Formas paramétricas y cálculo: Diferencias

Objetivos

En esta sección aprenderás a diferenciar las ecuaciones de las curvas dadas en forma paramétrica. Encontrarás las ecuaciones para líneas tangentes a las curvas paramétricas para el tiempo $t$ . Usarás estas herramientas para resolver problemas relacionados al movimiento en una trayectoria curva.

Concepto

María ha puesto la llave de su casa en un mosquetón. Mientras estudia para su exámen de cálculo, gira el mosquetón en su dedo. Una llave se separa del anillo y vuela fuera del mosquetón, cayendo en la habitación. El suelo de María está cubierto de papeles y ropa sucia. ¿Cómo puede agilizar la búsqueda y encontrar la llave?

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Orientación

Ahora ya debes estar acostumbrado a encontrar las derivadas de las funciones con términos $y$ y $x$ . Puede que recuerdes que la derivada de una función en el punto $(x,y)$ da como resultado la pendiente de la línea que forma una tangente con la función en dicho punto. También puede que recuerdes que la pendiente de una función es el cambio en el valor de $y$ de la función dividido por el cambio en el valor de $x$ de la función.

Ya que la función paramétrica es una función en la forma $F(t)= (x(t), y(t))$ donde $x(t)$ e $y(t)$ son en sí mismas funciones, puedes expresar la derivada de una función paramétrica en el punto $t$ como $\frac{y^\prime (t)}{x^\prime (t)}$ . Es decir, puedes encontrar las derivadas de $y(t)$ y $x(t)$ , para luego dividir. Cuando diferencias una función paramétrica, usas las misas identidades y técnicas que usaste para diferenciar funciones escritas con los términos $x$ y $f(x)$ .

Ejemplo A

Dada la función paramétrica

$F(t)&= (x(t), y(t))\\x(t) & = 4t + 7\\y(t) & = 10t^2-3t$

Encuentra la pendiente de la línea tangente a la curva cuando $t=7$ .

Solución: Primero encuentra la derivada de $x(t)$ : $x^\prime (t)=4$

Ahora encuentra la derivada de $y(t)$ : $y^\prime (t)=20t-3$

Divide para encontrar la derivada de $F(t)$ : $\frac{y^\prime (t)}{x^\prime (t)} = \frac{20t-3}{4}$

Resuelve cuando $t=7$ :

$\frac{y^\prime (t)}{x^\prime (t)} = \frac{20(7)-3}{4} = \frac{137}{4}$

La pendiente de la línea tangente a la curva cuando $t=7$ es $\frac{137}{4}$ .

Ejemplo B

Encuentra la ecuación de la línea tangente a la siguiente elipse cuando $t=\frac{\pi}{4}$ .

$F(t)&= (x(t), y(t))\\x(t) & = 4\cos (t)\\y(t) & = -6 \sin (t)$

Solución: Primero usa las derivadas de funciones trigonométricas para encontrar $x^\prime (t)$ e $y^\prime (t)$ .

$x^\prime (t) & = -4\sin (t)\\y^\prime (t) & = -6 \cos (t)$

Divide para encontrar la derivada de $F(t)$ :

$\frac{y^\prime (t)}{x^\prime (t)} = \frac{-6 \cos (t)}{-4\sin (t)}$

Resuelve la derivada cuando $t=\frac{\pi}{4}$ :

$\frac{y^\prime (t)}{x^\prime (t)} = \frac{-6 \cos \frac{\pi}{4}}{-4\sin \frac{\pi}{4}} = \frac{3}{2}$

Por lo tanto, la pendiente de la línea tangente a la elipse es $\frac{3}{2}$ en el tiempo $\frac{\pi}{4}$ .

Ahora debes encontrar los valores de $x(t)$ e $y(t)$ para el tiempo $\frac{\pi}{4}$ .

$x \left ( \frac{\pi}{4} \right ) & = 4 \cos \left ( \frac{\pi}{4} \right ) = 2 \sqrt{2}\\y \left ( \frac{\pi}{4} \right ) & = -6 \sin \left ( \frac{\pi}{4} \right ) = -3 \sqrt{2}$

Por lo tanto, $(x(t), y(t)) = \left ( 2 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2} \right )$ cuando $t = \frac{\pi}{4}$ . Ahora que tienes un punto y la pendiente puedes escribir una ecuación en forma punto-pendiente:

$y- \left ( -3\sqrt{2} \right )=\frac{3}{2} \left ( x-2\sqrt{2} \right )$

$y + 3\sqrt{2}=\frac{3}{2} \left ( x-2\sqrt{2} \right )$

Ejemplo C

En el carnaval Cheapskate Charlie's Carnival of Fun, el asiento de una atracción está atado a una cuerda. El Fortachón Steve usa la cuerda para hacer girar el asiento. El movimiento del asiento puede ser representado por las siguientes ecuaciones paramétricas:

$F(t)&= (x(t), y(t))\\x(t) & = 6\cos (\pi t)\\y(t) & = 6 \sin (\pi t)$
Desaforunadamente durante el martes, el Fortachón Steve comió una grasienta pizza y no se lavó las manos antes de volver a su trabajo. Como resultado, soltó la cuerda pasados $\frac{\pi}{6}$ segundos del giro. El asistente al carnaval voló en tangente al círculo. ¿Qué ecuación representa su vuelo?

Solución: Encuentra la pendiente de la línea tangente al círculo en el punto donde $t=\frac{\pi}{6}$ .

$F(t)&= (x(t), y(t))\\x(t) & = 6\cos (\pi t)\\y(t) & = 6 \sin (\pi t)\\x^\prime (t) & = -6 \sin (\pi t)\\y^\prime (t) & = -6\cos (\pi t)\\\frac{y^\prime (t)}{x^\prime (t)} & = \frac{-6\cos (\pi t)}{-6 \sin (\pi t)}$

Ahora resuelve la derivada en $\frac{\pi}{6}$ .

$\frac{y^\prime (t)}{x^\prime (t)} = \frac{-6\cos (\pi t)}{-6 \sin (\pi t)} = \frac{-6\cos \frac{\pi^2}{6}}{-6 \sin \frac{\pi^2}{6}} = - .074274$

Resuelve la ecuación original en $\frac{\pi}{6}$ para que puedas encontrar los valores de $x\left ( \frac{\pi}{6} \right )$ e $y\left ( \frac{\pi}{6} \right )$ .

$F(t)&= (x(t), y(t))\\x(t) & = 6\cos (\pi t)\\y(t) & = 6 \sin (\pi t)\\x \left ( \frac{\pi}{6} \right ) & = 6 \cos \left ( \frac{\pi^2}{6} \right ) = -.4444\\y \left ( \frac{\pi}{6} \right ) & = 6 \sin \left ( \frac{\pi^2}{6} \right ) = 5.9835$

Ahora usa la forma punto-pendiente para escribir la ecuación para la línea que representa la trayectoria de la desafortunada asistente del festival.

$y - 5.9835=-.074274(x-.4444)$ representa la trayectoria de la asistente que fue arrojada por el Fortachón Steve.

Análisis del problema de la sección

Ahora estás listo para ayudar a María a encontrar sus llaves, o al menos agilizar la búsqueda. El problema de las llaves es básicamente el mismo problema que el del Fortachón Steve. Sin embargo, mientras que el círculo de Steve tenía metros de ancho, las llaves de María volaron en un círculo que puedes medir en centímetros. Esto no cambia la manera en que resuelves el problema – solo recuerda que estas ecuaciones están definidas en centímetros en vez de metros.

Imagina que el radio del círculo de María (las llaves con el mosquetón) es de 10 centímetros. Las llaves da cerca de una revolución por segundo. Esto significca que puedes escribir una ecuación paramétrica para la trayectoria de las llaves mientras giran en su dedo. La siguiente ecuación puede representar el movimiento de las llaves.

$F(t)&= (x(t), y(t))\\x(t) & = 10\cos (2\pi t)\\y(t) & = 10 \sin (2\pi t)$

Multiplicar $t$ por $2\pi$ significa que cuando pasa 1 segundo las llaves han dado una revolución. Imagina que las llaves volaron del dedo de maría en la mitad de un giro, cuando $t$ es 0,5.

Ahora encuentra la derivada de la ecuación y su valor cuando $t$ es 0,5.

$\frac{y^\prime (t)}{x^\prime (t)} = \frac{10\cos (2\pi t)}{-10 \sin (2\pi t)}$

Cuando $t=0.5$ :

$\frac{y^\prime (0.5)}{x^\prime (0.5)} = -\frac{\cos (\pi)}{\sin (\pi)} = undefined$

Nota que $\sin(\pi)$ es 0, lo que significa que pendiente es indefinida. Esto significa que las llaves volaron siguiendo una línea vertical que corre paralela al eje $y$ de tu plano coordenado. La ecuación de la línea tendrá la forma:

$x=K$ donde $K$ es una constante. Para encontrar el valor de $K$ , encuentra el valor de $x$ cuando $t$ es 0,5.

$x(.5) & = 10 \cos (2 \pi (.5))\\x(.5) & = 10 \cos (\pi)\\x(.5) & = 10 (-1)\\x(.5) & = -10$

Las llaves volarán y caerán en algún punto de la línea $x=-10$ .

Vocabulario

Ecuación paramétrica – Ecuación con la forma $F(t)= (x(t), y(t))$ , donde $x$ e $y$ están definidas como funciones de una tercera variable, generalmete $t$ o $\theta$ .

Derivada – Ecuación de la pendiente de una línea tangente para una función dada. Puedes encontrar la derivada de una función mediante el proceso de diferenciación. Para encontrar la derivada de la ecuación paramétrica, encuentra las derivadas para $x(t)$ e $y(t)$ y luego divide $y(t)$ por $x(t)$ .

Práctica guiada

1. Una función está definida por la siguiente ecuación paramétrica. Encuentra la derivada y luego resuelve cuando $t=3$ .

$F(t)&= (x(t), y(t))\\x(t) & = t^4+2\\y(t) & = \ln (t)$

2. Encuentra la ecuación de la línea tangente a la siguiente elipse cuando $t = \frac{\pi}{3}$ . Imagina que un objeto da una revolución alrededor de la elipse cada $2\pi$ unidades de tiempo.

$\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$

3. Encuentra la pendiente de la línea tangente a la hipérbola representada por la ecuación siguiente en $t=\frac{\pi}{6}$ :

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=5 \sec (t)\\y(t)&= 4 \tan(t)$

Respuestas:

1. Primero, corrobora que las funciones pueden ser diferenciadas cuando $t=3$ . $\ln (t)$ es indefinida para todos los números menores o iguales a 0. Sin embargo, puedes diferenciar $\ln (t)$ cuando $t=3$ . Ahora encuentra la derivada de $F(t)$ .

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=t^4+2\\y(t)&= \ln (t)\\x^\prime (t)&=4t^3\\y^\prime (t)&=\frac{1}{t}\\\frac{y^\prime(t)}{x^\prime(t)} &= \frac{1}{4t^3} = \frac{1}{4t^4}$

Resuelve la derivada en $t=3$ para obtener:

$\frac{1}{4t^4}=\frac{1}{4(3^4)}=\frac{1}{324}$

2. Para encontrar la tangente de $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$ en $t=\frac{\pi}{3}$ , primero debes escribir la ecuación en forma paramétrica.

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&= 8 \cos (t)\\y(t)&=4 \sin (t)$

Ahora encuentra $x^\prime(t)$ e $y^\prime(t)$ .

$x(t)&= 8 \cos (t)\\x^\prime(t)&= -8 \sin(t)\\y(t)&=4 \sin(t)\\y^\prime(t)&=4\cos(t)\\\frac{y^\prime (t)}{x^\prime (t)} &= \frac{4 \cos (t)}{-8 \sin (t)}$

Resuelve $t= \frac{\pi}{3}$ .

$\frac{y^\prime (t)}{x^\prime (t)} = \frac{4 \cos \left (\frac{\pi}{3} \right )}{-8 \sin \left (\frac{\pi}{3} \right )} = \frac{4 \left ( \frac{1}{2}\right )}{-8 \left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )} = \frac{- \sqrt{3}}{6}$

Ahora encuentra las coordenadas para el punto donde $t=\frac{\pi}{3}$ .

$F(t)&= (x(t),y(t))\\x \left (\frac{\pi}{3} \right ) &= 8 \cos \left (\frac{\pi}{3} \right ) = 8 (.5) = 4 \\y \left (\frac{\pi}{3} \right ) &= 4 \sin \left (\frac{\pi}{3} \right ) = 4 \left ( \frac{\sqrt{3}}{2}\right ) = 2 \sqrt{3}$

Escribe la pendiente, la coordenada $x$ y la coordenada $y$ en forma punto-pendiente.

$y-2 \sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}}{6} (x-4)$ es la línea tangente a la elipse en $t=\frac{\pi}{3}$ .

3. Primero, ve si la función puede ser diferenciada en $\frac{\pi}{6}$ . Si $x(t)$ es indefinida en este punto, $x^\prime(t)$ también será indefinida. La función es definida en este punto y es continua, por lo que puedes diferenciarla.

Encuentra las derivadas de $x(t)$ e $y(t)$ para encontrar la derivada de las ecuaciones paramétricas:

$x(t) &= 5 \sec(t) \\x^\prime (t) &= 5 \sec (t) \tan (t) \\y(t) &= 4 \tan (t) \\y^\prime (t) &= 4 \sec^2 (t)\\\frac{y^\prime (t)}{x^\prime (t)} &= \frac{4 \sec^2 (t)}{5 \sec (t) \tan (t)} = \frac{4 \sec (t)}{5 \tan (t)}$

Resuelve la derivada cuando $t=\frac{\pi}{6}$ .

$\frac{4 \sec \left (\frac{\pi}{6} \right )}{5 \tan \left (\frac{\pi}{6} \right )} = \frac{4 (2)}{5 \left ( \frac{\sqrt{3}}{3}\right )} = \frac{24}{5 \sqrt{3}} = \frac{24 \sqrt{3}}{15} = \frac{8}{5} \sqrt{3}$

Práctica

1. Una función está definida por la siguiente ecuación paramétrica. Encuentra la derivada y luego resuelve cuando $t=6$ .

$M(t) &= (x(t),y(t)) \\x(t) &= t+6 \\y(t) &= 3t+t^3$

2. Una función está definida por la siguiente ecuación paramétrica. Encuentra la derivada y luego resuelve cuando $t=\frac{\pi}{4}$ .

$N(t) &= (x(t),y(t)) \\x(t) &= 7 \cos (2t) \\y(t) &= \sin (2t)$

3. Una función está definida por la siguiente ecuación paramétrica. Encuentra la derivada y luego resuelve cuando $t=1$ .

$P(t) &= (x(t),y(t)) \\x(t) &= t^2 \\y(t) &= 3t^4+2t^2-6t$

4. Encuentra la pendiente de la línea tangente a la siguiente curva cuando $t=0$ .

$F(t) &= (x(t),y(t)) \\x(t) &= 4t \\y(t) &= 3t+t^2$

5. Encuentra la pendiente de la línea tangente a la siguiente curva cuando $t=3$ .

$G(t) &= (x(t),y(t)) \\x(t) &= t^2 \\y(t) &= t^3+1$

6. Encuentra la pendiente de la línea tangente a la siguiente curva cuando $t=\frac{\pi}{4}$ .

$H(t) &= (x(t),y(t)) \\x(t) &= 2 \cos (t) \\y(t) &= 2 \sin (t)$

7. Encuentra la pendiente de la línea tangente a la siguiente curva cuando $t=\frac{\pi}{3}$ .

$J(t) &= (x(t),y(t)) \\x(t) &= 3 \cos (t) \\y(t) &= 5 \sin (t)$

8. Encuentra la pendiente de la línea tangente a la siguiente curva cuando $t=\frac{\pi}{4}$ .

$K(t) &= (x(t),y(t)) \\x(t) &= 2 \sec (t) \\y(t) &= 4 \tan (t)$

9. Encuentra la ecuación de la línea tangente a la siguiente curva cuando $t=0$ .

$F(t) &= (x(t),y(t)) \\x(t) &= 4t \\y(t) &= 3t+t^2$

10. Encuentra la ecuación de la línea tangente a la siguiente curva cuando $t=3$ .

$G(t) &= (x(t),y(t)) \\x(t) &= t^2 \\y(t) &= t^3+1$

11. Encuentra la ecuación de la línea tangente a la siguiente curva cuando $t=\frac{\pi}{4}$ .

$H(t) &= (x(t),y(t)) \\x(t) &= 2 \cos (t) \\y(t) &= 2 \sin (t)$

12. Encuentra la ecuación de la línea tangente a la siguiente curva cuando $t=\frac{\pi}{3}$ .

$J(t) &= (x(t),y(t)) \\x(t) &= 3 \cos (t) \\y(t) &= 5 \sin (t)$

13. Encuentra la ecuación de la línea tangente a la siguiente curva cuando $t=\frac{\pi}{4}$ .

$K(t) &= (x(t),y(t)) \\x(t) &= 2 \sec (t) \\y(t) &= 4 \tan (t)$

14. Encuentra la ecuación de la línea tangente a la siguiente elipse cuando $t=\frac{\pi}{6}$ . Imagina que un objeto da una revolución alrededor de la elipse cada $\pi$ unidades de tiempo.

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{49}=1$

15. Encuentra la ecuación de la línea tangente al siguiente círculo cuando $t=\frac{2 \pi}{3}$ . Imagina que un objeto da una revolución alrededor del círculo cada $2 \pi$ unidades de tiempo.

$\left ( x-1 \right )^2 + \left ( y+4\right )^2 = 9$

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