Encontrar ecuaciones paramétricas de figuras cónicas: Parábolas

Objetivos

En esta sección aprenderás a escribir ecuaciones parabólicas en forma estándar. También aprenderás a encontrar la forma estándar de una parábola a partir de su forma paramétrica. Usarás las funciones parabólicas en su forma paramétrica para resolver problemas verbales.

Concepto

Bob juega béisbol en la posición de jardín. Ya conoce a los bateadores de su liga muy bien y ha notado que Mark siempre le pega a la pelota casi a la misma velocidad y el mismo ángulo. ¿Puede Bob escribir una ecucación para saber qué tanto se tiene que agachar luego de que Mark la golpee?

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https://www.youtube.com/watch?v=thiWHs0TRbA

Orientación

Anteriormente aprendiste sobre las parábolas en la forma $y=(x-h)^2-k$ , donde $(h,k)$ es la vértice de la parábola. Las parábolas representan muchos fenómenos naturales, incluyendo el movimiento de objetos afectados por la gravedad, la cantidad de reactivos en una reacción química y cómo las poblaciones crecen o disminuyen en comparación a otras. Algunas veces los científicos necesitan saber cómo dos variables cambian con respecto al tiempo. Para registrar cómo las variables cambian a lo largo del tiempo, los científicos pueden escribir ecuaciones en forma paramétrica.

Se pueden usar distintas ecuaciones paramétricas para representar una sola parábola. Por ejemplo, dos objetos pueden viajar en la misma trayectoria parabólica a distintas velocidades.

Cuando escribes una ecuación en forma paramétrica escribes $x$ e $y$ como funciones de una tercera variable, generalmente $t$ de tiempo. La ecuación resultante queda así:

$F(t) = (x(t), y(t))$ , donde $x(t)$ e $y(t)$ son funciones de una sola variable, $t$ .

Por ejemplo, la parábola $y=\frac{1}{4}x^2+3$ puede ser expresada por las siguientes ecuaciones paramétricas:

$F(t) &=(x(t), y(t))\\x(t) &=2t\\y(t) &=t^2+3$

También puede ser expresada por la siguiente ecuación paramétrica

$G(t) &=(x(t), y(t))\\x(t) &=4t\\y(t) &=4t^2+3$

Ejemplo A

Dibuja la parábola descrita por la ecuación paramétrica

$F(t) &=(x(t), y(t))\\x(t) &=5t\\y(t) &=20t+5t^2$

Solución: Para dibujar la parábola necesitas escribirla en forma estándar. Puedes hacerlo eliminando $t$ de la ecuación. Resuelve una ecuación para $t$ , e incluye ese valor de $t$ en la segunda ecuación.

$x(t) &=5t\\\frac{x}{5} &=t\\y(t) &=20t+5t^2\\y(t) &=20\left(\frac{x}{5}\right) +5\left(\frac{x}{5}\right)^2\\y &=4x +\frac{5x^2}{25}\\y &=\left(\frac{x^2}{5}\right)+4x\\y &=\frac{1}{5} (x^2+20x)$

Ahora completa el cuadrado para escribir la ecuación en forma estándar.

$y &= \frac{1}{5}(x^2+20x)\\y &=\frac{1}{5}(x^2+20 x+100-100)\\y &=\frac{1}{5}(x^2+20 x+100)-20\\y+20 &=\frac{1}{5}(x+10)^2$

El vértice de la parábola está en (-10, -20). Ahora puedes encontrar los interceptos de $x$ e $y$ para que te ayuden en el dibujo. Para encontrar el intercepto de $y$ resuelve $y$ cuando $x$ es 0.

$y+20 &=\frac{1}{5}(x+10)^2\\y+20 &=\frac{1}{5}(0+10)^2\\y+20 &=\frac{1}{5} 100\\y+20 &=20\\y&=0$

El intercepto $y$ de esta parábola está en (0, 0). Para encontrar los interceptos de $x$ iguala $y$ a 0 y resuelve.

$y+20 &=\frac{1}{5}(x+10)^2\\0+20 &=\frac{1}{5}(x+10)^2\\20&=\frac{1}{5}(x+10)^2\\100 &=(x+10)^2\\\sqrt{100} &=\sqrt{(x+10)^2}\\\pm 10 &= x+10\\x&=0\\x&=-20$

Los interceptos de $x$ de esta parábola están en (0, 0) y (-20, 0). Usa la información para dibujar una gráfica.

Ejemplo B

A menudo una ecuación paramétrica solo representará una parte de la parábola. Necesitarás encontrar el rango de valores que corresponden al problema que intentas solucionar. Por ejemplo, una ecuación que represente el movimiento de un proyectil es solo válida hasta que el proyectil toca tierra. En este punto, el movimiento del proyectil ya no sigue una trayectoria parabólica.

Imagina que un clavadista corre y salta desde un acantilado de 100 metros de alto al Mar Mediterráneo. Hasta el momento en que toca el agua, su trayectoria puede ser representada por una ecuación paramétrica:

$F(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=5.5t\\y(t) &=-5 t^2 +100$

¿Para qué valores de $t$ es válida esta ecuación paramétrica?

Solución: El tiempo comienza en 0 y la ecuación deja de ser válida cuando toca el agua, es decir, cuando $y$ es 0. Por lo tanto, para encontrar los valores de $t$ , sustituye $y(t)$ por 0.

$y(t) &=-5t^2 +100\\0 &=-5t^2 +100\\-100 &=-5t^2\\20 &=t^2\\\pm 2\sqrt{5} &=t$

Un valor negativo de $t$ no tiene sentido en el contexto de este problema, por lo que $t = 2\sqrt{5}$ .

En este punto el clavadista toca el agua. Esta ecuación paramétrica es válida para valores de $t$ en el intervalo de $t= 0$ a $t=2\sqrt{5}$ .

Ejemplo C

Un biólogo marino descubre que la concentración de algas y la población de peces en un cierto estanque específico puede ser representada por una ecuación paramétrica:

$F(t) &=(x(t), y(t))\\x(t) &= t^2 +10\\y(t) &=3t$

Escribe la ecuación en forma estándar y luego grafica.

Solución: Esta ecuación representa una parábola con eje horizontal en vez de un eje vertical. Elimina $t$ para dejar la ecuación con los términos $x$ e $y$ .

$y(t) &= 3t\\\frac{y}{3} &=t\\x(t) &=\left(\frac{y}{3}\right)^2 +10\\x(t) &=\frac{1}{9}y^2 +10\\x-10 &=\frac{1}{9}y^2$

La parábola tiene un vértice en (10, 0). Solo necesitas dibujar el lado positivo de la parábola, ya que las poblaciones no pueden ser negativas.

Análisis del problema de la sección

Bob puede escribir una ecuación paramétrica para representar el vuelo de la pelota una vez que deja el bate de Mark.

Supón que el bate está a 1.3 metros del suelo cuando la pelota lo golpea, que la pelota viaja a 10 m/s horizontalmente y 30 m/s verticalmente y que la aceleración de la gravedad es $10 \ m/s^2$ . Si Bob mide $5^\prime 10^{\prime\prime}$ de alto, entonces atrapará la pelota cuando esté a unos 1.78 metros del suelo. La ecuación para el movimiento de la pelota será:

$F(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=10 t\\y(t) &=30t + \frac{1}{2}(-10)t^2 +1.3$

Para saber cuándo la pelota estará a 1.78 metros del suelo, iguala $y$ a 1.78 y resuelve $t$ .

$y(t) &= 30t + \frac{1}{2} (-10)t^2+1.3\\1.78 &=30t-5t^2+1.3\\0 &=-5t^2 +30t-.48$

Usa la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones:

$0 &= -5t^2 +30t-.48\\t&=\frac{-30 \pm \sqrt{900+9.6}}{-10}\\t&= \frac{-30\pm 30.16}{-10}\\t &=6.016$

Solo las soluciones positivas de la ecuación importan, por lo que Bob tiene cerca de 6 segundos para ubicarse y atrapar la pelota de Mark.

Vocabulario

Parábola – Curva plana con una ecuación en la forma $y-k=C(x-h)^2$ si tiene una línea de simetría vertical y $x-h=C(y-k)^2$ si tiene una línea de simetría horizontal. $(h,k)$ es el centro de la parábola.

Ecuación paramétrica – Ecuación que define una función de la variable $t$ como una combinación de otras dos funciones, de forma que $F(t) = (x(t), y(t))$ .

Práctica guiada

1. Escribe la forma estándar de la parábola descrita por:

$F(t) &= (x(t),y(t))\\x(t) &= \frac{1}{2} t+3\\y(t) &= 4t^2-1$

2. Una increíble rana salta una gran distancia. La ecuación paramétrica que representa el salto es

$F(t) &= (x(t), y(t))\\x(t) &= .5t\\y(t) &= 3t - 5t^2$

¿Cuánto tiempo está la rana en el aire? ¿Qué tan lejos salta?

3. Dibuja la parábola descrita por la siguiente ecuación paramétrica.

$F(t) &= (x(t),y(t))\\x(t) &= 5 t+3\\y(t) &= 2t^2-5$

Respuestas:

1. Elimina $t$ para dejar la ecuación con los términos $x$ e $y$ . Ahora completa el cuadrado para escribir la ecuación en forma estándar.

$x-3 &=\frac{1}{2}t\\2x-6 &=t\\y(t) &=4t^2-1\\y &=4(2x-6)^2-1\\y &=4(4x^2 -24x+36)-1\\y &=16x^2 -96x+144-1\\y &=16x^2-96x+143\\y &= 16(x^2 -6x+9)+143-144\\y+1 &= 16(x-3)^2$

La parábola tiene una línea de simetría vertical y un vértice en (3, -1).

2. Primero, busca cuánto tiempo pasa antes de que la rana toque tierra nuevamente resolviendo $t$ cuando $y$ es 0.

$y(t) &=3t - 5t^2\\0 &=3t - 5t^2$

Usa la fórmula cuadrática para resolver $t$ .

$t=\frac{-3\pm \sqrt{9+4(5)(0)}}{-10}$

La increíble rana estuvo en el aire por 0,6 segundos.

Ahora, incluye el 0,6 en $x(t)$ para encontrar la distancia horizontal que recorrió la rana.

$x(t) &=.5t\\x(t) &=.5(.6)\\x(t) &=.3$

La increíble rana saltó una distancia de 0,3 miserables metros.

3. Primero escribe la ecuación en forma estándar:

$x(t) &=5t+3\\x-3 &=5t\\\frac{1}{5}(x-3) &=t\\y(t) &= 2t^2-5\\y(t) &=2\left(\frac{1}{5}(x-3)\right)^2-5\\y+5 &=\frac{2}{25}(x-3)^2$

El vértice de la parábola está en (3, -5). Ahora puedes encontrar los interceptos de $y$ e $x$ para que te ayuden en el dibujo.

$y+5 &=\frac{2}{25}(x-3)^2\\y+5 &=\frac{2}{25}(0-3)^2\\y+5 &=\frac{18}{25}\\y &=-4.28\\(0,&-4.28)$

$y+5 &=\frac{2}{25}(x-3)^2\\0+5 &=\frac{2}{25}(x-3)^2\\\frac{125}{2} &=(x-3)^2\\\pm \frac{5\sqrt{10}}{2} &=x-3\\(-4.91,0)&;(10.91,0)$

Dibuja la gráfica.

Práctica

Para los ejercicios 1 a 4: En la sección de Orientación señalamos que la parábola $y = \frac{1}{4}x^2+3$ puede expresarse como las siguientes ecuaciones paramétricas:

$F(t) &=(x(t), y(t))\\x(t) &= 2t\\y(t) &= t^2+3$

$G(t) &= (x(t), y(t))\\x(t) &=4t\\y(t) &= 4t^2 +3$

1. Comprueba que tanto $F(t)$ y $G(t)$ representan la parábola $y = \frac{1}{4} x^2+3$ .

2. ¿En qué momento un objeto en $F(t)$ alcanzaría (2, 4)? ¿En qué momento alcanzaría (4, 7)?

3. ¿En qué momento un objeto en $G(t)$ alcanzaría (2, 4)? ¿En qué momento alcanzaría (4, 7)?

4. ¿Qué tan rápido es un objeto que se mueve a lo largo de la parábola de acuerdo a $G(t)$ en comparación a $F(t)$ ?

Para los ejercicios 5 a 7: Escribe la forma estándar de cada parábola:

5. $H(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &= t+6\\y(t) &=3t^2 -5$

6. $J(t) &=(x(t), y(t))\\x(t) &=\frac{1}{4}t-1\\y(t) &= 3t^2$

7. $K(t) &=(x(t), y(t))\\x(t) &= \frac{1}{4} t\\y(t) &=t^2-1$

Para los ejercicios 8 a 10: Dibuja la parábola descrita por la ecuación paramétrica dada:

8. $L(t) &=(x(t), y(t))\\x(t) &=2t+5\\y(t) &=3t^2 -3$

9. $M(t) &=(x(t), y(t))\\x(t) &=2t^2 -6\\y(t) &=5t$

10. $N(t) &=(x(t), y(t))\\x(t) &=6t+1\\y(t) &=t^2$

Para los ejercicios 11 a 13: Un auto cae de un acantilado de 30 metros de alto. Hasta el momento en que toca tierra, su trayectoria está representada por la ecuación paramétrica:

$P(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=12t\\y(t) &=\frac{1}{2}(-10)t^2+30$

11. ¿Cuándo el auto tocará tierra? ¿Para qué valores de $t$ es válida esta ecuación paramétrica?

12. Escribe la ecuación paramétrica en forma estándar y grafica la situación.

13. Si el acantilado es perpendicular a la tierra de abajo, ¿Qué tan lejos de la base del acantilado aterrizará el auto?

14. Encuentra una ecuación paramétrica para representar la parábola $y=2x^2+5$ .

15. Encuentra otro ejemplo de ecuación paramétrica para representar la parábola $y= 2x^2+5$ .

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