \frac{1}{1-2x}$ , y cada factor tiene las siguientes representaciones de series de potencias:

$\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n$ con radio de convergencia $R_c=1$ , e intervalo de convergencia $-1 < x < 1$ ; y $\frac{1}{1-2x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (2x)^n$ con radio de convergencia $R_c=\frac{1}{2}$ , e intervalo de convergencia $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ .

Según el anterior teorema de productos, el radio de convergencia del producto es $R=\min \left(1, \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2}$ .

Así que para $|x| < \frac{1}{2}$ ,

$\frac{1}{(1-x)(1-2x)} &=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty}(2x)^n \\&=(1+x+x^2+ \ldots)(1+2x+4x^2+ \ldots) \\&=1+3x+7x^2+15x^3+ \ldots && \ldots \text{By the above product Theorem algorithm}. \\&=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (2^{n+1}-1)x^n.$

Análisis del Problema de la Sección

Supone que estás trabajando con las dos siguientes series y necesitas encontrar su suma: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} x^n=\frac{1}{1-x}$ y $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3} x \right)^n=\frac{1}{1-\left(\frac{x}{3} \right)}$ Antes de seguir con esta sección, ¿puedes determinar el dominio de la suma de las dos series y cómo se comparan?

¿Fuiste capaz de encontrar una respuesta?

La serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty} x^n=\frac{1}{1-x}$ es como una serie geométrica con $r=x$ con $|r|=|x| < 1$ ; $R_c=1$ .

La serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3} x \right)^n=\frac{1}{1- (\frac{x}{3})}$ es como una serie geométrica $r=\frac{x}{3}$ con $|r|=|\frac{x}{3}| < 1$ ; $R_c=3$ .

La suma de las dos series es $\sum\limits_{n=1}^{\infty} x^n+ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3} x \right)^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[1+ \left(\frac{1}{3} \right)^n \right] x^n$ . La Prueba de Razón se puede usar para demostrar la condición de convergencia:

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n \to \infty} \Bigg|\frac{\left[1+ \left(\frac{1}{3} \right)^{n+1} \right]x^{n+1}}{\left[1+ \left(\frac{1}{3} \right)^{n} \right]x^{n}} \Bigg|=\lim\limits_{n \to \infty}|x|$ . Esto significa que la convergencia ocurre para $|x| < 1$ , y $R_c=1$ . El intervalo de convergencia para la suma es la serie más pequeña de las dos. ¡Esto es consistente con el teorema presentado en esta sección!

Vocabulario

El intervalo de convergencia de una serie de potencias en la variable $x$ es el intervalo de $x$ en el que la serie de potencias converge. El intervalo puede o no incluir ambos extremos.

El radio de convergencia de una serie de potencias es la mitad de la magnitud del tamaño del intervalo de convergencia.

Práctica Guiada

Encuentra la representación de serie de potencias para:

1. $f(x)=\frac{20 x^2}{25+9 x^2}$

2. $f^\prime (x)$

Solución:

1. $f(x)=\frac{20 x^2}{25+9 x^2}=\frac{20 x^2}{25} \cdot \frac{1}{1-(- \frac{9 x^2}{25})}$ , y

$\frac{1}{1+ \frac{9 x^2}{25}} &=\frac{a}{1-r} && \ldots \frac{a}{1-r}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} \ \text{for a geometric series with} \ |r| < 1. \\&=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(- \frac{9 x^2}{25} \right)^{n-1} && \ldots \bigg|- \frac{9 x^2}{25} \bigg| < 1 \Rightarrow |x| < \frac{5}{3}, \ \text{and} \ R_c=\frac{5}{3}. \\&=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \left(- \frac{9 x^2}{25} \right)^n \\&=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{9}{25} \right)^n x^{2n}$

Por lo tanto $f(x)=\frac{20 x^2}{25} \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{9}{25} \right)^n x^{2n}$ , o $f(x)=\frac{20}{9} \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{9}{25} \right)^{n+1} x^{2(n+1)}$ .

2. $f^\prime (x)$ también tiene $R_c=\frac{5}{3}$ .

$\frac{d}{dx}f(x) &=\frac{d}{dx} \left[\frac{20}{9} \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{9}{25} \right)^{n+1} x^{2(n+1)} \right] \\&=\left[\frac{20}{9} \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{9}{25} \right)^{n+1} \frac{d}{dx} x^{2(n+1)} \right] \\&=\left[\frac{40}{9} \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{9}{25} \right)^{n+1} (n+1)x^{2n+1} \right]$

Por lo tanto $f^\prime x=\left[\frac{40}{9} \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{9}{25} \right)^{n+1} (n+1)x^{2n+1} \right]$ , y una comprobación de extremos demuestra que $|x| < \frac{5}{3}$ .

Práctica

1. Encuentra una función, si es posible, representada por la serie $\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^n x^{2^n}$ .

Encuentra una serie de potencias y el radio de convergencia de las siguientes funciones:

2. $\frac{x}{2-x}$

3. $\frac{1}{(1-x)^2}$

4. $\frac{x^2}{(1-x)^3}$

5. $\frac{2x}{(1-x)^3}+ \frac{3x^2}{(1-x)^4}$

6. $\frac{12 x}{7-2 x^2}$

7. $\ln (1+x^2)$

8. $\int \tan^{-1} xdx$

9. $\ln (1+x+x^2)$ en $x+ \frac{1}{2}$

10. $\int x^2 e^x dx$ [Pista: usa la representación para $e^x$ ]

11. Encuentra una serie de potencias para $\frac{1}{(1-rx)(1-sx)}$ donde $r$ , $s > 0$ son números reales y

$r \ne s$
$r=s$

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