Polinomios de Taylor y Maclaurin: Error de Truncación de Series

Objetivos

En esta sección, aprenderás a usar polinomios en la forma de series de potencias de Taylor (Maclaurin) truncadas para aproximar funciones a una precisión especificada.

Concepto

Una de las mejores maneras de abordar esta sección es preguntarse: ¿cómo una calculadora computa funciones como $\sin x$ , $e^x$ , $\sqrt{x}$ , etc.? ¿Sabes la respuesta? ¿Existe una gran tabla de contenidos almacenada en la memoria que es usada? La respuesta está relacionada con el uso de series de potencias. ¿Sabes cómo calcular $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$ usando lo que has aprendido sobre series de potencias? Si es así, ¿cuán preciso es tu resultado? ¿Cómo solucionas el problema de que las series de potencias tienen un número infinito de términos? Ve si puedes contestar estas preguntas por ti mismo antes de seguir con esta sección.

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http://www.youtube.com/watch?v=DP_pGQaNGdw - James Sousa: Teorema de Taylor con Resto

La siguiente applet (programa) ilustra funciones aproximadas con series de Taylor. Puedes cambiar el centro de las series y también observar cómo el error cambia para la estimación de un valor particular de $x$ donde el error es $f(x)-T_n(x)$ . Applet de de Series de Taylor y Polinomios .

Orientación

Polinomios de Taylor y Maclaurin

Un polinomio de Taylor (Maclaurin) es un polinomio que resulta del truncamiento de una serie de potencias de Taylor (Maclaurin) a un grado específico $n$ . Podemos definir el polinomio de la siguiente manera:

Definición: Polinomios de Taylor y Maclaurin de $n$ -ésimo grado

El polinomio de Taylor de $n$ -ésimo grado $T_n(x)$ de una función $f(x)$ en $x=x_0$ es el polinomio formado al usar términos de la representación de series de Taylor, $T(x)$ , de la función:

$T_n(x)&=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\\&=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime\prime(x_0)}}{2!}(x-x_0)^2+\ldots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

El polinomio de Maclaurin de $n$ -ésimo grado $M_n(x)$ de una función $f(x)$ es el polinomio de Taylor de $n$ -ésimo grado para $x_0=0$ :

$M_n(x) &= \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\\&=f(0)+f^\prime(0)x+\frac{f^{\prime\prime (0)}}{2!}x^2+ \ldots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

Ejemplo A

Establezcamos $f(x)=\frac{x^3}{6}$ . ¿Cuáles son las tres primeras representaciones del polinomio de Taylor de $f(x)$ con $x_0=1$ ?

Solución:

Primero, evalúa la función y sus derivadas con $x_0=1$ :

$f(x) &= \frac{x^3}{6}\Rightarrow f(x_0 = 1)=\frac{1}{6}\\f^{\prime}(x) &=\frac{x^2}{2}\Rightarrow f^{\prime}(x_0=1)=\frac{1}{2}\\f^{\prime\prime}(x) &=x\Rightarrow f^{\prime\prime}(x_0=1)=1\\f^{\prime\prime\prime}(x) &=1\Rightarrow f^{\prime\prime\prime}(x_0=1)=1$

Luego, escribe los polinomios de Taylor:

$T_1(x) &=\sum^{1}_{k=0}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k = \frac{1}{6}+\frac{1}{2}(x-1) \\T_2(x) &=\sum^{2}_{k=0}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k = \frac{1}{6}+\frac{1}{2} \frac{(x-1)}{1}+\frac{(x-1)^2}{2} \\T_3(x) &=\sum^{3}_{k=0}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k = \frac{1}{6}+\frac{1}{2} \frac{(x-1)}{1}+\frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{2}=\frac{x^3}{6}=f(x)$

Ejemplo B

Establezcamos $f(x)=\sin x$ . ¿Cuál es la representación del polinomio de Maclaurin de tercer grado de $f(x)$ ?

Solución:

Primero, evalúa la función y sus derivadas con $x_0=0$ :

$f(x) &= \sin x \Rightarrow f(x_0=0)=\sin 0=0\\f^{\prime}(x) &= \cos x \Rightarrow f^{\prime}(x_0=0) =\cos 0=1\\f^{\prime\prime}(x) &= -\sin x \Rightarrow f^{\prime\prime}(x_0=0)=0\\f^{\prime\prime\prime}(x) &= -\cos x\Rightarrow f^{\prime \prime\prime}(x_0=0)=-1\\$

Luego, escribe el polinomio de Maclaurin:

$M_3(x) &=\sum^{3}_{k=0}\frac{f^{(k)}(0)}{k!} (x)^k = 0+1\frac{x}{1}+0\frac{x^2}{2}-1\frac{x^3}{6}\\M_3(x) &=\sum^{3}_{k=0}\frac{f^{(k)}(0)}{k!} (x)^k = x-\frac{x^3}{6}$

La siguiente figura muestra la función $f(x) = \sin x$ , y los polinomios de Maclaurin de grado 1 y 3. Como puedes ver, los polinomios calzan mejor cerca del centro $x=0$ , y tienen más errores en la parte más alejada del centro.

Resto y Error de Truncación de las Series de Taylor (Maclaurin)

El uso de los polinomios de Taylor (Maclaurin) de grado $n$ para representar una función generalmente puede proporcionar un método más fácil para evaluar la función. Sin embargo, el asunto es cuánto error es asociado a aproximar la función mediante el uso de un polinomio. Nos gustaría saber cómo determinar la magnitud de la diferencia entre la función y la aproximación del polinomio con un valor específico.

Recuerda que el resto $R_n(x)$ del polinomio de Taylor de grado $n$ en $x=x_0$ está dado por $R_n(x)=f(x)-T_n(x)$ .

Afortunadamente, el siguiente teorema nos brinda algo de información sobre el resto o error de truncación.

Estimación de Resto de Polinomios de Taylor (Maclaurin)

Si la función $f(x)$ tiene derivadas $n+1$ para cada punto en el intervalo $|x-x_0|\le r$ , y en el intervalo $\left|f^{(n+1)}(x)\right|\le M$ , entonces el polinomio de Taylor (Maclaurin) de grado $n$ tiene la siguiente brecha para el resto $R_n(x)$ :

$|R_n (x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1} \text{ for } |x-x_0|\le r.$

Lo anterior quiere decir que dada cualquier función diferenciable, podemos expandirla como polinomio en un punto dado. Si el error de truncación asociado es suficientemente pequeño, la expansión del polinomio a través de la serie de Taylor se transforma en una buena aproximación de la función.

Ejemplo C

Para la función $f(x)=\sqrt{1+x}$ :

1. ¿Cuál es el polinomio de Maclaurin de tercer grado para $|x| \le 0.1$ ?

2. ¿Cuál es el error de truncación?

Solución:

1. Primero, evalúa la función y sus primeras 4 derivadas con $x_0=0$ :

$f(x) &= \sqrt{1+x} \Rightarrow f(x_0=0)=1\\f^{\prime}(x) &= \frac{1}{2\sqrt{1+x}}\Rightarrow f^{\prime}(x_0=0)=\frac{1}{2}\\f^{\prime\prime}(x) &=-\frac{1}{4(1+x)^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow f^{\prime\prime}(x_0=0)=-\frac{1}{4}\\f^{\prime\prime\prime}(x) &=\frac{3}{8(1+x)^{\frac{5}{2}}} \Rightarrow f^{\prime\prime\prime}(x_0=0)= \frac{3}{8}\\f^{(4)}(x) &=-\frac{15}{16(1+x)^{\frac{7}{2}}} \Rightarrow f^{(4)}(x_0=0)=-\frac{15}{16}$

Luego, escribe el polinomio de Maclaurin:

$M_3(x)=\sum_{k=0}^{3}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}(x)^k=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{16}x^3$

La siguiente figura muestra la función $f(x)=\sqrt{1+x}$ , y los polinomios de Maclaurin de grado 1, 2 y 3. Como puedes ver, los polinomios calzan mejor cerca del centro $x=0$ , y tienen más errores en la parte más alejada del centro.

2. El error de truncación es $|R_n(x)|=|R_3(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x|^{n+1} = \frac{M}{4!} |x|^4$ para $|x| \le 0.1$ donde $\big | f^{(n+1)}(x) \big |= \big | f^{(4)}(x) \big |\le M$ .

El mayor valor de $f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16(1+x)^{\frac{7}{2}}}$ sobre el intervalo $|x| \le 0.1$ ocurre cuando $x=-0.1$ .

$\big |f^{(4)}(-0.1) \big |=\left|-\frac{15}{16(1-0.1)^{\frac{7}{2}}}\right| = 1.36=M.$

Por lo tanto, $|R_3(x)|\le \frac{1.36}{4!}|-0.1|^4 = 5.67 \times 10^{-6}$

Este es el error de truncación de aproximación del polinomio de Maclaurin de tercer grado.

Análisis del Problema de la Sección

¿Cómo una calculadora computa funciones como $\sin x$ , $e^x$ , $\sqrt{x}$ , etc.? ¿Sabes la respuesta? ¿Existe una gran tabla de contenidos almacenada en la memoria que es usada? La respuesta está relacionada con el uso de series de potencias. ¿Sabes cómo calcular $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$ usando lo que has aprendido sobre series de potencias? Si es así, ¿cuán preciso es tu resultado? ¿Cómo solucionas el problema de que las series de potencias tienen un número infinito de términos?

¿Fuiste capaz de responder alguna de estas preguntas? Existe un número de métodos que se pueden usar en una calculadora para computar algunas de las funciones que usamos todo el tiempo. Uno de los métodos es usar una serie de potencias truncadas apropiada para la función, es decir, simplemente usar un número finito de términos seleccionados para proporcionar una gran precisión. Sabemos, por ejemplo, que $\sin x$ puede representarse por la siguiente serie de potencias:

$\sin x = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$ , que es válido para toda $x(R_c=\infty)$ .

Supone que los tres primeros términos son usados para aproximar $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$ , entonces el estimado será: $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\approx x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}=0.5236-0.0239+0.0003=0.4994$ . Debido a que la respuesta exacta es 0,5 el resultado de la serie de potencias truncada subestima la respuesta correcta por $0.0006$ . Dependiendo de la aplicación, ¡este error podría perfectamente ser aceptable!

Vocabulario

Un polinomio de Taylor de grado $n$ es un polinomio que resulta del truncamiento de una serie de Taylor correspondiente para eliminar todos los términos que contengan una potencia mayor que la de un grado específico.

Un polinomio de Maclaurin de grado $n$ es un polinomio que resulta del truncamiento de una serie de Maclaurin correspondiente para eliminar todos los términos que contengan una potencia mayor que la de un grado específico.

Un error de truncación de serie es el error que resulta cuando se usa un polinomio de Taylor (Maclaurin) de grado $n$ para estimar una función.

Práctica Guiada

Para la función $f(x)=\tan x$ :

1. Encuentra el polinomio de Taylor de segundo grado en $x_0=\frac{\pi}{4}$ ;

2. Determina el error de truncación en el intervalo $\left|x-\frac{\pi}{4}\right|\le \frac{\pi}{8}$ .

Solución:

1. Primero, evalúa la función y sus primeras 3 derivadas con $x_0=\frac{\pi}{4}$ :

$f(x) &= \tan x \Rightarrow f \left(x_0=\frac{\pi}{4}\right)=1\\f^{\prime}(x) &= \sec^2 x \Rightarrow f^{\prime} \left(x_0=\frac{\pi}{4}\right)=2\\f^{\prime\prime}(x) &= 2\sec^2 x \tan x \Rightarrow f^{\prime\prime} \left(x_0=\frac{\pi}{4}\right)=4\\f^{\prime\prime\prime}(x) &= 4\sec^2 x \tan^2 x+ 2\sec^4 x \Rightarrow f^{\prime\prime\prime} \left(x_0=\frac{\pi}{4}\right)=16$

Luego, escribe el polinomio de Taylor:

$T_2(x) &=\sum_{k=0}^{2} \frac{f^{(k)}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{k!}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^k = 1+2 \left(x-\frac{\pi}{4}\right) + 4 \frac{\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^2}{2}\\T_2(x) &= 1+2 \left(x-\frac{\pi}{4}\right) + 2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^2$

La siguiente figura muestra la función $f(x)= \tan x$ , y la aproximación del polinomio de Maclaurin de grado 2. Como puedes ver, los polinomios calzan mejor cerca del centro $x=\frac{\pi}{4}$ , y tienen más errores en la parte más alejada del centro.

2. El error de truncación es $\left|R_n \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right| = \left|R_2 \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right| \le \frac{M}{(n+1)!} \left|\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{n+1} \right| = \frac{M}{3!} \left|\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^3\right|$ para $\left|x-\frac{\pi}{4}\right| \le \frac{\pi}{8}$ donde $\left|f^{(n+1)}(x)\right| = \left|f^{(3)}(x)\right| \le M$ .

El mayor valor de $f^{\prime\prime\prime}(x)=4\sec^2x \tan^2 +2\sec^4 x$ sobre el intervalo $\left|x-\frac{\pi}{4}\right| \le \frac{\pi}{8}$ ocurre cuando.

$\left|f^{\prime\prime\prime}\left(\frac{3\pi}{8}\right)\right| = \left|4 \sec^2 \left(\frac{3\pi}{8}\right) \tan^2 \left(\frac{3\pi}{8}\right)+ 2 \sec^4 \left(\frac{3\pi}{8}\right) \right| = 252.45 = M.$

Por lo tanto, $|R_2(x)| \le \frac{252.45}{3!} \left|\frac{3\pi}{8}-\frac{\pi}{4} \right|^4 =1.0006$

Este es el error de truncación de aproximación del polinomio de Taylor de segundo grado. Nota que el polinomio de segundo grado no es una buena aproximación, ya que $\tan \left(\frac{3\pi}{8}\right)=2.4$ el error de polinomio en $x=\frac{3\pi}{8}$ es 1,0006.

Práctica

En los ejercicio 1-6, encuentra la serie de Taylor de las siguientes funciones en la $x_0$ dada con el grado dado $n$ .

1. $f(x)=\sqrt{x}$ centrado en $x_0=1, n=2$ .

2. $f(x) = e^{3x}$ con $x=0, n=3$ .

3. $f(x) = \ln 4x$ con $x=1, n=4$ .

4. $f(x) = 1+x+x^2 +x^3 +x^4$ con $x=-1, n=4$ .

5. $f(x) = \frac{4}{3x - 7}$ , $|x|<\frac{7}{3}$ con $x=0, n=5$ .

6. $f(x) = \cos \left(\frac{2}{3}x\right)$ con $x=\frac{\pi}{2}, n=5$ .

7. Supone que $h(x)$ es una función con derivadas continuas y que: $h(5)=3$ , $h^{\prime}(5)=-2$ , $h^{\prime\prime}(x)=7$ , y $h^{\prime \prime \prime}(x) = -3$ .

¿Cuál es el grado de polinomio de Taylor $n=3$ para $h(x)$ centrada en $x=5$ ?
Usa el polinomio de Taylor para aproximar $h(4.8)$ .

8. ¿Cuál es el error de truncación al aproximar $f(x)=\sqrt{1+x}$ según su serie de Maclaurin de cuarto grado con $|x|\le 0.1$ .

9. Calcula el error $R_n$ cuando $e$ se estima por el polinomio $e^x \approx \sum\limits_{n=0}^{5}\frac{x^n}{n!}$ con $x=1$ .

10. Encuentra $n$ en la estimación de polinomio de Taylor de $e^x$ de forma que $R_n$ es menor que $10^{-3}$ en el intervalo $|x|\le 0.5$ .

11. Encuentra $n$ en la estimación de polinomio de Taylor de $e^x$ de forma que $R_n$ es menor que $10^{-6}$ en el intervalo $|x|\le 0.5$ .

12. Encuentra $n$ en la estimación de polinomio de Taylor de $e^x$ de forma que $R_n$ es menor que $10^{-6}$ en el intervalo $|x|\le 2$ .

13. Calcula el valor de $\sin (2 radians)$ usando un polinomio de Taylor de ^quinto grado centrado en:

$\frac{\pi}{2}$
0

Compara tus resultados con los de una calculadora; y computa la esperada $R_n$ .

14. Encuentra la serie de Taylor de $f(x) = e^{\left(x^5-x\right)}$ con $x=0, n=4$ .

15. Encuentra el valor menor de $n$ de forma que el polinomio de grado $n$ $\ln (1+x)$ centrado en $x=0$ aproxima el $\ln(2)$ con un error de no más de $0.01$ .

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