Objetivos

En esta sección, aprenderás cómo la serie de Taylor puede representar funciones que son potencias binomiales, y averiguarás cómo usar series de potencias para resolver ecuaciones integrales y diferenciales.

Conceptos

Una de las características más útiles de las series de potencias es la habilidad para usar una serie para evaluar una integral que no tiene una antiderivada de forma cerrada, o resolver una ecuación diferencial. Tal representación de una serie de potencias puede ser truncada a un polinomio para evaluar un integral definido usando el grado suficiente para proporcionar una precisión específica. Si te dan la tarea de usar una serie de potencias para evaluar la integral $\int\limits^1_0 x^2 e^{-x^2} dx$ con precisión a 4 lugares decimales, ¿cómo lo haces?

Mira Esto

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Orientación

Los tres temas que se presentarán en esta sección son:

Representación de una serie de Taylor de una potencia de un binomio (serie binomial)
Evaluar integrales no elementarias
Resolver ecuaciones diferenciales mediante el uso de series de potencias

Series Binomiales

Hemos aprendido cómo generar una serie de potencias (Taylor) de una función $f(x)$ usar el valor de la función y sus derivadas en un centro específico. Una forma de función especial de interés es $f(x)=(1+x)^r$ donde $r$ es un número real $|x|<1$ . Una importante serie de Taylor especial llamada serie binomial proporciona la serie Maclaurin para esta $f(x)$ .

Teorema: Series Binomiales

Establece $f(x)=(1+x)^r$ donde $r$ es un número real $|x|<1$ . Entonces

$f(x) &= \sum\limits^\infty_{n=0} f^{(n)} (0) \frac{x^n}{n!}=f(0)+f^\prime (0) x+f^{\prime\prime}(0) \frac{x^2}{2!}+f^{\prime\prime\prime} (0) \frac{x^3}{3!}+\cdots f^{(n)} (0) \frac{x^n}{n!}+\cdots\\&= 1+rx+\frac{r(r-1)}{2!}x^2+\frac{r(r-1)(r-2)}{3!} x^3+\cdots \frac{r(r-1)(r-2) \cdots (r-n+1)}{n!}x^n+\cdots\\&= \sum\limits^\infty_{k=0} \binom{r}{k} x^k$

es la serie binomial para $f(x)$ .

Los coeficientes binomiales son indicados por $\binom{r}{k}$ donde :

$\binom{r}{0} &= 1 \ \text{for} \ k=0\\\binom{r}{k} &= \frac{r(r-1) \ldots (r-k+1)}{k!} \ \text{for} \ k \ge 1.$

Nota:

Si $r$ es un entero no negativo $n$ , entonces la serie termina y la serie binomial se reduce a un polinomio de grado $n$ que converge para toda $x$ .
De otra forma, la serie es finita. La serie diverge si $|x| < 1$ ; el comportamiento de la serie para $|x|=1$ depende del valor de $r$ .

La serie anterior, que tiene un número infinito de términos, luce similar a la ecuación binomial, que tiene un número finito de términos:

$(a+b)^n &= a^n+na^{n-1} b+\frac{n(n-1)}{2!} a^{n-2} b^2+\ldots+nab^{n-1}+b^n\\& && \ldots \text{the Binomial coefficients are denoted by:}\\& =\sum\limits^n_{k=0} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k && \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \ \text{for} \ k \ge 0.$

Ejemplo A

Encuentra una representación de series de potencias de $\sqrt{1+x}$ .

Solución:

Para $\sqrt{1+x}, r=\frac{1}{2}$ . Para $|x|<1$ , la función se puede escribir como la serie binomial

$\sqrt{1+x}=\sum\limits^\infty_{k=0} \dbinom{\frac{1}{2}}{k} x^k$ , con coeficientes binomiales dados por:

$\binom{\frac{1}{2}}{k} &= \frac{\left(\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{3}{2}\right) \cdots \left(-\frac{2k-3}{2}\right)}{k!}\\&= \frac{(-1)^{k-1} (2k-2)!}{[2 \times 4 \times 6 \cdots \times (2k-2)]2^k k!}\\&= \frac{(-1)^{k-1}(2k-2)!}{2^{k-1}k!(k-1)2^k k!}\\&= \frac{(-1)^{k-1} (2k-2)!}{2^{2k-1}k!(k-1)!}$

Por lo tanto,

$\sqrt{1+x} = \sum\limits^\infty_{k=0} \dbinom{\frac{1}{2}}{k} x^k=1+\sum\limits^\infty_{k=0} \frac{(-1)^{k-1} (2k-2)!}{2^{2k-1} k! (k-1)!} x^k \ \text{for} \ |x|<1$ .

Evaluar Integrales No Elementarias

Existen muchas funciones que se ven simples que no tienen una fórmula explícita para su integral en la forma de funciones elementarias. Sin embargo, en algunos casos se puede escribir su integral como una serie de Taylor en su intervalo de convergencia.

Ejemplo B

Encuentra una representación de series de potencias de $\int \frac{e^x}{x}dx$ .

Solución:

Debido a que $\frac{e^x}{x}$ no es definida en $x=0$ , aplicamos la serie de Taylor de $e^x$ en, digamos, $x=1$ al escribir $e^x=e \cdot e^{x-1}$ con un cambio de variable $u=x-1$ .

$\int \frac{e^x}{x} dx &= \int \frac{e \cdot e^u}{1+u}du\\&= \int \left[e \cdot \frac{1}{1+u} \sum\limits^\infty_{n=0} \frac{(u)^n}{n!}\right] du\\&= \int e(1-u+u^2-u^3+\ldots) \left(1+u+\frac{u^2}{2!}+\frac{u^3}{3!}+\frac{u^4}{4!}+\ldots \right) du && \ldots \text{where} \ \frac{1}{1+u}=\sum\limits^\infty_{n=0} (-1)^n u^n\\& && \text{for} \ |u|<1.\\&= \int e \left(1+\frac{1}{2}u^2-\frac{1}{3}u^3+\frac{3}{8}u^4-\frac{11}{30} u^5+\ldots \right)du && \text{for} \ |u|<1.\\& = e \left(u+\frac{1}{6}u^3-\frac{1}{12}u^4+\frac{3}{40} u^5-\frac{11}{180}u^6+\ldots \right)+C$

Por lo tanto,

$\int \frac{e^x}{x} dx=e \left[(x-1)+\frac{1}{6} (x-1)^3-\frac{1}{12}(x-1)^4+\frac{3}{40} (x-1)^5-\frac{11}{180} (x-1)^6+\ldots \right)+C$ .

Resolver ecuaciones diferenciales mediante el uso de series de potencias

Usar una serie de potencias es un método básico para resolver ecuaciones diferenciales. Este método da una solución aproximada a una ecuación diferencial cercana a un único punto $x=x_0$ . El método usa la ecuación diferencial para encontrar los coeficientes de la serie de Taylor cerca del punto $x=x_0$ .

El siguiente ejemplo muestra la aplicación de la serie de potencias para resolver una ecuación diferencial lineal.

Ejemplo C

Resuelve el diferencial de primer orden lineal $y^\prime -y=0$ mediante el uso de series de potencias.

Solución:

Asume que la solución tiene la forma $y=\sum\limits^\infty_{n=0} a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots$ .

Entonces $y^\prime =\sum\limits^\infty_{n=1} na_nx^{n-1}=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\ldots$ .

Remplaza estos en la ecuación diferencial

$y^\prime -y &= 0\\(a_1+2a_2x+3a_3x^2+\ldots) - (a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots) &= 0\\(a_1-a_0)+(2a_2-a_1)x+(3a_3-a_2) x^2+\ldots &= 0$

Equiparar los coeficientes de cada potencia de $x$ a 0 da:

$(a_1-a_0) = 0 & \Rightarrow a_1=a_0\\(2a_2-a_1)=0 & \Rightarrow a_2 =\frac{a_1}{2}=\frac{a_0}{2}\\(3a_3-a_2)=0 & \Rightarrow a_3=\frac{a_2}{3}=\frac{a_0}{6}\\\vdots \qquad \qquad & \qquad \qquad \vdots$

Usar los coeficientes en la serie de potencias para $y$ da:

$y &= a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots\\&= a_0+a_0x+\frac{a_0}{2}x^2+\frac{a_0}{6}x^3+\ldots\\&= a_0(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots)\\&= a_0 e^x$

La solución a la ecuación diferencial $y^\prime - y=0$ es $y=a_0 e^x$ .

Análisis del Problema de la Sección

Si te dan la tarea de usar una serie de potencias para evaluar la integral $\int\limits^1_0 x^2 e^{-x^2} dx$ con precisión a 4 lugares decimales, ¿cómo lo haces?

Al usar la representación de series de potencias (Maclaurin) para $e^{-x}$ , la integral se puede escribir como:

$\int\limits^1_0x^2 e^{-x^2}dx &= \int\limits^1_0 x^2 \left[1+(-x)^2+\frac{(-x^2)^2}{2!}+\frac{(-x^2)^3}{3!}+\ldots\right] dx=\int\limits^1_0 \left[x^2-x^4+\frac{x^6}{2!}-\frac{x^8}{3!}+\ldots \right]dx\\&= \left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7 \cdot 2!}-\frac{x^9}{9 \cdot 3!}+\ldots \right]^1_0=\left[\sum\limits^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n x^{2n+3}}{(2n+3)n!}\right]^1_0=\sum\limits^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+3)n!}.$

Debido a que esta es una serie alternada, $\Big| \frac{(-1)^n}{(2n+3)n!} \Big| \le 5 \times 10^{-5}$ para que ocurra precisión con 4 lugares decimales en $n=6$ .

Por lo tanto, $\int\limits^1_0 x^2 e^{-x^2} dx \approx \sum\limits^5_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+3)n!}=0.1894$ .

Vocabulario

Una serie de Taylor es una representación de serie de potencias de una función $f(x)$ en un punto $x=x_0$ , en la que los coeficientes de la serie son derivadas de la función en ese punto.

Una serie de Maclaurin es un caso particular de la serie de Taylor con $x=x_0=0$ .

Práctica Guiada

Encuentra una representación de series de potencias de:

1. $\frac{1}{(1-x)^m}$ donde $m$ es un entero positivo.

2. $\int \frac{\sin x^2}{x}dx$ .

Solución:

1. En $(1+x)^r$ , reemplaza $x$ por $-x$ , y establece $r=-m$ . Los coeficientes binomiales para $r=-m$ están dados por:

$\binom{-m}{k} &= \frac{(-m)(-m-1)(-m-2) \ldots (-m-k+1)}{k!}\\&= \frac{(-1)^k m(m+1)(m+2)\ldots (m+k-1)}{k!}\\&= (-1)^k \binom{m+k-1}{k}$

Por lo tanto,

$(1+x)^r=\sum\limits^\infty_{k=0} (-1)^k \binom{m+k-1}{k}x^k$ .

2. La sustitución directa de $x^2$ en la serie de Maclaurin de $\sin x$ da

$\sin x^2 &= \sum\limits^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} (x^2)^{2n+1}\\&= \sum\limits^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{4n+2}\\\frac{\sin x^2}{x} &= \sum\limits^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{4n+1}$

Por lo tanto,

$\int \frac{\sin x^2}{x}dx &= \sum\limits^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \int x^{4n+1}dx\\&= \sum\limits^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \frac{x^{4n+2}}{4n+2}\\&= \sum\limits^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n}{(4n+2)} \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}$

Práctica

Encuentra una representación de series de potencias de:

1. $(9-x)^{-\frac{1}{2}}$ con $x=0$ .

2. $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ con $x=0$ .

3. $\frac{1}{(2-x)^2}$ con $x=0$ .

4. $\left(1-\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{2}}$ con $x=0$ .

5. $\sqrt{(1+x+x^2)}$ con $x=-\frac{1}{2}$ . ¿En qué intervalo se comprueba la igualdad? Pista: Nota que $1+x+x^2=\frac{3}{4}+\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$ .

Evalúa la integral usando la representación de series de potencias (serie de Maclaurin) de la cantidad que es integral:

6. $\int e^{x^2} dx$ , y aproxima $\int\limits^1_0 e^{x^2} dx$ a 6 lugares decimales.

7. $\int \sin x^2 dx$ .

8. $\int \frac{\arctan x}{x}dx$

Encuentra la solución de la serie de potencias de las ecuaciones diferenciales:

9. $y^\prime - y=0$ .

10. $y^\prime + 3y=0$

11. $y^\prime = 2xy$

12. $y^\prime +3xy=0$

13. $y^{\prime\prime}+y=0$ Pista: Habrá dos coeficientes de series de potencias que serán arbitrarias en la solución general.

Cálculos con Series: Potencias Fraccionales Binomiales, Ecuaciones Integrales y Diferenciales

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