Encontrar ecuaciones paramétricas de figuras cónicas: Hipérbolas

Objetivos

En esta sección aprenderás los conceptos matemáticos tras las hipérbolas. Verás las ecuaciones estándar para las hipérbolas y aprenderás a escribir y analizar las ecuaciones de hipérbolas en forma paramétrica.

Concepto

Un astrónomo observa la trayectoria de un cometa a través del sistema solar. Aunque a veces los cometas siguen una órbita elíptica y regresan periódicamente, este cometa sigue una trayectoria hiperbólica y no se espera que pase por el planeta Tierra otra vez. Al astrónomo le gustaría calcular la ruta del cometa y usar la información para predecir cuándo el cometa alcanzará su perihelio, esto es, el punto en su trayectoria más cercano al sol. También le gustaría saber qué tan cerca del sol pasará el cometa.

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https://www.youtube.com/watch?v=fr6nA0J5S5w

Orientación

Puede que recuerdes que una elipse es una sección cónica en donde la suma de las distancias entre los dos focos a cualquier punto de la elipse es constante. Una hipérbola es como una elipse vuelta hacia afuera. Para cualquier punto en la hipérbola, la diferencia entre las distancias de los focos es una constante. Como resultado, la hipérbola consta de dos líneas curvas, cada una infinita. Una hipérbola tiene dos asíntotas diagonales que la cruzan en su centro. Hay un foco dentro de cada línea curva.

Hipérbolas en forma estándar

Hay dos formas de ecuación estándar para la hipérbola – la forma horizontal y la forma vertical. En la forma horizontal de la hipérbola con un centro en (0, 0), la hipérbola es simétrica a lo largo del eje $y$ Ambos tipos de hipérbolas se muestran a continuación:

La ecuación de una hipérbola en forma horizontal es:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ , donde $y=\frac{b}{a}x$ y $y=\frac{-b}{a}x$ son las asíntotas de la hipérbola.

En la forma vertical de la hipérbola con un centro en (0, 0), la hipérbola es simétrica a lo largo del eje $x$ La ecuación de una hipérbola vertical puede ser representada como:

$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ , donde $x=\frac{b}{a}y$ y $x=-\frac{b}{a}y$ son las asíntotas de la hipérbola.

Para las hipérbolas con centros fuera del origen, Las ecuaciones son ligeramente distintas. Para una hipérbola horizontal con centro en $(h, k)$ , usa la fórmula $\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ con asíntotas en $y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h)$ . Para una hipérbola vertical con centro en $(h, k)$ usa $\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}$ con asíntotas en $x-h=\pm\frac{b}{a}(y-k)$ .

Hipérbolas en forma paramétrica

Hay dos maneras de escribir la forma paramétrica de una hipérbola. Puedes escoger la forma que más te acomode.

En la primera forma, la hipérbola horizontal puede ser representada por la ecuación :

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=a \sec(t)\\y(t)&=b \tan(t)$

Una hipérbola vertical puede ser representada por la ecuación:

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=b \tan(t)\\y(t)&=a \sec(t)$

La segunda forma de la ecuación paramétrica de la hipérbola usa dos funciones conocidas como seno hiperbólico $(\sinh)$ y coseno hiperbólico $(\cosh)$ . Estas funciones están definidas como:

$\sinh(x)&=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\\\cosh(x)&=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$

Puedes escribir una hipérbola horizontal en forma paramétrica usando estas funciones:

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=a \cosh(t)\\y(t)&=b \sinh(t)$

$x(t)&=-a \cosh(t)\\y(t)&=b \sinh(t)$

El primer grupo de parámetros traza la mitad derecha de la hipérbola, mientras que el segundo grupo la mitad izquierda. Esta forma de la ecuación paramétrica es especialmente útil para representar el movimiento de objetos que solo cruzan una mitad de la hipérbola.

Ejemplo A

Una hipérbola horizontal tiene el centro en (2, 4) y asíntotas con las ecuaciones $y-4=\pm\frac{3}{4}(x-2)$ . Escribe la ecuación para la hipérbola en forma estándar y en las dos formas paramétricas.

Solución: Primero debes encontrar los valores de $a$ y $b$ . La pendiente de las asíntotas es $\pm\frac{b}{a}$ , por lo que $a=4$ y $b=3$ . Incluye los valores de $a$ y $b$ junto con las coordenadas del centro de la hipérbola en la forma estándar de la ecuación. La forma estándar de la ecuación para esta hipérbola es:

$\frac{(x-2)^2}{16}-\frac{(y-4)^2}{9}=1$ .

Ahora , utilice las coordenadas del centro y de los valores para $a$ y $b$ escribir las formas paramétricas de la ecuación de la hipérbola:

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=4\sec(t)+2\\y(t)&=3\tan(t)+4$

Esta primera forma paramétrica traza toda la hipérbola a medida que $t$ se mueve va de 0 a $2\pi$ . Ahora encuentra las ecuaciones en la segunda forma.

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x_{rightside}(t)&=4\cosh(t)+2\\y_{rightside}(t)&=3\sinh(t)+4\\x_{leftside}(t)&=-4\cosh(t)+2\\y_{leftside}(t)&=3\sinh(t)+4$

Ejemplo B

Una vez que tienes las ecuaciones de la hipérbola, puede que te sea útil dibujarla. Esto es especialmente importante cuando quieres resolver problemas verbales que involucren un punto moviéndose a lo largo de una hipérbola. Dibuja la hipérbola representada por las ecuaciones del Ejemplo A.

Solución: Primero, marca el punto en el centro de la hipérbola (2,4):

Luego suma las dos asíntotas, $y-4=\pm\frac{3}{4}(x-2)$ :

Después, encuentra los focos de la hipérbola. Puedes usar la fórmula $c^2-a^2=b^2$ para encontrar los focos, donde $c$ es la distancia en la que el punto focal se encuentra con respecto al centro en el eje principal de la hipérbola.

$c^2-a^2&=b^2\\c^2-16&=9\\c^2&=25\\c&=\pm5$

Los focos estarán a 5 unidades a la derecha del centro y a 5 unidades a la izquierda del centro.

Marca los focos en la gráfica en (7, 4) y (-3, 4):

Ahora dibuja las dos mitades de la hipérbola, usando los focos y las asíntotas como guías.

Ejemplo C

¿Qué diferencias tienen las dos formas de hipérbola? Resuelve cada forma paramétrica de la hipérbola del Ejemplo A si $t=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$ . Puedes usar calculadora y aproximar las respuestas a la milésima más cercana.

Solución: La primera ecuación paramétrica era:

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=4\sec(t)+2\\y(t)&=3\tan(t)+4$

Resuelve la ecuación para los valores dados de $t$ y ordena tus resultados en una tabla:

$t$	$4\sec(t)+2$	$3\tan(t)+4$	$(x, y)$
0	6	4	(6, 4)
$\frac{\pi}{2}$	indefinido	indefinido	indefinido
$\pi$	-2	4	(-2, 4)
$\frac{3\pi}{2}$	indefinido	indefinido	indefinido
$2\pi$	6	4	(6, 4)

La segunda ecuación paramétrica era:

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x_{rightside}(t)&=4\cosh(t)+2\\y_{rightside}(t)&=3\sinh(t)+4\\x_{leftside}(t)&=-4\cosh(t)+2\\y_{leftside}(t)&=3\sinh(t)+4$

Resuelve la ecuación para los valores dados de $t$ y ordena tus resultados en otra tabla:

$t$	$4\cosh(t)+2$	$3\sinh(t)+4$	$(x, y)$	$-4\cosh(t)+2$	$3\sinh(t)+4$	$(x, y)$
0	6	4	(6, 4)	-2	4	(-2,4)
$\frac{\pi}{2}$	12,037	10,904	(12,037, 10,904)	-8,037	10,904	(-8,037, 10,904)
$\pi$	48,368	38,646	(48,368, 38,646)	-44,368	38,646	(-44,368, 38,646)
$\frac{3\pi}{2}$	224,654	170,963	(224,654, 170,963)	-220,654	170,968	(-220,654, 168,990)
$2\pi$	1072,987	807,235	(1072,987, 807,235)	-1068,987	807,235	(-1068,987, 807,235)

Nota que aunque ambas ecuaciones paramétricas representan la misma hipérbola, las ecuaciones representan distintos movimientos en la hipérbola. En la primera ecuación, a medida que pasa el tiempo, el objeto salta de una curva de la hipérbola a la otra. Esto deja la función indefinida un número infinito de veces.

En el segundo grupo de ecuaciones, un objeto solo se mueve por una línea a la vez. Estas ecuaciones pueden usarse para representar un movimiento continuo a lo largo de una mitad de la trayectoria hiperbólica. Estas ecuaciones son especialmente útiles para resolver problemas sobre la gravedad y el movimiento en el espacio.

Análisis del problema de la sección

El astrónomo del problema de la sección puede usar la ecuación paramétrica de la hipérbola para representar el movimiento del cometa. Primero, necesita escribir la ecuación que representa la trayectoria de su cometa en forma estándar.

Luego de utilizar una computadora para representar la trayectoria que tendrá el cometa según los su trayectoria actual, la científica se da cuenta de que la trayectoria del cometa es una hipérbola donde $a=3AU$ y $b=1AU$ . (Una UA, o unidad astronómica, es una unidad utilizada por los astrónomos para medir distancias dentro del sistema solar. Es igual a la distancia promedio entre la tierra y el sol). Esto significa que la ecuación para la trayectoria del cometa puede ser representada por $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{1}=1$ . Ya que no hay un plano coordenado en el espacio, la astrónoma puede contar el punto (0, 0) de su plano coordenado como el centro de la hipérbola para simplificar sus cálculos. El cometa solo atraviesa una mitad de la hipérbola, por lo que la astrónoma puede representar su trayectoria usando solo la mitad izquierda de la hipérbola. El foco de este lado será el sol.

Ya que solo está usando la mitad de la hipérbola para representar la trayectoria del cometa, la científica debería usar la segunda forma de la ecuación paramétrica de la hipérbola. Debido a que la trayectoria del cometa está más cercana al lado negativo, ella puede usar la siguiente ecuación paramétrica donde el tiempo se mide en días:

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=-3\cosh(t)\\y(t)&=\sinh(t)$

El cometa alcanzará su perihelio, el punto en su trayectoria más cercano al sol, cuando $y=0$ . Ahora, el cometa está en $x=-100$ . ¿Cuándo el cometa alcanzará su perhelio?

$x(t)&=-3\cosh(t)\\-100&=-3\cosh(t)\\\frac{100}{3}&=\cosh(t)\\\cosh^{-1}\frac{100}{3}&=t\\t&=\pm4.19948\\y(t)&=\sinh(t)\\0&=\sinh(t)\\\sinh^{-1}(0)&=t\\t&=0$

La diferencia de tiempo entre el cometa en $x=-100$ y en $y=0$ es de 4.19948 días. Por lo tanto, el cometa alcanzará su perihelio en 4.19948 días.

Vocabulario

Hipérbola – Grupo de dos curvas en un plano donde, para cualquier punto de las curvas, la diferencia entre las distancias de los dos focos se mantiene constante. Una hipérbola está limitada por dos asíntotas cuyas ecuaciones tienen la forma $y=-\frac{b}{a}x$ .

Asíntota &Línea a la que una función se acerca, pero que nunca cruza.

Senh – Función del seno hiperbólico. Mientras $(\sin(x),\cos(x))$ traza el círculo, $(\sinh(x),\cosh(x))$ traza la hipérbola. Se expresa. $\sinh(x)$ como $\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$ .

Cosh –Función del coseno hiperbólico. Se expresa. $\cosh (x)$ como $\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$ .

Práctica guiada

1. Escribe la ecuación para la siguiente hipérbola en las dos formas paramétricas:

$\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{25}=1$

2. Escribe la otra mitad de la función paramétrica para la hipérbola a continuación.

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=8\cosh(t)+7\\y(t)&=6\sinh(t)+3$

3. Escribe la forma estándar de la ecuación para la hipérbola a continuación. Luego, dibuja la hipérbola.

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=2\sec(t)+7\\y(t)&=\tan(t)-8$

4. Una sonda espacial viaja a Júpiter en una trayectoria que puede ser representada por el lado positivo de la hipérbola

$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$

¿Cuáles serán sus coordenadas cuando $t=12$ ?

Respuestas:

1. La forma estándar de la hipérbola es $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ . Para esta hipérbola, $a=7, b=5$ .

Por lo que la primera forma de la ecuación paramétrica sería:

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=7\sec(t)\\y(t)&=5\tan(t)$

La segunda forma tiene dos partes, una para el lado derecho y una para el lado izquierdo. La forma del lado derecho es:

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=7\cosh(t)\\y(t)&=5\sinh(t)$

La forma para el lado izquierdo es:

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=-7\cosh(t)\\y(t)&=5\sinh(t)$

2. La ecuación dada es la ecuación paramétrica para el lado derecho de la hipérbola. La ecuación para el lado izquierdo tiene la forma:

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&= - a\cosh(t)\\y(t)&=b\sinh(t)$

Entonces,

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=-8\cosh(t)+7\\y(t)&=6\sinh(t)+3$

3. Primero, buscamos los valores de $a, b,$ y ubicamos el centro de la hipérbola. En la ecuación puedes ver que $a$ es 2, $b$ es 1, y el centro está en (7, -8).

Incluye estos valores en la ecuación estándar de la hipérbola:

$\frac{(x-7)^2}{4}-\frac{(y+8)^2}{1}=1$

Grafica el punto central en (7, -8):

Ahora encuentra las ecuaciones de las asíntotas.

$y-k&=\pm\frac{b}{a}(x-h)\\y-(-8)&=\pm\frac{2}{1}(x-7)\\y+8&=\pm2(x-7)$

Grafica las asíntotas:

Grafica las vértices de la hipérbola en $(7+a, -8)$ y $(7-a, -8)$ . Esto es en (9, -8) y (5, -8).

Ahora encuentra los focos. Los focos estarán a $c$ unidades a la izquierda y derecha del centro. Para encontrar $c$ , usa la ecuación:

$c^2-a^2&=b^2\\c^2-4&=1\\c^2&=5\\c&=\sqrt{5}$

Grafica los focos en $\left ( 7+\sqrt{5}, -8 \right )$ y $\left ( 7-\sqrt{5}, -8 \right )$ :

Ahora dibuja la hipérbola:

4. Primero escribe la ecuación en forma paramétrica para el lado derecho de la hipérbola.

$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}&=1\\F(t)&=(x(t), y(t))\\x(t)&=4\cosh(t)\\y(t)&=2\sinh(t)$

Ahora resuelve la ecuación paramétrica para $t=12$ .

$x(t)&=4\cosh(t)\\x(t)&=4 \left ( \frac{1}{2} \right ) (e^t + e^{-t})\\x(t)&=2(e^{12}+e^{-12})\\x(t)&=325590.58\\y(t)&=2\sinh(t)\\y(t)&=2 \left ( \frac{1}{2}\right ) (e^{12}-e^{-12})\\y(t)&=162754.79\\(x, y)&=(325590.58, 162754.79)$

Práctica

Para los ejercicios 1 a 4: Escribe la ecuación para la siguiente hipérbola en las dos formas paramétricas.

1. $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{4}=1$

2. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{100}=1$

3. $\frac{(x-1)^2}{25}-\frac{(y+2)^2}{64}=1$

4. $\frac{(x+7)^2}{100}-\frac{(y-9)^2}{81}=1$

Para los ejercicios 5 a 7: ¿La ecuación paramétrica muestra la mitad derecha o la mitad izquierda de la hipérbola? Escribe la otra mitad de la función paramétrica para la hipérbola a continuación.

5. $G(t)&=(x(t), y(t))\\x(t)&=-3\cosh(t)+4\\y(t)&=5\sinh(t)+6$

6. $H(t)&=(x(t), y(t))\\x(t)&=12\cosh(t)-1\\y(t)&=8\sinh(t)+3$

7. $J(t)&=(x(t), y(t))\\x(t)&=-\cosh(t)+1\\y(t)&=8\sinh(t)+12$

Para los ejercicios 8 a 12: Escribe la forma estándar de la ecuación para la hipérbola. Luego, dibuja la hipérbola.

$K(t)&=(x(t), y(t))\\x(t)&=\sec(t)+4\\y(t)&=3\tan(t)+1$

$L(t)&=(x(t), y(t))\\x(t)&=12\sec(t)+6\\y(t)&=2\tan(t)-5$

10.

$M(t)&=(x(t), y(t))\\x(t)&=\sec(t)-2\\y(t)&=6\tan(t)+4$

11.

$N(t)&=(x(t), y(t))\\x(t)&=12\sec(t)\\y(t)&=4\tan(t)$

12.

$P(t)&=(x(t), y(t))\\x(t)&=2\sec(t)-3\\y(t)&=7\tan(t)-10$

13. La trayectoria de un objeto puede ser representada por el lado negativo de la hipérbola

$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{64}=1$

¿Cuáles serán sus coordenadas cuando $t=10$ ?

14. La trayectoria de un objeto puede ser representada por el lado positivo de la hipérbola

$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{121}=1$

¿Cuáles serán sus coordenadas cuando $t=4$ ?

15. Una hipérbola horizontal tiene el centro en (1, -6) y las asíntotas con pendientes de $\pm\frac{4}{5}$ . Escribe la ecuación para la hipérbola en forma estándar y en las dos formas paramétricas.

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