Formas paramétricas y cálculo: Área en el plano

Objetivo

En esta sección aprenderás a integrar ecuaciones paramétricas. Encontrarás el área bajo las curvas paramétricas y usarás la integración de las ecuaciones paramétricas para resolver problemas verbales.

Concepto

Las autoridades de Springdale Community Park District están postulando a una subvención para que la ciudad pueda instalar una nueva pista de atletismo de caucho. Los redactores de la subvención necesitan saber el área de la superficie donde se correrá para saber si pueden calcular el costo de la nueva pista. La trayectoria de un corredor a lo largo del borde más alejado de la pista puede ser representada por una ecuación paramétrica

$F(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 10 \cos t \\y(t) &= 5 \sin t$

Mientras que la trayectoria de un caminante por el costado interior de la pista puede ser representada como

$G(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 6 \cos t \\y(t) &= 4 \sin t$

Todas las medidas están en minutos y metros. ¿Cuántos metros cuadrados de caucho se necesita comprar el distrito para crear las nuevas pistas?

Mira esto

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido . *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

https://www.youtube.com/watch?v=GDLZYp2U9g8

Orientación

Para encontrar el área de una curva paramétrica necesitarás integrar. Una herramienta simple te permite integrar las ecuaciones paramétricas en términos de $t$ . Una integral típica tiene la forma $\int \limits_{a}^{b} f(x)dx$ . Para integrar una ecuación paramétrica, multiplica la cantidad bajo la integral por $\frac{dt}{dt}$ . Esta es solo una forma del número 1, pero te permite escribir la integral como:

$\int\limits_{t_0}^{t_1} f(x) dx \frac{dt}{dt} = \int\limits_{t_0}^{t_1} f(t) \frac{dx}{dt}dt$

Ahora, $f(t)$ es lo mismo que $y(t)$ , y $\frac{dx}{dt}=x^{\prime}(t)$ . Esto significa que puedes escribir la integral como el producto de $y(t)$ y $x^{\prime}(t)$ ,

$\int\limits_{t_0}^{t_1} f(t) \frac{dx}{dt} dt = \int\limits_{t_0}^{t_1} y(t) x^{\prime}(t) dt$

y luego resuelve.

Ejemplo A

Encuentra el área bajo la curva definida por la siguiente función entre $t=0$ y $t=10$ .

$F(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 2t \\y(t) &= 3t + 4t^2$

Solución: Primero empieza con la forma de paramétrica integral. Luego, resuelve:

$A &= \int\limits_{0}^{10}y(t) x^{\prime}(t)dt \\x(t) &= 2t \\x^{\prime}(t) &= 2 \\y(t) &= 3t + 4t^2$

$A &= \int\limits_0^{10}(3t+4t^2)(2)dt \\&= 2 \int\limits_0^{10}(3t+4t^2)dt \\&= 2 \left[\frac{3}{2}t^2 + \frac{4}{3}t^3\right]^{10}_{0} \\&= 2 \left[\left(\frac{3(100)}{2} + \frac{4(1000)}{3}\right) -0 \right] \\&= 2 \left[\frac{8900}{6}\right] \\&=1483 \frac{1}{3}$

El área bajo la curva es de $1483 \frac{1}{3}$ unidades cuadradas. El área se muestra sombreada a continuación:

Ejemplo B

Usa la integración para encontrar el área de un círculo con el centro en (0, 0) descrito por la siguiente ecuación paramétrica:

$F(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 4 \cos t \\y(t) &= 4 \sin t$

Solución: Ya que el círculo es simétrico con respecto al eje $x$ puedes encontrar el área de la mitad superior del círculo (ensombrecida a continuación) y luego duplicarla para encontrar el área de la mitad inferior.

Ya que $t$ traza el círculo completo a medida que se mueve de 0 a $2 \pi$ , puedes encontrar el área de la parte superior del círculo resolviendo la integral de 0 a $\pi$ . Recuerda que a medida que $t$ va de 0 a $2 \pi$ , atraviesas el círculo en sentido contrario de las agujas del reloj. Esto significa que estarás integrando ‘al revés’ a medida que $t$ va de 0 a $\pi$ . Comienza creando la integral la integral. Luego, integra usando tus conocimientos de funciones trigonométricas.

$& \int\limits_0^{\pi}y(t) x^{\prime}(t)dt \\& x(t) = 4 \cos(t) \\& x^{\prime}(t) = -4 \sin(t)$

$& \int\limits_0^{\pi} 4 \sin t(-4 \sin(t))dt \\&= \int\limits_0^{\pi} -16 \sin^2(t)dt \\&= -16 \int\limits_0^{\pi}\sin^2(t)dt \\&= -16 \left[\frac{1}{2}t - \frac{1}{4}\sin(2t)\right]_0^{\pi} \\&= -16\left(\left[\frac{1}{2}\pi - \frac{1}{4}\sin(2 \pi)\right] - \left[\frac{1}{2}(0) - \frac{1}{4} \sin(0)\right]\right) \\&= -16 \left[\frac{\pi}{2}-0\right] \\&= -8 \pi$

¿Por qué el área sobre el eje $x$ es $-8 \pi$ ? Porque $t$ atraviesa el círculo en sentido contrario de las agujas del reloj. Por lo tanto, si quisieras integrar en ese sentido, la respuesta hubiera sido $8 \pi$ , valor que equivale al área de la mitad del circulo, lo que significa que el área del círculo completo es $16 \pi$ .

Nota que el resultado es el mismo que hubieras obtenido si hubieses usado la fórmula para encontrar el área de un círculo, donde $A=\pi r^2$ .

Ejemplo C

El área cubierta por la llanta de una rueda puede ser representada por la ecuación paramétrica:

$F(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 8 \cos t \\y(t) &= 8 \sin t$

Por otro lado, el área cubierta por el buje de la rueda puede ser representada como:

$G(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 4 \cos t \\y(t) &= 4 \sin t$

¿Cuál es el área del espacio entre la llanta y el buje de la rueda?

Solución: Para resolver este problema necesitarás encontrar el área del círculo cubierto por la llanta y luego restar el área del círculo cubierto por el buje.

El área restante será el espacio entre la llanta y el buje, como se muestra a continuación.

Primero, integra para encontrar el área cubierta por la llanta. Recuerda que debido a que el círculo es simétrico, puedes encontrar el área del semicírculo:

Luego puedes duplicar esa respuesta para encontrar el área total.

Recuerda que para encontrar el área de la porción sombreada tendrás que encontrar el área del círculo cubierto por la llanta y luego restar el área del círculo cubierto por el buje. Primero, encuentra el área del círculo cubierta por la llanta:

$& \int\limits_0^{\pi}y(t) x^{\prime}(t)dt \\& x(t) = 8 \cos(t) \\& x^{\prime}(t) = -8 \sin(t)$

$& \int\limits_0^{\pi} 8 \sin(t)(-8 \sin(t))dt \\&= -64 \int\limits_0^{\pi} \sin^2(t)dt \\&= -64 \left[\frac{1}{2}t - \frac{1}{4}\sin 2t \right]_0^{\pi} \\&= -64 \left[\left[\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\sin 2 \pi\right] - \left[\frac{1}{2}(0) - \frac{1}{4} \sin(0)\right]\right] \\&= -32 \pi$

Por lo tanto, la parte superior cubierta por la llanta es $32 \pi$ .

Ahora usa el mismo proceso para encontrar el área cubierta por el buje.

$& \int\limits_0^{\pi}y(t) x^{\prime}(t)dt \\& x(t) = 4 \cos t \\& x^{\prime}(t)= -4 \sin t$

$& \int\limits_0^{\pi} 4 \sin t(-4 \cos t)dt \\&= -16 \int\limits_0^{\pi} \sin^2(t)dt \\&= -16 \left[\frac{1}{2}t - \frac{1}{4}\sin (2t) \right]_0^{\pi} \\&= -16 \left(\left[\frac{1}{2}(\pi) - \frac{1}{4}\sin (2 \pi)\right] - \left[\frac{1}{2}(0) - \frac{1}{4} \sin(0)\right]\right) \\&= -8 \pi$

Entonces, el área superior del buje es $8 \pi$ . Resta el buje del área cubierta por la llanta y verás que el área superior entre la llanta y el buje es de $24 \pi \ \text{units}^2$ . Esto significa que el área total entre la llanta y el buje es de $48 \pi \ \text{units}^2$ .

Análisis del problema de la sección

Ahora podemos volver al problema de la sección. Es muy similar al Ejemplo C, pero con elipses en vez de círculos. Una vez más, las curvas son simétricas a lo largo del eje $x$ por lo que puedes encontrar el área de la mitad superior de cada uno y duplicarlas. También recuerda que $t$ atraviesa las curvas en sentido contrario a las agujas del reloj.

Primero encuentra el área de la elipse cubierta por la función $F(t)$ , la cual define los límites exteriores de la pista.

$& F(t) = (x(t), y(t)) \\& x(t)= 10 \cos t \\& x^{\prime}(t)= -10 \sin(t) \\& y(t) = 5 \sin t$

$& \int\limits_0^{\pi} y(t)x^{\prime} (t)dt \\& \int\limits_0^{\pi} 5 \sin(t)(-10 \sin(t))dt \\& -50 \int\limits_0^{\pi} \sin^2(t)dt \\&= -50 \left[\frac{1}{2}t - \frac{1}{4}\sin(2t) \right]_0^{\pi} \\&= -50 \left[\frac{\pi}{2}-0 \right] \\&= -25 \pi$

El área total cubierta por el límite exterior de la pista es $50 \pi$ .

Ahora encuentra el área cubierta por el borde interno de la pista.

$& G(t)= (x(t), y(t)) \\& x(t) = 6 \cos t \\& x^{\prime}(t)= -6 \sin(t) \\& y(t)= 4 \sin t$

$& \int\limits_0^{\pi} y(t)x^{\prime}(t)dt \\& \int\limits_0^{\pi} 6 \sin(t)(-4 \sin(t))dt \\&= -24 \int\limits_0^{\pi} \sin^2(t)dt \\&= -24 \left[\frac{1}{2}t - \frac{1}{4}\sin(2t) \right]_0^{\pi} \\&= -24 \left[\frac{\pi}{2}-0 \right] \\&= -12 \pi$

Por lo tanto, el área total cubierta por $G(t)$ (la trayectoria de los caminantes) es $24 \pi$ . Esto significa que el distrito necesitará $50 \pi - 24 \pi =26 \pi \ m^2$ de caucho para cubrir la pista.

Vocabulario

Integral definida - La integral definida de la función usa la antiderivada de la función para calcular el área cubierta por la función y otro límite (a menudo el eje $x$ ), para un rango específico de valores.

$\sin^2 \theta$ - Función con la antiderivada $\frac{1}{2}x -\frac{1}{4} \sin 2x$ .

Área bajo una curva en forma paramétrica - Usa la fórmula $A=\int\limits_a^b y(t)x^{\prime}(t)dt$ .

Práctica guiada

1. Encuentra el área bajo la curva definida por la siguiente función

$F(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 2t^2+1 \\y(t) &= 8t^4$

Entre $t=4$ Y $t=8$ .

2. Encuentra el área bajo la siguiente curva entre $t=\frac{\pi}{6}$ Y $t=\frac{\pi}{4}$ .

$F(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 5 \cos (t) \\y(t) &= 5 \sin (t)$

3. Encuentra el área entre $F(t)$ Y $G(t)$ entre $t=0$ y $t=\frac{\pi}{2}$ cuando

$F(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 10 \cos (t) \\y(t) &= 5 \sin (t) \\\\G(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 5 \cos (t) \\y(t) &= 5 \sin (t)$

Respuestas:

1. Usa la forma paramétrica de la integral para resolver.

$F(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 2t^2+1 \\x^{\prime}(t) &= 4t \\y(t) &= 8t^4$

$& \int\limits_4^{8} y(t)x^{\prime}(t)dt \\& \int\limits_4^{8} 8t^4(4t)dt \\&= 32 \int\limits_4^{8} t^5 dt \\&= 32 \left[\frac{1}{6}t^6 \right]_4^{8} \\&= 32 \left[\left[\frac{1}{6} 8^6 \right] - \left[\frac{1}{6}4^6\right]\right] \\&= 32 \left[43690 \frac{2}{3} - 682 \frac{2}{3} \right] \\&= 1376256$

2. Para encontrar el área bajo la curva entre $\frac{\pi}{6}$ y $\frac{\pi}{4}$ , primero usa el método para crear la integral de una función paramétrica, luego resuelve.

$F(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 5 \cos (t) \\y(t) &= 5 \sin(t) \\x^{\prime}(t) &= -5 \sin t$

$& \int\limits_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{4} y(t)x^{\prime}(t)dt \\& \int\limits_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{4} 5 \sin(t) (-5 \sin(t))dt \\&= -25 \int\limits_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{4} \sin^2(t)dt \\&= -25 \left[\frac{1}{2}t - \frac{1}{4}\sin(2t)\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \\&= -25 \left[\left[\frac{\pi}{4}\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{4}\sin \frac{\pi}{2}\right] - \left[\frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{4}\sin \frac{\pi}{3}\right]\right] \\&= -25 \left[\left[\frac{\pi - 2}{8}\right] - \left[\frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{8}\right]\right] \\&= -2.4352$

Ya que $t$ atraviesa el círculo al contrario del sentido de las agujas del reloj, el área es 2.4352.

3. Puede que quieras dibujar las curvas para que puedas ver que $G(t)$ es un círculo dentro de la elipse $F(t)$ .

Aquí está la porción entre $t=0$ y $t=\frac{\pi}{2}$ , la parte sombreada es la que buscas:

Para encontrar el área, primero encuentra el área bajo $F(t)$ , luego resta el área bajo $G(t)$ .

$F(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 10 \cos (t) \\x^{\prime}(t) &= -10 \sin(t) \\y(t) &= 5 \sin (t)$

$& \int\limits_0^\frac{\pi}{2} y(t)x^{\prime}(t)dt \\& \int\limits_0^\frac{\pi}{2} 5 \sin(t) (-10 \sin(t))dt \\&= -50 \int\limits_0^\frac{\pi}{2} \sin^2(t)dt \\&= -50 \left[\frac{1}{2}t - \frac{1}{4}\sin(2t)\right]_0^\frac{\pi}{2} \\&= -50 \left(\frac{\pi}{4}\right) \\&=- \frac{25 \pi}{2}$

El área bajo $F(t)$ es $\frac{25 \pi}{2}$ . Ahora encuentra el área bajo $G(t)$ .

$G(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 5 \cos (t) \\y(t) &= 5 \sin (t)$

$& \int\limits_0^\frac{\pi}{2} y(t)x^{\prime}(t)dt \\&= \int\limits_0^\frac{\pi}{2} 5 \sin(t) (-5 \sin(t))dt \\&= -25 \int\limits_0^\frac{\pi}{2} \sin^2(t)dt \\&= -25 \left[\frac{1}{2}t - \frac{1}{4}\sin(2t)\right]_0^\frac{\pi}{2} \\&= -\frac{12.5 \pi}{2}$

El área bajo $G(t)$ es $\frac{12.5 \pi}{2}$ .

Ahora resta para encontrar el área entre las curvas:

$\frac{25 \pi}{2} - \frac{12.5 \pi}{2} = \frac{12.5 \pi}{2}$

El área entre las curvas es $\frac{12.5 \pi}{2}$ .

Práctica

1. Encuentra el área bajo la curva definida a continuación entre $t=1$ y $t=5$ .

$F(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 4t^2+6 \\y(t) &= 8t$

2. Encuentra el área bajo la curva definida a continuación entre $t=0$ y $t=10$ .

$G(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= t^2 - 1 \\y(t) &= 3t^3$

3. Encuentra el área bajo la curva definida a continuación entre $t=5$ y $t=8$ .

$H(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 7t \\y(t) &= 3t^2 + 1$

4. Encuentra el área bajo la curva definida a continuación entre $t=0$ y $t=12$ .

$J(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= t^2+1 \\y(t) &= t$

Para los ejercicios 5 a 8, encuentra el área bajo la siguiente curva entre $t=0$ y $t=\frac{\pi}{2}$ .

5. $K(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 2 \cos(t) \\y(t) &= 2 \sin(t)$

6. $L(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 3 \cos(t) \\y(t) &= 7 \sin(t)$

7. $M(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 4 \cos(t) \\y(t) &= \sin(t)$

8. $N(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 12 \cos(t) \\y(t) &= 12 \sin(t)$

Para los ejercicios 9 a 15, encuentra el área entre las dos curvas para los valores dados de $t$ .

9. Entre $t=0$ y $t=\frac{\pi}{2}$ :

$P(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 12 \cos(t) \\y(t) &= 8 \sin(t) \\\\Q(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 10 \cos(t) \\y(t) &= 8 \sin(t) \\$

10. Entre $t=\frac{\pi}{2}$ y $t=\frac{3 \pi}{2}$ :

$R(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 3 \cos(t) \\y(t) &= 3 \sin(t) \\\\S(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= \cos(t) \\y(t) &= \sin(t) \\$

11. Entre $t=0$ y $t=\pi$ :

$F(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 10 \cos(t) \\y(t) &= 10 \sin(t) \\\\G(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 10 \cos(t) \\y(t) &= 3 \sin(t) \\$

12. Entre $t=0$ y $t=\frac{\pi}{2}$ :

$H(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 8 \cos(t) \\y(t) &= 10 \sin(t) \\\\J(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 8 \cos(t) \\y(t) &= 8 \sin(t) \\$

13. Entre $t=\frac{\pi}{2}$ y $t=\pi$ :

$K(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 12 \cos(t) \\y(t) &= 12 \sin(t) \\\\L(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 5 \cos(t) \\y(t) &= 5 \sin(t) \\$

14. Entre $t=0$ y $t=\pi$ :

$M(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 8 \cos(t) \\y(t) &= 7 \sin(t) \\\\N(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 6 \cos(t) \\y(t) &= 5 \sin(t) \\$

15. Entre $t=0$ y $t=2 \pi$ :

$P(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 3 \cos(t) \\y(t) &= 3 \sin(t) \\\\Q(t) &= (x(t), y(t)) \\x(t) &= 3 \cos(t) \\y(t) &=\sin(t) \\$

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