Objetivos

En esta sección verás las ecuaciones paramétricas y sus usos. Conocerás cómo las ecuaciones paramétricas pueden utilizarse para representar curvas en el plano coordenado.

Concepto

Te has unido al equipo de física de tu escuela. Para la competencia de este año, necesitan construir un dispositivo que dispare un dardo y reviente un globo en movimiento. El globo bajará lentamente desde una distancia de 10 metros de altura a una velocidad de 1 m/s. Tu dispositivo debe apuntar con precisión a una distancia de 100 metros. Si la velocidad horizontal de tu dardo es de 50 m/s, ¿Qué velocidad vertical debe tener para reventar el globo? Para resolver este problema necesitarás planear el movimiento del dardo y el globo en el espacio. Luego, debes asegurarte de que las dos trayectorias se crucen una vez.

Mira esto

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Orientación

Una ecuación paramétrica nos da la ecuación para una curva en el plano coordenado. Generalmente presenta la forma $F(t)=(x(t),y(t))$ donde las coordenadas $x$ e $y$ son dadas por dos funciones diferentes de la variable $t$ . Los científicos y los ingenieros usan estas ecuaciones principalmente para analizar variables que cambian a lo largo del tiempo, tal como la posición en el espacio o cómo dos poblaciones se relacionan.

Cuando un objeto se mueve en un plano, puedes escribir una ecuación para representar su movimiento horizontal a lo largo del tiempo y una ecuación para representar su movimiento vertical a lo largo del tiempo. La ecuación paramétrica representa entonces la posición del objeto en un plano a lo largo del tiempo.

Puedes usar la tabla como apoyo para graficar una ecuación paramétrica. Imagina que $x(t)=t^2+3$ , y $y(t)=\frac{1}{t}$ . La siguiente tabla muestra los valores de $x(t)$ e $y(t)$ para varios valores de $t$ .

$t$	$x(t)$	$y(t)$
0	3	n/a
.1	3.01	10
.5	3.25	2
1	4	1
2	7	.5
3	12	.3333

La gráfica de la función incluiría una asíntota en $x=3$ , y el grupo de puntos definidos por $(x(t),y(t))$ .

Un objeto cuyo movimiento fuera regido por $x(t)$ e $y(t)$ estaría en (4, 1) cuando $t=1$ , en (7, .5) cuando $t=2$ y en (12, .3333) cuando $t=3$ . La función paramétrica te da información adicional que no es evidente a partir de la gráfica. No solo te dice dónde estará el objeto, también te dice cuándo llegará a ese punto.

Ejemplo A

Mira las siguientes ecuaciones paramétricas.

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=5t\\y(t)&=55t-\frac{1}{2}(9.8)t^2$

Crea una tabla que muestre los valores desde $t=0$ hasta $t=10$ . Luego, grafica $F(t)$ .

Solución: Primero crea una tabla y reemplaza los valores de $t, x(t)$ e $y(t)$ .

$t$	$x(t)$	$y(t)$
0	0	0
1	5	50.1
2	10	90.4
3	15	120.9
4	20	141.6
5	25	152.5
6	30	153.6
7	35	144.9
8	40	126.4
9	45	98.1
10	50	60.0

Ahora usa estos puntos para graficar la curva.

Puedes notar que esta curva representa el movimiento de un proyectil de cañon disparado a una velocidad horizontal de 5 m/s y una velocidad inicial de 55 m/s. El uso de las ecuaciones paramétricas te permite conocer la posición del proyectil a lo largo de todo el tiempo, $t$ , durante su vuelo. Cuando $y(t)=0$ , el objeto ha tocado tierra.

Ejemplo B

Puedes convertir una ecuación paramétrica en una ecuación que solo usa las variables $x$ e $y$ . Esta conversión producirá una ecuación para la curva, pero no te permitirá saber dónde se encontrará el objeto en un tiempo específico.

Convierte la siguiente ecuación en una sola ecuación de términos $x$ e $y$ .

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=5t\\y(t)&=55t-\frac{1}{2}(9.8)t^2$

Solución: Para empezar, resuelve $x(t)=5t$ para $t$ : $\frac{x(t)}{5}=t$

Ahora reemplaza $t$ en la ecuación $y(t)$ :

$y(t)&=55t-\frac{1}{2}(9.8)t^2\\y(t)&=55\left ( \frac{x(t)}{5} \right )-\frac{1}{2} \left ( 9.8\left ( \frac{x(t)}{5} \right )^2 \right )$

Simplifica:

$y(t)=11x(t)-\frac{9.8}{50} \left ( x^2 (t) \right )$

La parábola $y=11x -\frac{9.8}{50}x^2$ representa la trayectoria del objeto en la ecuación paramétrica $F(t)$ .

Ejemplo C

Para encontrar la solución a un sistema paramétrico de ecuaciones tienes que determinar si las trayectorias se cruzan y si ambos objetos estarán en el mismo lugar al mismo tiempo.

Un cañón dispara un proyectil. Su trayectoria está representada por la siguiente ecuación paramétrica:

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=5t\\y(t)&=55t - \frac{1}{2} (9.8)t^2$

Un segundo proyectil es disparado por otro cañón. Su trayectoria está representada por la siguiente ecuación paramétrica:

$G(t)&=(x_2(t),y_2(t))\\x_2(t)&=50-10t\\y_2(t)&=75t-\frac{1}{2}(9.8)t^2$

¿La trayectoria de los proyectiles se cruza? ¿Chocarán los proyectiles en algún tiempo $t$ ?

Solución: Para resolver este problema tienes que convertir $F(t)$ y $G(t)$ en términos $x$ e $y$ . En el Ejemplo B viste que $F(t)$ se podía reescribir como $y=11x-\frac{9.8}{50}x^2$ o $y=11x-.196x^2$ . Ahora tienes que convertir $G(t)$ en $x$ e $y$ .

Resolver $x_2(t)$ para $t$ nos da como resultado $\frac{x-50}{-10}=t$ .

Luego de que reemplaces el valor de $t$ en $y_2(t)$ , verás que $y=-.049x^2-2.6x+252.5$ .

Para obtener el valor de $x$ en el que se cruzan los dos objetos, iguala las dos ecuaciones que han sido resueltas para $y$ Luego, simplifica.

$11x-.196x^2&=-.049x^2-2.6x+252.5\\0&=.147x^2-13.6x+252.5$

Resuelve la ecuación cuadrática para $x$ y obtendrás $x=25.7119$ o $x=66.8051$ . Ahora incluye estos valores de $x$ en las ecuaciones originales resueltas para encontrar $y$ para encontrar las coordenadas correspondientes de $y$ Esto te dará los puntos en donde las trayectorias de los proyectiles se cruzan.

Las trayectorias se cruzan en (25.7119, 153.25) y (66.8051, -139.88). Sin embargo, el segundo cruce es imposible en este contexto, ya que una vez que el proyectil alcanza $y=0$ , ha tocado tierra y ha dejado de moverse.

Para ver si las trayectorias se cruzan, primero debes ver si ambos proyectiles alcanzan (25.7119, 153.25) al mismo tiempo.

Parte con $F(t)$ Sabes que $\frac{x_1(t)}{5}=t$ .

Incluye 25.7119 (la coordenada $x$ de la posible colisión) en la ecuación y obtendrás $t=5.14$ .

Ahora considera $G(t)$ Sabes que $\frac{x_2(t)-50}{-10}=t$ .

Cuando incluyas 25.7119 en esta ecuación sabrás que el segundo proyectil alcanza este punto en $t=2.43$ . Ya que los dos proyectiles alcanzan este punto en distintos tiempos, nunca colisionan.

Nota: ¿Te diste cuenta que $y_1(t)$ e $y_2(t)$ contienen la expresión “ $-\frac{1}{2}9.8t^2$ ”? Esto se debe a que en un caso real, cuando un objeto es arrojado en caída libre , el cambio en su posición vertical puede ser representado por $-\frac{1}{2}9.8t^2$ . El 9.8 representa $9.8 \ m/s^2$ la aceleración creada por la gravedad. Para $y_1(t)$ e $y_2(t)$ , la primera parte de sus expresiones ( $55t$ y $75t$ ) representan las velocidades verticales iniciales de los proyectiles. La segunda parte de sus expresiones $\left (-\frac{1}{2}9.8t^2 \right )$ representan el movimiento descendiente debido a la gravedad.

Análisis del problema de la sección

Ahora que ya sabes más sobre las ecuaciones paramétricas, estás listo para ayudar a tu equipo de física a crear el modelo matemático del problema. El globo se encuentra a 100 metros. Cae a una velocidad de 1 m/s desde una altura inicial de 10 metros. Mientras ocurre lo anterior, pueden disparar un dardo desde el suelo a una velocidad horizontal de 50 m/s. Necesitas calcular la velocidad vertical inicial de tu dardo, considerando que la gravedad afectará su vuelo.

Las ecuaciones paramétricas pueden hacer que este difícil problema se vuelva mucho más simple.

Comienza con dos ecuaciones paramétricas. Para expresar la posición del globo a lo largo del tiempo puedes usar:

$F(t)&=(x_1(t),y_1(t))\\x_1(t)&=100\\y_1(t)&=10-t$

Para expresar la posición del dardo a lo largo del tiempo puedes usar:

$G(t)&=(x_2(t),y_2(t))\\x_2(t)&=50t\\y_2(t)&=vt-.5(9.8)(t^2)$

$x_2(t)$ representa la trayectoria horizontal del dardo, mientras que $y_2(t)$ representa la trayectoria vertical del dardo y el efecto que la gravedad ejerce sobre su vuelo. Necesitarás resolver estas ecuaciones para determinar $v$ , la velocidad ascendente que necesita tu dardo para dar con el objetivo.

Ya sabes la coordenada $x$ de la colisión esperada porque el objetivo desciende en una línea recta. La colisión debe pasar en un punto donde $x=100$ metros. Ya que $x_2 (t)=50t$ , el dardo se habrá movido 100 metros a lo largo del eje horizontal cuando $t=2$ . Puedes resolver $y_1 (t)$ para $t=2$ para encontrar la altura a la que se encuentra el globo luego de dos segundos. Encontrarás que, en $t=2$ , el globo se encuentra en (100, 8).

Ahora debes resolver $y_2(t)$ para encontrar $v$ , tu velocidad vertical inicial. Sustituir el tiempo y la altura del globo da como resultado $8=v(2)-.5(9.8)(2^2)$ . Resuelve la ecuación para $v$ , y sabrás que tu velocidad vertical inicial debe ser 13,8 m/s.

El uso de funciones paramétricas hizo que un problema difícil se transformara en un sistema de ecuaciones solucionable mediante álgebra básica.

Vocabulario

Ecuación paramétrica – En una ecuación paramétrica, las variables $x$ e $y$ son definidas como funciones de una tercera variable, generalmente $t$ de tiempo.

Práctica guiada

1. El hobby de Moira es saltar desde lo alto de los rascacielos. (Con el equipo de seguridad apropiado, por supuesto). Corre a 5 m/s cuando salta del edificio “Trumpet Tower,” la sede corporativa de una famosa empresa creadora de instrumentos de viento. La torre es de 250 metros de altura. Si la aceleración por la gravedad es $-9.8 \ m/s^2$ , escribe una ecuación paramétrica para representar el vuelo a tierra.

2. ¿Cuánto le tomará a Moira tocar el suelo, cubierto del equipo de seguridad pertinente para que aterrice sin problemas?

3. Supón que el edificio Trumpet Tower es perpendicular a la tierra. ¿Qué tan lejos de la base de la torre debe poner Moira el equipo de seguridad para que su video del salto sea genial en vez de trágico?

Respuestas:

1. La posición horizontal de Moira puede ser representada por su velocidad horizontal multiplicada por el tiempo. Esto es, $x(t)=5t$ . Su posición vertical puede ser representada como su altura inicial menos la altura que pierde a medida que cae. Esto es, $y(t)=250-\frac{1}{2}(9.8)t^2$ . Por lo tanto, la ecuación que representa su movimiento es:

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=5t\\y(t)&=250-\frac{1}{2}(9.8)t^2$

2. Para resolver este problema necesitarás encontrar $t$ para $y(t)=0$ . Entonces,

$y(t)&=250-\frac{1}{2}(9.8)t^2\\0&=250-\frac{1}{2}(9.8)t^2\\\frac{(250)(2)}{9.8}&=t^2\\t&=7.1429$

Solo necesitas ocuparte de los valores positivos de $t$ , ya que el tiempo empieza en 0 y un valor negativo no significaría nada en el contexto de este problema.

3. En el problema anterior, averiguaste cuánto tiempo le tomaba a Moira tocar tierra. Resuelve $x(t)$ a ese tiempo para encontrar su posición horizontal.

$x(t)&=5t\\x&=5(2.2588)\\x&=11.294$

Moira necesita ubicar el equipo de seguridad para aterrizar sin problemas a 11.294 metros de la base del edificio.

Práctica

Para los problemas 1 a 4, crea una tabla para las ecuaciones paramétricas dadas que muestren los valores desde $t=0$ hasta $t=6$ . Luego, grafica los puntos en una gráfica.

1. $F(t)&=(x(t),(y(t))\\x(t)&=t\\y(t)&=t^2$

2. $G(t)&=(x(t),(y(t))\\x(t)&=3t-2\\y(t)&=t^2+1$

3. $J(t)&=(x(t),(y(t))\\x(t)&=t+1\\y(t)&=t^2$

4. $K(t)&=(x(t),(y(t))\\x(t)&=7t\\y(t)&=50-\frac{1}{2}(9.8)t^2$

Para los ejercicios 5 a 8, convierte la ecuación paramétrica en una sola ecuación de términos $x$ e $y$ . Luego, grafica. ¿Tus gráficas coinciden con los puntos que marcaste en los ejercicios 1 a 4?

5. $F(t)&=(x(t),(y(t))\\x(t)&=t\\y(t)&=t^2$

6. $G(t)&=(x(t),(y(t))\\x(t)&=3t-2\\y(t)&=t^2+1$

7. $J(t)&=(x(t),(y(t))\\x(t)&=t+1\\y(t)&=t^2$

8. $K(t)&=(x(t),(y(t))\\x(t)&=7t\\y(t)&=50-\frac{1}{2}(9.8)t^2$

Para los ejercicios 9 a 11: Un auto cae de un acantilado de 25 metros de alto a una velocidad de 15 m/s. La aceleración que ejerce la gravedad es $-9.8 \ m/s^2$ .

9. Crea una ecuación paramétrica para representar la trayectoria del auto.

10. ¿Cuánto tiempo le tomará al auto alcanzar tierra?

11. Si el acantilado es perpendicular a la tierra bajo este, ¿Qué tan lejos de la base del acantilado aterrizará el auto?

Para los ejercicios 12 a 15: Tu profesor de matemáticas tira un globo con agua desde lo alto de tu escuela (10 metros de altura). La aceleración que ejerce la gravedad al globo con agua es $-9.8 \ m/s^2$ . Tu profesor de física dispara un dardo a 50 metros de distancia con una velocidad horizontal de $h$ y una velocidad vertical 12 m/s.

12. Crea una ecuación paramétrica para representar la trayectoria del globo de agua.

13. Crea una ecuación paramétrica para representar la trayectoria del dardo (usa $h$ para la velocidad horizontal).

14. Encuentra el valor de $h$ que tu profesor de física debe usar para asegurar que el dardo colisione con el globo de agua.

15. ¿Qué tan lejos de la tierra está el globo de agua cuando es reventado?

Para los ejercicios 16 y 17: Las trayectorias de dos proyectiles están representadas por las ecuaciones paramétricas a continuación.

$M(t)&=(x(t),(y(t)) \\x(t)&=10t \\y(t)&=15t-0.5(9.8)(t^2) \\\\N(t)&=(x(t),(y(t)) \\x(t)&=12t \\y(t)&=14t-0.5(9.8)(t^2)$

16. Una vez que los proyectiles han silo lanzados, ¿Sus trayectorias se cruzan en algún punto?

17. ¿Los proyectiles colisionarán alguna vez por estar en el mismo lugar al mismo tiempo?

Ecuaciones paramétricas y curvas en el plano

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