Introducción a las Series de Taylor y Maclaurin

Objetivos

En esta sección, aprenderás cómo determinar una representación única para una función centrada en una serie de potencias.

Concepto

En la sección anterior, se representó una función conocida en una forma similar a la suma de una serie geométrica infinita convergente $\left(S=\frac{a}{1-r}\right)$ , con una serie de potencias, por ejemplo, $y=\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{k=0}^\infty x^n, |x|<1$ . ¿Qué pasaría si la función no fuera similar a la forma $S=\frac{a}{1-r}$ ? Para ver cómo una función, diferenciable infinitamente en algún intervalo, podría ser representada por una serie de potencias, intenta determinar los coeficientes de la serie $a_n$ para $f(x)=e^x=\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n$ al evaluar la serie y cuatro de sus derivadas en $x=0$ . ¿Puedes determinar la relación que existe entre los valores de $a_n$ y $f^{(n)}(x=0)$ ? Esa relación es el tema de esta sección.

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http://www.youtube.com/watch?v=cwpJxfHkR1o - Sousa: Series de Taylor y Maclaurin

Orientación

En la sección anterior, se usó la serie geométrica como un modelo para crear series de potencias útiles para representar ciertas funciones en el intervalo de convergencia. El siguiente teorema presenta un acercamiento más general para crear una representación de serie de potencias:

Teorema: Coeficiente de Series de Potencias para Representación de Funciones

Si la función $f(x)$ tiene una representación de serie de potencias en $x=x_0$ dada por

$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \ \text{for} \ |x-x_0| < R_c,$

entonces los coeficientes están dados por $a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$ , de forma que la representación de series de potencias $x=x_0$ tiene la forma:

$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n.$

Dado lo anterior, se distinguen dos formas de series de potencias:

Definición: Series de Taylor y Maclaurin

La representación de series de Taylor , $T(x)$ , de una función $f(x)$ en $x=x_0$ es la serie de potencias:

$T(x)&= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n \\&= f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x-x_0) +\frac{f^{{\prime}{\prime}}(x_0)}{2!} (x-x_0)^2+ \frac{f^{{\prime}{\prime}{\prime}}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+ \cdots$

La representación de series de Maclaurin , $M(x)$ , de una función $f(x)$ es la serie de Taylor para $x_0=0$ :

$M(x)&= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x_n \\&= f(0) + f^{\prime}(0)x+ \frac{f^{{\prime}{\prime}}(0)}{2!} x^2+ \frac{f^{{\prime}{\prime}{\prime}}(0)}{3!} x^3 + \cdots$

Ejemplo A

Encuentra la representación de series de potencias de $f(x)=\cos x$ en:

a. $x_0=0$

b. $x_0=\frac{\pi}{3}$

Solución:

a. La representación de serie de potencias de $f(x)=\cos x$ en $x=0$ es la serie de Maclaurin dada por $M(x)= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$ .

Algunos de los coeficientes de serie requeridos son:

$f^{(n)}(x)$	$f^{(n)}(x=0)$
$f(x)=\cos x$	1
$f^{\prime} (x)=-\sin x$	0
$f^{{\prime}{\prime}}(x)=-\cos x$	-1
$f^{{\prime}{\prime}{\prime}}(x)=\sin x$	0
$f^{(4)}(x)=\cos x$	1
$f^{(5)}(x)=-\sin x$	0

Nota que el patrón se repite cada 4 términos.

La serie Maclaurin de $f(x)=\cos x$ es:

$M(x)=1 -\frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 -\frac{1}{6!}x^6 + \frac{1}{8!}x^8 - \cdots =\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}.$

Esta es la misma representación de series de potencias introducidas en la sección anterior. Se llama representación de series de potencias de Maclaurin de $f(x)=\cos x$ .

b. La representación de serie de potencias de $f(x)=\cos x$ en $x=\frac{\pi}{3}$ es la serie de Taylor dada por $T(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_{0})^n$ .

Algunos de los coeficientes de serie requeridos son:

$f^{(n)}(x)$	$f^{(n)} \left(x=\frac{\pi}{3} \right)$
$f(x)=\cos x$	$\frac{1}{2}$
$f^{\prime}(x)=-\sin x$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$
$f^{\prime \prime}(x)=-\cos x$	$- \frac{1}{2}$
$f^{\prime \prime \prime}(x)=\sin x$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$f^{(4)}(x)=\cos x$	$\frac{1}{2}$
$f^{(5)}(x)=- \sin x$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

La serie de Taylor de $f(x)=\cos x$ centrada en $x=\frac{\pi}{3}$ es:

$T(x)=\frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2} \left(x- \frac{\pi}{3} \right) - \frac{1}{2} \frac{1}{2!} \left(x- \frac{\pi}{3} \right)^2 + \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{3!} \left(x - \frac{\pi}{3} \right)^3+\frac{1}{2} \frac{1}{4!}\left(x- \frac{\pi}{3} \right)^4 - \cdots$

Ejemplo B

Encuentra la representación de serie de potencias de $f(x)=\frac{1}{1-x}$ centrada en:

$x=0$
$x=2$

Solución:

a. La representación de serie de potencias de $f(x)=\frac{1}{1-x}$ en $x=0$ es la serie de Maclaurin dada por $M(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^n$ .

Algunos de los coeficientes de serie requeridos son:

$f^{(n)}(x)$	$f^{(n)}(x=0)$
$f(x)=\frac{1}{1-x}$	1
$f^\prime (x)=\frac{1}{(1-x)^2}$	1
$f^{\prime \prime}(x)=\frac{2}{(1-x)^3}$	2
$f^{\prime \prime \prime}(x)=\frac{6}{(1-x)^4}$	6
$f^{(4)}(x)=\frac{24}{(1-x)^5}$	24
$f^{(5)}(x)=- \sin x$	0

La serie Maclaurin de $f(x)=\frac{1}{1-x}$ es:

$M(x)=1+x+2 \frac{x^2}{2 !}+6 \frac{x^3}{3 !}+24 \frac{x^4}{4 !}+ \cdots =\sum_{n=0}^{\infty} x^n.$

Esta es la misma representación de series de potencias introducidas en la sección anterior. Es una serie geométrica.

b. La representación de serie de potencias de $f(x)=\frac{1}{1-x}$ en $x=2$ es la serie de Taylor dada por $T(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n !} (x-x_0)^n$ .

Algunos de los coeficientes de serie requeridos son:

$f^{(n)}(x)$	$f^{(n)}(x=2)$
$f(x)=\frac{1}{1-x}$	-1
$f^\prime (x)=\frac{1}{(1-x)^2}$	1
$f^{\prime \prime}(x)=\frac{2}{(1-x)^3}$	-2
$f^{\prime \prime \prime}(x)=\frac{6}{(1-x)^4}$	6
$f^{(4)}(x)=\frac{24}{(1-x)^5}$	-24

La serie de Taylor de $f(x)=\cos x$ centrada en $x=\frac{\pi}{3}$ es:

$T(x)=-1+(x-2)-2 \frac{1}{2 !}(x-2)^2+6 \frac{1}{3 !}(x-2)^3-24 \frac{1}{4 !}(x-2)^4+ \cdots =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} (x-2)^n$

Serie Común de Maclaurin

Existen muchas funciones que se pueden representar por series de potencias. A continuación, hay una lista de funciones comunes, sus formas de series de Maclaurin, y su dominio de aplicación (intervalo de convergencia).

Series de Potencias de Maclaurin	Intervalo de Convergencia
$\sin x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x- \frac{x^3}{3 !}+ \frac{x^5}{5 !}- \frac{x^7}{7 !}+ \cdots$	$(- \infty, \infty)$
$\cos x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}=1- \frac{x^2}{2 !}+ \frac{x^4}{4 !}- \frac{x^6}{6 !}+ \cdots$	$(- \infty, \infty)$
$e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !}=1+x+ \frac{x^2}{2 !}+ \frac{x^3}{3 !}+ \cdots$	$(- \infty, \infty)$
$\ln(1+x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}=x- \frac{x^2}{2 !}+ \frac{x^3}{3 !}- \frac{x^4}{4 !}+ \cdots$	$(-1,1]$
$\ln(1-x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1) \frac{x^{n+1}}{n+1}=-x- \frac{x^2}{2 !}- \frac{x^3}{3 !}- \frac{x^4}{4 !}+ \cdots$	$[-1,1)$
$\arcsin x= \sin^{-1}x=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)! x^{2n+1}}{2^{2n} (n !)^2(2n+1)}$	$[-1,1]$
$\arctan x= \tan^{-1}x=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$	$(-1, 1)$
$\sinh x=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$(- \infty, \infty)$
$\cosh x=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$	$(- \infty, \infty)$

Conocer la serie anterior frecuentemente puede simplificar la determinación de una representación de series de potencias para otra función.

Ejemplo C

Encuentra una representación de serie de potencias de la función $f(x)=x \sin x^3$ centrada en $x_0=0$ .

$f(x)= x \sin x^3$

Solución:

La serie $f(x)=x \sin x^3$ se puede anotar como el producto de $x$ y la serie de potencias por la función del seno, al usar el argumento $x^3$ en vez de $x$ .

$x \sin x^3 &=x \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{(x^3)^{2n+1}}{(2n+1)!} \\&=x \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{6n+3}}{(2n+1)!} \\&=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{6n+4}}{(2n+1)!}$

Análisis del Problema de la Sección

Ve si puedes determinar los coeficientes de serie $a_n$ para $f(x)=e^x=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n x^n$ al evaluar la serie y cuatro de sus derivadas en $x=0$ . ¿Puedes determinar la relación que existe entre los valores de $a_n$ y $f^{(n)}(x=0)$ ?

¿Fuiste capaz de resolver esto? Solo tienes que hacer una lista de los resultados:

$f(0) = e^0=1 &=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n=a_0 \Rightarrow a_0=f(0)=1,\\f^\prime (0) = e^0=1 &=\sum\limits_{n=1}^{\infty} na_n x^{n-1}=a_1 \Rightarrow a_1=\frac{f^\prime (0)}{1}=1,\\f^{\prime \prime} (0)=e^0=1 &=\sum\limits_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}=2a_2 \Rightarrow a_2=\frac{f^{\prime \prime} (0)}{2}=\frac{1}{2},\\f^{\prime \prime \prime} (0)=e^0=1 &= \sum\limits_{n=3}^{\infty} n(n-1)(n-2)a_n x^{n-3}=6a_3 \Rightarrow a_3=\frac{f^{\prime \prime \prime} (0)}{6}=\frac{1}{3 !},\\f^{(4)} (0)=e^0=1 &= \sum\limits_{n=4}^{\infty} n(n-1)(n-2)(n-3)a_n x^{n-4}=24a_4 \Rightarrow a_4=\frac{f^{(4)} (0)}{24}=\frac{1}{4 !}.$

¿Puedes ver el patrón? la función se puede escribir como:

$f(x)=e^x=\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n x^n=1+x+ \frac{1}{2 !}x^2+ \frac{1}{3 !}x^3+ \frac{1}{4}x^4+ \cdots =\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !}a_n$ . Así es cómo se generan las series de Maclaurin.

Vocabulario

Una serie de Taylor es una representación de serie de potencias de una función $f(x)$ en un punto $x=x_0$ , en la que los coeficientes de la serie son derivadas de la función en ese punto.

Una serie de Maclaurin es un caso particular de la serie de Taylor con $x=x_0=0$ .

Práctica Guiada

Encuentra las siguientes representaciones:

a. La serie de Taylor para $f(x)=e^{2x}$ centrada en $x=3$ .

b. La serie de Maclaurin para $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ (al usar series conocidas); compárala con la serie para $\cos x$ .

Solución:

a. La representación de la serie de Taylor es $T(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n !}(x-x_0)^n$ .

Aquí $x_0=3$ , y las derivadas tienen la forma:

$f^\prime (x) &=2e^{2x} \\f^{\prime \prime}(x) &=2^2 e^{2x} \\f^{\prime \prime \prime}(x) &=2^3 e^{2x} \\&\vdots \\f^{(n)}(x) &=2^n e^{2x}$

Por lo tanto,

$T(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{2^n e^6}{n !}(x-3)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{e^6}{n !} [2(x-3)]^n.$

b. Usar la serie de Maclaurin conocida para $e^x$ , da:

$\cosh x &=\frac{e^x+ e^{-x}}{2} \\&=\frac{1}{2} \left[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !}+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n !} \right] \\&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+(-1)^n}{2(n !)} x^n && =\frac{2}{2(0 !)} x^0+0 \cdot x^1+ \frac{2}{2(2 !)} x^2+0 \cdot x^3+ \frac{2}{2(4 !)}x^4+ \cdots \\&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Por lo tanto, $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=M(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ .

Por comparación, la serie para $\cos x$ es $\cos x=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ , que es una versión de serie alternada de $\cosh x$ .

Práctica

Encuentra una representación de serie de potencias para cada función centrada en la dada $x_0$ .

$f(x)=\sin x$ , $x_0=0$ .
$f(x)=\sin 2x$ , $x_0=0$ .
$f(x)=\tan x$ , $x_0=0$ (solo los primeros 4 términos)
$f(x)=\tan x$ , $x_0=\frac{\pi}{4}$ (solo los primeros 5 términos)
$f(x)=\sqrt{1+x}$
$\sqrt{1+x+x^2}$ at $x_0=- \frac{1}{2}$ (solo los primeros 4 términos)
$f(x)=\cos^2 x$ , $x_0=0$ . Pista: Usa $\cos^2 x=\frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \cos 2x$
$\frac{x}{e^x}$ , $x_0=0$
$e^{\cos x}$ , $x_0=0$
$(1+x)^{\alpha}$ , $\alpha$ una constante real; $x_0=0$
$\ln(3+9x)$ , $x_0=0$
Usa expansiones de series para evaluar $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin kx}{x}$
Expande $e^{-x} \cos x$ sobre $x=\frac{\pi}{2}$ .
Si $f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n(x-7)^{n+1}}{n !}$ , encuentra $f^{(6)}(7)$ .
Evalúa la integral indefinida $\int \frac{e^x -1}{x}dx$ como una serie infinita.

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