Cálculos de Series de Taylor: Escoger Centros

Objetivos

En esta sección, practicarás escoger el centro para una representación de series de Taylor (polinomio) de una función para obtener una evaluación precisa.

Conceptos

Dos investigadores que discuten un plan de alguna información sobre un experimento descubren que los datos de interés seguían la función $f(x)=\frac{1}{x}$ en la proximidad de $x=200$ , pero ese análisis sería más sencillo si usaran una serie de potencias de 2 ^do grado para representar la información. Los investigadores concordaron que la función no tenía una representación de serie Maclaurin, pero podía ser representada por un polinomio de Taylor de 2 ^do grado con centro en 200. Cuando observaron el polinomio de Taylor resultante, se dieron cuenta de que era equivalente a la serie de Maclaurin de una función diferente, pero relacionada. ¿Sabes por qué $f(x)=\frac{1}{x}$ no se puede representar con una serie de Maclaurin? ¿Qué es el polinomio de Taylor de 2 ^do grado con centro en 200? ¿Cuál podría ser la función relacionada que tiene una serie de Maclaurin equivalente?

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http://www.youtube.com/watch?v=cwpJxfHkR1o - Sousa: Series de Taylor y Maclaurin

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http://www.youtube.com/watch?v=lShzrGyiueg - James Sousa: Usar Polinomios de Taylor para Aproximar Funciones

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http://www.youtube.com/watch?v=DP_pGQaNGdw - James Sousa: Teorema de Taylor con Resto

Orientación

Recuerda la definición de una serie de Taylor (Maclaurin):

Definición: Series de Taylor y Maclaurin

En una función $f(x)$ que es diferenciable en $x=x_0$ , la representación de serie de Taylor $f(x)$ centrada en $x=x_0$ es la serie de potencias:

$T(x) & =\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\\& = f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\ldots$

La representación de la serie de Maclaurin , de $f(x)$ es la serie de Taylor centrada en $x_0=0$ :

$M(x)& =\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\\& = f(0)+f^\prime(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x^3+\ldots$

Nuevamente, a continuación, se muestra la serie de Maclurin para algunas funciones utilizadas comúnmente:

Series de Potencias de Maclaurin	Intervalo de Convergencia
$\sin x=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$	$(-\infty,\infty)$
$\cos x=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$	$(-\infty,\infty)$
$e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$	$(-\infty,\infty)$
$\ln(1+x)=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$	$(-1,1]$
$\ln(1-x)=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)\frac{x^{n+1}}{n+1}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$	$[-1,1)$
$\arcsin x=\sin^{-1}x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(2n)!x^{2n+1}}{2^{2n}(n!)^2(2n+1)}$	$[-1,1]$
$\arctan x=\tan^{-1}x=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$	$(-1,1)$
$\sinh x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$(-\infty,\infty)$
$\cosh x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}$	$(-\infty,\infty)$

Una función diferenciable se puede representar con la serie de Taylor (Maclaurin), que tiene un número infinito de términos. Truncar la serie de Taylor para generar un polinomio de grado $n$ nos permite representar una función con un número finito de términos que cumplen un requisito de precisión específico.

Al escoger un centro, $x_0$ , de una serie (polinomio) de Taylor que represente una función, se aplican las siguientes consideraciones:

Escoge un $x_0$ tal que la función sea definida y diferenciable en $x_0$ .
Escoge un $x_0$ que permita que todos los valores de $x$ que serán evaluados estén en el intervalo de convergencia de la serie, es decir, debe $|x-x_0|< R_c$ , o $-R_c+x_0< x< R_c+x_0$ .
Escoge un $x_0$ tal que se puedan calcular los valores precisos de $f(x_0),f^{\prime}(x_0),f^{\prime\prime}(x_0),\ldots$ .
Escoge un $x_0$ tal que el número de términos de series necesitado para alcanzar un grado de precisión específico se use para todos los valores de $x$ .

La primera, y más fácil, elección para ser el centro de una serie es $x_0=0$ , es decir, usa una serie de Maclaurin. Esto podría no ser siempre una elección válida para la función.

Ejemplo A

Aproxima $\ln 0.99$ .

Solución:

El problema requiere la evaluación del logaritmo natural $\ln x$ . Sin embargo, una representación de serie de Maclaurin de la función no existe para un centro en $x_0=0$ porque ahí $f(x)=\ln x$ es indefinida, y tiene derivadas indefinidas.

Una estrategia alternativa sería encontrar una representación de serie de Taylor de $f(x)=\ln x$ en un centro diferenciable; o una serie Maclaurin para una función distinta, pero relacionada. Debido a que $0.99$ es igual a $[1-(+0.01)]$ o $[1+(-0.01)]$ , a continuación, se muestran las opciones:

1. Serie de Taylor para $f(x)=\ln x$ con $x_0=1$ : $f(1),f^\prime(1),\ldots,f^{(n)}(1)$ son definidos.

La serie luce como:

$f(x)=\ln x=0+(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2!}+2\frac{(x-1)^3}{3!}-6\frac{(x-1)^4}{4!}\cdots=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}$ con intervalo de convergencia $(0,2]$ .

En este caso, $x=0.99$ .

2. Serie de Maclaurin para $\ln(1-x)$ con $x=0.1$ , o $\ln(1+x)$ con $x=-0.1$ : $f(1),f^\prime(1),\ldots,f^{(n)}(1)$ están definidos.

La serie luce como:

$\ln(1+x)=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$ con intervalo de convergencia $(-1,1]$ .

En este caso, $x=-0.1$ .

Ambas series lucen idénticas cuando se evalúan sus valores respectivos de $x$ .

Usar el polinomio de Maclaurin de ^do grado para $\ln(1+x)$ con $x=-0.1$ :

$\ln 0.99 & = \ln(1-0.01)\\& \thickapprox -0.01-\frac{(0.01)^2}{2}\\& \thickapprox -0.01005 \qquad\qquad \ldots \text{Calculator value:} \ \ln 0.99=-0.010050336$

La aproximación anterior es buena con 6 lugares decimales.

Dada una representación de series (polinomio) de Taylor de una función, siempre asegúrate de que la serie (polinomio) esté hecho para valores que estén dentro del intervalo de convergencia.

Ejemplo B

Aproxima $\ln 2.1$ usando un polinomio de Maclaurin de ^do grado.

Solución:

En el ejemplo anterior, la serie (polinomio) de Maclaurin $\ln(1+x)=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\thickapprox x-\frac{x^2}{2}$ es usado para evaluar $\ln 0.99$ . Usar el mismo polinomio resulta en

$\ln (2.1) & = \ln (1+1.1)\\& \thickapprox 1.1- \frac{1.1^2}{2}\\& \thickapprox 0.495 \qquad\qquad \ldots \text{Calculator value:} \ \ln 2.1=0.741937345$

¡La aproximación anterior no es muy buena!

Usar el polinomio de 3 ^er grado resulta en: $\ln 2.1 \thickapprox 0.9387$ .

Usar el polinomio de 4 ^to grado resulta en: $\ln 2.1 \thickapprox 0.5727$ .

¿Qué está mal?

El problema es que $x=2.1$ está fuera del intervalo de convergencia $(-1,1]$ , y la serie Maclaurin no es convergente. Esto significa que la serie (polinomio) usado para representar (aproximar) $\ln(1+x)$ no es válido.

Para arreglar el problema presentado en el Ejemplo B, escoge un centro para una serie de Taylor de $\ln x$ , o una función relacionada para una serie de Maclaurin, que mantenga $x=2.1$ dentro del intervalo de convergencia.

Ejemplo C

Aproxima $\ln 2.1$ usando un polinomio de Taylor de 2 ^do grado.

Solución:

Debido a que $2.1=2+0.1$ , y las derivadas de $f(x)=\ln x$ son $\thicksim \frac{1}{x^n}$ , escoge $x_0=2$ como centro. Serie de Taylor para $f(x)=\ln x$ con $x_0=2$ : $f(2),f^{\prime}(2),\ldots,f^{(n)}(2)$ son definidos. La serie luce como: $f(x)=\ln x=\ln 2+\frac{1}{2}(x-2)-\frac{1}{2^2}\frac{(x-2)^2}{2!}+2\frac{1}{2^3}\frac{(x-2)^3}{3!}-6\frac{1}{2^4}\frac{(x-2)^4}{4!}\cdots=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(x-2)^{n+1}}{2^{n+1}(n+1)}$ con intervalo de convergencia $(0,4]$ .

Usar el polinomio

$\ln(2.1) & \thickapprox \ln 2+\frac{1}{2}(x-2)-\frac{1}{2^2}\frac{(x-2)^2}{2!}\\& \thickapprox 0.69315+\frac{1}{2}(2.1-2)-\frac{1}{2^2}\frac{(2.1-2)^2}{2!}\\& \thickapprox 0.69315+0.05-0.00125\\& \thickapprox 0.7419 \qquad\qquad\qquad\qquad \ldots \text{Calculator value:} \ \ln 2.1=0.741937345$

Esta aproximación es considerablemente mejor, es buena con 4 lugares decimales. ¡Escoger el centro correcto hizo la diferencia!

Análisis del Problema de la Sección

¿Sabes por qué $f(x)=\frac{1}{x}$ no se puede representar con una serie de Maclaurin? ¿Cuál es la aproximación del polinomio de Taylor de 2 ^do grado de $f(x)$ con centro en 200? ¿Cuál podría ser la función relacionada que tiene una serie de Maclaurin equivalente?

$f(x)=\frac{1}{x}$ es no definida en $x=0$ , y tampoco lo son cualquiera de sus derivadas. Por lo tanto, no tiene una representación de serie (polinomio) de Maclaurin.

El polinomio de Taylor de 2 ^do grado centrado en $x=200$ es:

$T_2(x)=\frac{1}{200}-\frac{1}{200^2}(x-200)+\frac{1}{200^3}(x-200)^2.$

En $T_2(x)$ , el factor $(x-200)$ es la excursión desde 200. La función $f(x)=\frac{1}{x}(x\ne 0)$ se puede escribir para aplicar en la proximidad de $x=200$ como: $g(u)=\frac{1}{200+u}$ , donde $u$ toma el lugar de $(x-200)$ . La función $g(u)$ y todas sus derivadas están definidas en $u=0$ , y también se encuentran así en una serie (polinomio) de Maclaurin: $M_2(u)=\frac{1}{200}-\frac{1}{200^2}u+\frac{1}{200^3}u^2$ .

Vocabulario

La representación (estimada) del centro de una serie (polinomio) de Taylor de una función es el valor de la variable independiente donde la función y sus derivadas están definidas, y estas últimas son usadas para definir la serie (polinomio) junto a la desviación desde el centro.

Práctica Guiada

Aproxima $\frac{1}{1.9^2}$ a $4$ lugares decimales mediante el uso del polinomio de Taylor.

Solución:

Nota que $\frac{1}{1.9^2}=\frac{1}{(2-0.1)^2}=\frac{1}{4\left(1-\frac{0.1}{2}\right)^2}$ .

Esto sugiere que podría ayudar una representación de la serie de la función $\frac{1}{(1-x)^2}$ .

Recuerda que $\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{1-x}\right]$ , y $\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$ es la serie de Maclaurin para $|x|<1$ . El centro está en $x_0=0$ .

Al hacer una diferenciación de término a término de la serie para $\frac{1}{1-x}$ tenemos que $\frac{1}{(1-x)^2}=\sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n-1}$ .

También podemos escribir $\frac{1}{\left(1-\frac{x}{2}\right)^2}=\sum\limits_{n=1}^\infty n\left(\frac{x}{2}\right)^{n-1}$ para $|x|<2$ .

Entonces

$\frac{1}{1.9^2} & = \frac{1}{4\left(1-\frac{0.1}{2}\right)^2}\\& = \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{4}\left(\frac{0.1}{2}\right)^{n-1}\\& = \frac{1}{4}[1+2(0.05)+3(0.05)^2+4(0.05)^3+\cdots]$

Usar el polinomio de primer, segundo y tercer grado da los siguientes estimados:

1 ^er grado: $\frac{1}{1.9^2}\thickapprox \frac{1.1}{4}=0.275$ , con un subestimado de $0.0020$ ;

2 ^do grado: $\frac{1}{1.9^2}\thickapprox \frac{1.1075}{4}=0.276875$ , con un subestimado de $0.000133$ ;

3 ^er grado: $\frac{1}{1.9^2}\thickapprox \frac{1.108}{4}=0.2770$ , con un subestimado de $0.0000083$ .

Práctica

En los ejercicios 1-4, escoge un centro y evalúa una aproximación de polinomio de Taylor (Maclaurin) que se ajuste a las condiciones establecidas:

$\sqrt{4.1}$ con un polinomio de 1 ^er grado. ¿Puede ser usado el mismo polinomio para evaluar con precisión $\sqrt{0.1}$ ?
$\ln 0.9$ a $4$ lugares decimales.
$\sin(0.8)$ a $6$ lugares decimales.
$\sin(6)$ a una precisión de $0.001$ .
$\frac{1}{9^{3}}$ a $6$ lugares decimales.
Calcula $\sqrt{10}$ mediante el uso de un polinomio de Taylor de primer grado. Da un estimado en la brecha de error. Compara el estimado con el valor que te da una calculadora.
¿Puede ser usado un polinomio de Maclaurin para $\sqrt{x}$ para estimar el valor de $\sqrt{0.9}$ ? Justifica tu respuesta. ¿Cómo debería ser estimado el valor?
Estima $\sqrt{99}$ a dentro de $\pm 0.001$ .
¿Qué sucede cuando la serie de Maclaurin para $\ln(1-x)$ se usa para estimar $\ln 5$ a 7 lugares decimales al establecer $x=-4$ ? ¿Por qué?
Calcula $e^{-0.2}$ correcta a 5 lugares decimales.
Aproxima $\cos (0.01)$ con un error menor que $10^{-20}$ .
Para evaluar $\tan(0.8)$ , predice si un polinomio de Maclaurin de dos términos o un polinomio de Taylor de dos términos centrados en $x=\frac{\pi}{4}$ darán el estimado más preciso.
Aproxima $\sin(1.1)$ a 4 lugares decimales.

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