Ecuaciones paramétricas para círculos y elipses

Objetivos

En esta sección aprenderás la forma estándar de las ecuaciones para círculos y elipses. Aprenderás cómo expresar estas ecuaciones en forma paramétrica. También aprenderás cómo aplicar las ecuaciones paramétricas de círculos y elipses a problemas cotidianos.

Concepto

El equipo de ciclismo campo a través de Forest Park High está practicando en una reserva forestal cercana. El equipo femenino corre en círculo mientras que el equipo masculino corre en una trayectoria elíptica. Las trayectorias tienen longitudes diferentes y los equipos corren a velocidades distintas. ¿Los equipos se encontrarán en algún momento? Puedes usar las ecuaciones paramétricas para averiguarlo.

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https://www.youtube.com/watch?v=W80lgbWy85w

Orientación

Anteriormente aprendiste que una elipse es una figura redonda con dos focos . Cada coordenada de la elipse puede ser representada por su distancia con respecto a los dos focos. Aunque cualquier punto de distancia dado con respecto a un foco es único, la suma de las dos distancias es la misma para cada punto de la elipse.

La ecuación estándar para una elipse es $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ , donde $(h,k)$ es el centro de la elipse y $2a$ y $2b$ son las longitudes de los ejes de la elipse. El eje más largo se denomina eje mayor , mientras que el eje más corto se denomina eje menor.

Un círculo es un tipo especial de elipse donde $a$ es igual a $b$ . La ecuación estándar para un círculo se escribe $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ , donde $r$ es el radio del círculo y $(h,k)$ es el centro del círculo.

La forma paramétrica de la elipse es $F(t)=(x(t),y(t))$ donde $x(t)=a \cos(t)+h$ y $y(t) = b \sin(t) + k$ .

Ya que el círculo es una elipse donde ambos focos están en el centro y ambos ejes tienen la misma longitud, la forma paramétrica del círculo es $F(t) = (x(t),y(t))$ donde $x(t)=r \cos(t) + h$ y $y(t) = r \sin(t) + k$ .

Cuando $x(t) = a \cos(t)$ e $y(t)=b\sin (t)$ , le toma $2 \pi$ unidades de tiempo a un objeto recorrer la elipse completa. Al alterar la ecuación, puedes representar objetos que viajan a distintas velocidades. Por ejemplo, si $x(t)=a \cos(2t)$ e $y(t)=a\sin(2t)$ , el objeto completará una vuelta alrededor de la elipse dos veces más rápido en $\pi$ unidades de tiempo.

Ejemplo A

Escribe una ecuación paramétrica para la elipse definida por la ecuación $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{81}=1$ , donde un objeto da una revolución cada $8\pi$ unidades de tiempo.

Solución: La ecuación $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{81}=1$ es de la forma $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ . Saca las raíces cuadradas de los denominadores para saber que $a$ es 5 y $b$ es 9.

Para convertir esta ecuación a forma paramétrica, necesitarás recordar la fórmula paramétrica de la elipse:

$F(t) &=(x(t),y(t)) \\x(t) &=a\cos(t)\\y(t) &= b\sin(t)$

Sustituye los valores de $a$ y $b$ para esta elipse. Obtendrás:

$F(t) &=(x(t),y(t)) \\x(t) &=5\cos(t)\\y(t) &= 9\sin(t)$

Ahora necesitas ajustar la ecuación para que muestre la velocidad del objeto. Normalmente, un objeto trazará la elipse completa en el periodo de las funciones de seno y coseno es decir $2\pi$ . Sin embargo, este objeto está viajando la ruta a $8 \pi$ unidades de tiempo. Esto significa que le toma cuatro veces más tiempo atravesar la elipse en comparación a un objeto estándar.

Para representar esto, necesitas ajustar las ecuaciones para reflejar la velocidad menor. Entonces:

$F(t) &=(x(t),y(t)) \\x(t) &=5\cos\left(\frac{t}{4}\right)\\y(t) &= 9\sin\left(\frac{t}{4}\right)$

Ejemplo B

Dada la siguiente ecuación paramétrica de una elipse, escribe la ecuación en forma estándar. Luego, encuentra los focos de la elipse y dibuja la elipse.

$F(t) &=(x(t),y(t)) \\x(t) &=4\cos(t)\\y(t) &= 10\sin(t)$

Solución: La forma estándar de la ecuación para la elipse es $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ .

Reemplaza $a$ y $b$ en la ecuación para obtener:

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{100}=1$

Ahora puedes dibujar el eje mayor y el eje menor. Puedes también nombrar los interceptos $x$ e $y$ de la elipse. Los focos siempre están en los ejes mayores. Encuéntralos usando la siguiente ecuación: $a^2-c^2=b^2$ donde $a$ es la distancia del borde de la elipse desde el centro al eje mayor (el más largo), $b$ es la distancia del eje menor y $c$ es la distancia de los focos con respecto al centro de la elipse.

En esta elipse, el eje vertical es el eje mayor ya que es el más largo. Para encontrar los focos a lo largo del eje $y$ :

$a^2-c^2 &=b^2\\100-c^2 &=16\\-c^2 &=-84\\c &=\pm 2 \sqrt{21}$

Ahora puedes dibujar la elipse.

Ejemplo C

Encuentra una ecuación que represente el movimiento de un objeto a lo largo de la siguiente trayectoria circular. Asume que el objeto completa una vuelta cada $\pi$ unidades de tiempo.

$x^2+y^2=16$

Solución: Nota que el círculo tiene un radio de 4. También nota que el objeto completa una vuelta en $\pi$ unidades de tiempo, que es la mitad del tiempo normal. Por lo que la ecuación es:

$F(t) &=(x(t),y(t)) \\x(t) &=4\cos\left(2t\right)\\y(t) &= 4\sin\left(2t\right)$

Ejemplo D

Dadas las siguientes ecuaciones paramétricas de un círculo, encuentra la ecuación estándar.

$F(t) & = (x(t),y(t)) \\x(t) &=12\cos\left(4\pi t\right)\\y(t) &= 12\sin\left(4\pi t\right)$

Solución: Nota que el radio es 12. Cuando escribes una ecuación en forma estándar, pierdes los datos de la velocidad a la que viaja el objeto por la trayectoria. En cambio, solo tienes la ecuación de la trayectoria. Por lo tanto, no necesitas considerar el $4\pi$ cuando escribes en forma estándar. La ecuación en forma estándar es:

$x^2+y^2=144$

Análisis del problema de la sección

El equipo de cross country de Forest Park High está practicando en una reserva forestal cercana. El equipo femenino corre en círculo mientras que el equipo masculino corre en una trayectoria elíptica. Las trayectorias tienen longitudes diferentes y los equipos corren a velocidades distintas. Imagina que la trayectoria del equipo femenino puede ser representada por la ecuación paramétrica

$F(t) &=(x(t),y(t)) \\x(t) &=100\cos\left(t\right)\\y(t) &= 100\sin\left(t\right)$

La trayectoria del equipo masculino puede ser representada por

$F(t) &=(x(t),y(t)) \\x(t) &=200\cos\left(\frac{t}{2}\right)\\y(t) &= 50\sin\left(\frac{t}{2}\right)$

¿Se encontrarán los equipos durante las primeras tres vueltas de su carreras?

Solución:

Para saber dónde se cruzarán las trayectorias, escribe cada ecuación en forma estándar.

La ecuación para la trayectoria del equipo femenino queda:

$x^2+y^2=(100)^2$

La ecuación para la trayectoria del equipo masculino queda:

$\frac{x^2}{(200)^2}+\frac{y^2}{(50)^2}=1$

Escribe la primera ecuación en términos de $y^2$ :

$y^2=(100)^2-x^2$

Ahora reemplaza $y^2$ en la segunda ecuación:

$\frac{x^2}{(200)^2}+\frac{(100)^2-x^2}{(50)^2}=1$

Resuelve $x$ :

$\frac{x^2}{(200)^2}+\frac{(100)^2-x^2}{(50)^2} &=1\\\frac{x^2}{40000}+\frac{10000-x^2}{2500} &=1\\x^2(2500)+40000(10000-x^2) &=(40000)(2500)\\2500x^2 +400000000-40000x^2 &=100000000\\-37500x^2 &=-300000000\\x^2 &=8000\\x &=\pm 89.44$

Ahora, resuelve una de las ecuaciones de $y$ .

$x^2+y^2 &=(100)^2\\8000+y^2 &=100^2\\8000+y^2 &=10000\\y^2 &=2000\\y &=\pm44.72$

Por lo tanto, las trayectorias circulares y elípticas se cruzan en 4 puntos diferentes:

$(89.44,44.72),(-89.44,44.72),(-89.44,-44.72)$ y $(89.44,-44.72)$

Ahora que sabes dónde se cruzan los objetos, necesitarás encontrar cuando se cruzan. Con el fin de resolver este problema, podemos usar 3,14 para $\pi$ .

Para encontrar las veces que cada equipo alcanza las intersecciones, necesitarás incluir cada grupo de puntos en las ecuaciones paramétricas originales. Recuerda, los grupos están corriendo 3 vueltas, por lo que necesitas encontrar las tres veces de cada intersección. Puedes hacer esto sumando el punto de la función al valor inicial de cada punto.

Comienza con la trayectoria del equipo femenino.

Recuerda que cada equipo está corriendo al contrario de las agujas del reloj en sus respectivas trayectorias. Para que los datos tengan sentido es bueno saber dónde están las mujeres en $t=0$ . Entonces:

$x(t) &=100 \cos(t)\\x(0)&=100\cos(0)\\x(0) &=100$

$y(t) &=50 \sin(t)\\y(0)&=50\sin(0)\\y(0) &=0$

Las mujeres empiezan su recorrido en (100, 0) y viajan contra el sentido de las agujas del reloj a partir de ese punto.

Ahora, puedes encontrar el número de veces que las mujeres alcanzan cada intersección. La función coseno tiene un periodo de $2\pi$ . Al considerar el periodo de la función, solo necesitas resolver dos intersecciones. Puedes usar la aritmética básica para encontrar las ocasiones restantes.

Comienza con (89.44, 44.72).

$x(t) &=100\cos(t)\\89.44 &=100\cos(t)\\.8944 &=\cos(t)\\\cos^{-1}(.8944)&=\cos^{-1}(\cos(t))\\.464 &=t$

El periodo del la función del coseno es $2\pi$ , por lo que las mujeres llegarán también a la intersección en $t=.464+2\pi$ y $t=.464+4\pi$ . Reemplazar 6.28 por $2\pi$ y 12.48 por $4\pi$ por 12.48 te permite ver que llegarán a la primera intersección en $t=.464, 6.744$ , a los $13.204$ minutos de carrera.

Ya que viajan en contra de las agujas del reloj, llegarán a la segunda intersección, (-89.44, 44.72).

$x(t) &= 100\cos(t)\\-89.44 &=100\cos(t)\\-.8944 &=\cos(t)\\\cos^{-1}(-.8944) &=\cos^{-1}(\cos(t))\\2.68 &=t\\2.68 +2\pi &=8.96\\2.68+4\pi &=15.24$

Llegarán a la segunda intersección en $t=2.68,8.96$ y $15.24$ .

Para saber cuándo llegarán los ciclistas a la tercera intersección, (-89.44, -44.72), es útil recordar que la función coseno es simétrica y periódica. Entonces, la tercera intersección, donde $\cos(t) =-.8944$ , ocurre a la misma distancia antes de $2\pi$ como ocurrió la segunda intersección luego de 0. Por lo tanto, la intersección tres ocurre en $t=2\pi-2.68$ , o $t=3.6$ . Para encontrar los tiempos de las siguientes dos vueltas, suma 6.28 y 12.56 para obtener 9.88 y 16.16

Por último, usa la simetría de la función coseno para encontrar los tiempos en que el equipo femenino alcanzará la cuarta intersección. Llegaron a la primera intersección .464 minutes luego de comenzar. Esto significa que llegarán a la cuarta intersección .464 minutos antes de $2\pi$ , o 5.82 después de comenzada la carrera. Ya que están corriendo 3 vueltas, también alcanzarán la intersección luego de 12.1 minutos y 18.38 minutos luego de comenzar la carrera.

Ahora, completa el mismo proceso de sustitución con las vueltas del equipo masculino en su trayectoria elíptica. Ten en cuenta que el equipo masculino completa una vuelta cada $4\pi$ minutos.

$x(t) &=200\cos\left(\frac{t}{2}\right)\\89.44 &=200\cos\left(\frac{t}{2}\right)\\.4472 &=\cos \left(\frac{t}{2}\right)\\\cos^{-1}(.4472)&=\cos^{-1}\left(\cos\left(\frac{t}{2}\right)\right)\\1.11 &=\frac{t}{2}\\2.22 &=t$

Al equipo masculino le toma el doble dar una vuelta al recorrido en comparación al equipo femenino. Por lo tanto, el equipo masculino pasará la primera intersección en 2.22, 14.78, y 27.34. Usando la simetría de la función coseno, encontrarás que pasan por la cuarta intersección a los 2.22 minutos antes de $4 \pi$ , o 10.34. Cruzarán la intersección en la segunda y tercera vuelta a los 22.9 y 35.46 respectivamente.

Ahora, resuelve la segunda intersección.

$x(t) &=200\cos \left(\frac{t}{2}\right)\\-89.44 &=200\cos \left(\frac{t}{2}\right)\\-.4472 &=200\cos \left(\frac{t}{2}\right)\\\cos^{-1}(-.4472) &= \cos^{-1}\left(\cos\left(\frac{t}{2}\right)\right)\\2.03 &= \frac{t}{2}\\t &=4.06$

Suma $4 \pi$ y $8 \pi$ para obtener los tiempos de las vueltas 2 y 3. El equipo masculino cruza la segunda intersección en 4.06, 16.62, y 29.18. Usa la simetría de la función coseno para encontrar los tiempos para la tercera intersección. Ya que el equipo masculino cruzó la segunda intersección en 4.06 y les toma $4 \pi$ minutos completar una vuelta, alcanzarán la tercera intersección en $4 \pi$ -4.06, o 8.5. Suma $4 \pi$ y $8 \pi$ para obtener los tiempos de las vueltas 2 y 3. El equipo masculino alcanzará la tercera intersección a los 8.5, 21.06, y 33.62 minutos.

Puede que quieras crear una tabla para organizar tus resultados, de forma que puedas leer fácilmente cuándo los equipos llegarán a cada intersección.

	Equipo femenino vuelta 1	Equipo femenino vuelta 2	Equipo femenino vuelta 3	Equipo masculino vuelta 1	Equipo masculino vuelta 2	Equipo masculino vuelta 3
(89.44, 44.72)	0.464	6.744	13.205	2.22	14.78	27.34
(-89.44, 44.72)	2.68	8.96	15.24	4.06	16.62	29.18
(-89.44, -44.72)	3.6	9.88	16.16	8.5	21.06	33.62
(89.44, -44.72)	5.82	12.1	18.38	10.34	22.9	35.46

Como puedes ver, los equipos no se encuentran durante las primeras tres vueltas de la práctica.

Vocabulario

Ecuación paramétrica – En una ecuación paramétrica, las variables $x$ e $y$ son definidas como funciones de una tercera variable, generalmente $t$ de tiempo.

Elipse – Forma con un eje mayor (más largo) y un eje menor (más corto). Hay dos focos en el eje mayor. Por cada punto en el perímetro de la elipse, la suma de las distancias desde el punto a cada uno de los focos se mantiene constante.

Círculo – Elipse en que ambos ejes tienen la misma longitud y ambos puntos focales están en el punto en donde los dos ejes se cruzan.

Práctica guiada

1. Escribe la ecuación para un círculo centrado en (4, 2) con un radio de 5 en forma estándar y en forma paramétrica.

2. Escribe la ecuación para la elipse representada por la ecuación $\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{100}=1$ en forma paramétrica. Imagina que a un objeto le toma $2\pi$ unidades de tiempo viajar alrededor de la elipse. ¿Dónde estará el objeto atravesando esta elipse cuando $t=2$ ?

3. Un planeta se mueve en una órbita elíptica representada por la ecuación $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1$ . El planeta completa la órbita cada $2 \pi$ unidades de tiempo. Un cinturón de asteroides se extiende por la línea $y=\frac{1}{2}x-3$ . ¿En qué momento el planeta pasa por el cinturón de asteroides durante su primera órbita?

Respuestas:

1. La ecuación estándar para un círculo con un centro en (0, 0) es $x^2+y^2=r^2$ , donde r es el radio del círculo. Para un círculo centrado en (4, 2) con un radio de 5, la ecuación estándar sería $(x-4)^2+(y-2)^2=25$ . La forma paramétrica de la ecuación de un círculo es:

$F(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=r \cos(t) +h\\y(t) &=r \sin(t) + k$

Por lo que la ecuación paramétrica de este círculo sería:

$F(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=5 \cos(t) +4\\y(t) &=5 \sin(t) + 2$

2. La forma paramétrica de la elipse es

$F(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &= a \cos t\\y(t) &= b \sin t$

Donde $2a$ y $2b$ son las longitudes de los ejes. Por lo tanto, la ecuación paramétrica de esta elipse sería:

$F(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &= 15 \cos t\\y(t) &= 10 \sin t$

Para encontrar dónde estará el punto cuando el tiempo es 2, incluye el 2 en la ecuación paramétrica y resuelve.

$x(t) &=15 \cos(t)\\x &=15 \cos(2)\\x &=-6.24\\y(t) &=10 \sin(t)\\y &=10\sin(2)\\y &=9.09$

El objeto estará en el punto (-6.24, 9.09).

3. Primero, resuelve las ecuaciones para encontrar los lugares en donde el cinturón de asteroides intersecta la órbita. Usa la sustitución y la fórmula cuadrática para encontrar las coordenadas:

$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25} &=1\\y &= \frac{1}{2}x-3\\&\frac{x^2}{36}+\frac{\left(\frac{1}{2}x-3\right)^2}{25} =1\\&25 x^2 + 9x^2 -108 x+324 =900\\&34 x^2 -108 x-576 =0$

$x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\x&=\frac{108 \pm \sqrt{900^2 -4(34)(576)}}{2(34)}\\x &=6, x=\frac{-48}{17}$

Ahora incluye $x=6$ en una de las ecuaciones para encontrar la coordenada de $y$ correspondiente:

$y &=\frac{1}{2}x-3\\y&=\frac{1}{2}(3)-3\\y&=0$

El primer punto de la intersección es (6, 0).

Ahora incluye $x=-\frac{48}{17}$ en una de las ecuaciones para encontrar la coordenada de $y$ correspondiente:

$y &= \frac{1}{2}x-3\\y &=\frac{1}{2}\left(\frac{-48}{17}\right)-3\\y&=\frac{-75}{17}$

El segundo punto de la intersección es $\left(-\frac{48}{17}, -\frac{75}{17}\right)$ .

Luego, escribe una ecuación paramétrica para la elipse.

$F(t) &=(x(t), y(t))\\x(t) &=6 \cos(t)\\y(t) &=5 \sin(t)$

Por último, incluye los dos grupos de coordenadas para encontrar los tiempos en que el planeta pasará a través del cinturón de asteroides.

$& (6,0)\\6 &=6\cos(t)\\1&=\cos(t)\\t&=0\\$

$& \left(\frac{-48}{17} , \frac{-75}{17}\right)\\& -\frac{48}{17} =6 \cos(t)\\& \quad \frac{-6}{17}=\cos t\\& \qquad t =2.06$

El planeta pasará por el cinturón de asteroides en $t=0$ y $t=2.06$ durante su primera órbita.

Práctica

1. Escribe una ecuación paramétrica para la elipse definida por la ecuación $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$ , donde un objeto da una revolución cada $4\pi$ unidades de tiempo.

2. Escribe una ecuación paramétrica para el círculo definido por la ecuación $x^2+y^2=16$ , donde un objeto da una revolución cada $8\pi$ unidades de tiempo.

3. Escribe una ecuación paramétrica para la elipse definida por la ecuación $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{256}=1$ , donde un objeto da una revolución cada unidades de tiempo $2\pi$ unidades de tiempo.

4. Escribe una ecuación paramétrica para la elipse definida por la ecuación $\frac{x^2}{400}+\frac{y^2}{196}=1$ , donde un objeto da una revolución cada $10\pi$ unidades de tiempo.

5. Dada la siguiente ecuación paramétrica de una elipse, escribe la ecuación en forma estándar. Luego, encuentra los focos de la elipse y dibuja la elipse.

$F(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=14\cos \left(\frac{t}{4}\right)\\y(t) &= 8 \sin \left(\frac{t}{4}\right)$

6. Dada la siguiente ecuación paramétrica de una elipse, escribe la ecuación en forma estándar. Luego, encuentra los focos de la elipse y dibuja la elipse.

$G(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=\cos \left(\frac{t}{3}\right)\\y(t) &= 2 \sin \left(\frac{t}{3}\right)$

7. Dadas las siguientes ecuaciones paramétricas de un círculo, escribe la ecuación en forma estándar. Dibuja el círculo.

$H(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=5\cos (3t)\\y(t) &= 5 \sin (3t)$

8. Escribe la ecuación para un círculo centrado en (1, 7) con un radio de 8 en forma estándar y en forma paramétrica.

9. Escribe la ecuación para un círculo centrado en (6, -9) con un radio de 12 en forma estándar y en forma paramétrica.

10. Escribe las siguientes ecuaciones paramétricas en forma estándar. Luego, dibuja la curva.

$M(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=\cos (t)\\y(t) &= -4 +2 \sin (t)$

11. Encuentra las ecuaciones paramétricas para el círculo $x^2+y^2-4x=0$ .

12. Encuentra las ecuaciones paramétricas para la elipse $x^2 + 4y^2 -2x =15$

Para los ejercicios 13 a 15: Un equipo de atletismo corre en trayectoria elíptica alrededor de una pista. La trayectoria está representada por la ecuación $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{49}=1$ . El equipo de atletismo recorre una vuelta cada $\pi$ minutos. Una manguera muy larga se extiende sobre toda la pista a lo largo de la línea $y=2x+1$ .

13. ¿En qué lugares el equipo de atletismo tendrá que saltar por sobre la manguera? Da respuestas aproximadas a la milésima más cercana.

14. Escribe una ecuación paramétrica para representar la trayectoria que el equipo de atletismo realiza.

15. ¿Cuándo el equipo de atletismo tendrá que saltar por sobre la manguera durante las primeras tres vueltas? Aproxima tus respuestas a la milésima más cercana.

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