Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

Introducción

Investigar ecuaciones paramétricas y gráficos polares. Calcular largo, área, volumen y área de superficie de ecuaciones paramétricas y gráficos polares.

Las ecuaciones paramétricas permiten que tanto $x$ y $y$ dependan de una tercera variable. Científicos e ingenieros utilizan las ecuaciones paramétricas para analizar variables que cambian a lo largo del tiempo. El sistema de coordenadas polares permite graficar con gran facilidad círculos, rosas polares, espirales y otras curvas que no son funciones. En esta sección aprenderás sobre las ecuaciones polares y las ecuaciones paramétricas. Aprenderás a encontrar el área delimitada por las curvas en estas formas y la longitud de dichas curvas en dichas formas. Por último, aprenderás a encontrar el área superficial y el volumen de las curvas las estas formas por la rotación alrededor de un eje.

Las ecuaciones paramétricas son un grupo de dos funciones, cada una dependiente de una tercera variable. Las ecuaciones paramétricas son especialmente útiles para trabajar con un objeto que se mueve a lo largo del tiempo. A continuación están las fórmulas claves para encontrar el área bajo la curva, la distancia recorrida, el área superficial de las revoluciones alrededor del eje y el volumen de las revoluciones alrededor de los ejes:

Área bajo una curva: $A = \int\limits^b_a y(t)x^\prime(t) dt$
Distancia recorrida: $L = \int\limits^b_a \sqrt{(x^\prime(t))^2 + y^\prime(t))^2}dt$
Área superficial de una revolución alrededor del eje $x$ : $A_{surface} = \int\limits^b_a 2 \pi y(t) \sqrt{(x^\prime(t))^2 + y^\prime(t))^2}dt$
Área superficial de una revolución alrededor del eje $y$ : $A_{surface} = \int\limits^b_a 2 \pi x(t) \sqrt{(x^\prime(t))^2 + y^\prime(t))^2}dt$
Volumen de una curva paramétrica alrededor del eje $x$ : $V = \pi \int\limits^b_a y(t)^2 x^\prime(t) dt$
Volumen de una curva paramétrica alrededor del eje $y$ : $V = \pi \int\limits^b_a x(t)^2 y^\prime(t) dt$

El sistema de coordinadas polares identifica los puntos según su ángulo $(\theta)$ y distancia con respecto al origen $(r)$ . Las ecuaciones polares permiten modelar círculos y espirales más fácilmente. A continuación están las fórmulas claves para encontrar el área bajo la curva, la longitud del arco, el área superficial de las revoluciones alrededor de los ejes y el volumen de las revoluiones alrededor de los ejes: para las ecuaciones en forma polar:

Área bajo una curva: $A = \int\limits^b_a (\rho (\theta))^2 d\theta$
Longitud del arco: $l = \int\limits^b_a \sqrt{r^2 + \left ( \frac{dr}{d\theta} \right )^2} d\theta$
Área superficial de una revolución alrededor del eje polar: $Area_{surface} = 2 \pi \int\limits^b_a r \sin \theta \sqrt{r^2 + \left ( \frac{dr}{d\theta} \right )^2}d\theta$
Área superficial de una revolución alrededor de la línea $\theta = \frac{\pi}{2}$ : $Area_{surface} = 2 \pi \int\limits^b_a r \cos \theta \sqrt{r^2 + \left ( \frac{dr}{d\theta} \right )^2}d\theta$
Volumen de una revolución alrededor del eje $x$ : $V= \pi \int (f(x))^2 dx$ (Nota: primero convierte a la forma regular)
Volumen de la revolución alrededor del eje $y$ : $V= \pi \int (f(y))^2 dy$ (Nota: primero convierte a la forma regular)

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