Formas paramétricas y cálculo: Longitud de una curva

Objetivos

En esta sección aprenderás a encontrar la longitud de la curva cuando tienes su ecuación en forma paramétrica. Compararás los distintos parámetros de la misma curva y comprenderás la relación entre la longitud de una curva y la velocidad de un objeto que viaja a lo largo de dicha curva.

Concepto

En la pista de prueba de una fábrica de autos, un conductor prueba dos autos a sus respectivas velocidades. Conduce ambos autos alrededor de la pista a máxima velocidad, pero los autos tienen distintas velocidades máximas. ¿Cómo puedes comparar sus velocidades y las distancias que recorren durante una prueba de treinta minutos?

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Orientación

¿Alguna vez has usado un teorema pitagórico para encontrar la distancia entre dos puntos en una línea? En el plano coordenado, la fórmula para la distancia lineal es $d=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$ . La fórmula paramétrica para encontrar la distancia de la curva está estrechamente relacionada a esta fórmula. Mira la curva a continuación. La función es $F(t)=(x(t),y(t)); x(t)=4t; y(t)=-t^2$ entre $t=1$ y $t=3$ .

Podrías estimar la longitud de la curva dibujando triángulos rectos, calculando la longitud de cada hipotenusa o sumando todas las longitudes. Si usaste triángulos muy grandes, tu estimado no será muy preciso. Pero, entre más pequeños son tus triángulos, tu estimado será más preciso. Si pudieras hacer los triángulos infinitamente más pequeños, serías capaz de calcular la medida exacta de la curva. De cierta forma, la fórmula de la distancia de las ecuaciones paramétricas te permite medir la curva con una cadena continua de triángulos pequeños infinitos.

La ecuación para el largo de una curva en forma paramétrica es: $L=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{(x^\prime(t))^2+(y^\prime(t))^2}dt$ . Recuerda: una derivada te dice qué tan rápido cambia una función a lo largo del tiempo. Entonces, $x^\prime(t)$ es el cambio de los valores de $x$ values, e $y^\prime(t)$ es el cambio en los valores de $y$ para la función paramétrica $F(t)=(x(t),y(t))$ a medida que $t$ se mueve de $a$ a $b$ .

Ejemplo A

Encuentra la longitud de la siguiente curva entre $t=1$ y $t=3$ .

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=4t\\y(t)&=-t^2$

Solución: Primero crea tu integral usando la fórmula de la distancia que acabas de aprender.

$L&=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{(x^\prime(t))^2+(y^\prime(t))^2}dt\\L&=\int\limits_{1}^{3}\sqrt{(4)^2+(-2t)^2}dt\\L&=\int\limits_{1}^{3}\sqrt{16+4t^2}dt=\int\limits_{1}^{3}2\sqrt{4+t^2}dt$

En este punto tendrás que usar la fórmula para integrar las expresiones de la forma $\int\sqrt{a^2+u^2}du$ , que es $\int\sqrt{a^2+u^2}du=\frac{1}{2}u\sqrt{a^2+u^2}+\frac{a^2}{2}\ln\left | u+\sqrt{a^2+u^2}\right \vert$ .

Entonces:

$\int\limits_{1}^{3}2\sqrt{4+t^2}dt=2 \left [ \frac{t}{2}\sqrt{4+t^2}+\frac{4}{2}\ln\left | t+\sqrt{4+t^2}\right \vert \right ]_1^{3}$ . Ahora resuelve en 3 y 1 y resta. ¡Quizá quieras usar una calculadora para esto!

$\int\limits_{1}^{3}2\sqrt{4+t^2}dt&=2 \left [ \frac{t}{2}\sqrt{4+t^2}+\frac{4}{2}\ln\left | t+\sqrt{4+t^2}\right \vert \right ]_1^{3}\\2 \left [\frac{3}{2}\sqrt{13}+2\ln \left | 3+\sqrt{13} \right \vert \right ]&=18.3683\\2 \left [\frac{1}{2}\sqrt{5}+2\ln \left | 1+\sqrt{5} \right \vert \right ]&=6.9335\\18.3683-6.9335&=11.4348$

La longitud es de 11.4348 unidades.

Ejemplo B

Una sola curva puede ser parametrizada en muchas formas dependiendo de qué tan rápido un objeto la atraviesa. Si no prestas atención a la velocidad del objeto, puede que obtengas medidas muy disímiles para una curva con dos parametrizaciones distintas. Por ejemplo, imagina un círculo con un centro en el origen y un radio de 5. Puedes escribir un número infinito de ecuaciones paramétricas para este círculo y cada ecuación atravesará la curva de una forma distinta.

Encuentra el largo de la curva de $t=0$ a $t=\pi$ para cada parametrización.

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=5\cos(3t)\\y(t)&=5\sin(3t)\\\\G(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=5\cos(8t)\\y(t)&=5\sin(8t)$

Solución: Primero encuentra el largo de la primera curva:

$&\int\limits_{0}^{\pi}\sqrt{(x^\prime(t))^2+(y^\prime(t))^2}dt\\x^\prime(t) & =-15 \sin(3t)\\y^\prime(t) & =15 \cos (3t)\\&\int\limits_{0}^{\pi}\sqrt{(-15\sin(3t))^2+(15\cos(3t))^2}dt\\&=\int\limits_{0}^{\pi}\sqrt{225\sin^2(3t)+225\cos^2(3t)}dt\\&=\int\limits_{0}^{\pi}15 \sqrt{\sin^2 3t+\cos^2 3t}dt\\\sin^2 \theta +\cos^2 \theta & =1\\&=\int\limits_{0}^{\pi}15\sqrt{1}dt\\&=15\pi$

En $\pi$ segundos el primer objeto viaja $15\pi$ unidades alrededor de la curva. ¡Esto no significa que la longitud de la curva es de $15\pi$ unidades! Debido a que la circunferencia de un círculo es $2\pi r$ , este círculo tiene una circunferencia de $10\pi$ . El objeto en verdad dio 1,5 vueltas alrededor del círculo en $\pi$ segundos.

Ahora repite el proceso con $G(t)$ .

$&\int\limits_{0}^{\pi}\sqrt{(x^\prime(t))^2+(y^\prime(t)^2)}dt\\x^\prime(t) & =-40\sin(8t)\\y^\prime(t) & =40\cos(8t)\\&=\int\limits_{0}^{\pi}\sqrt{(-40\sin(8t))^2+(40\cos(8t))^2}dt\\&=\int\limits_{0}^{\pi}\sqrt{1600\sin^2(8t)+1600\cos^2(8t)}dt\\&=\int\limits_{0}^{\pi} 40 \sqrt{\sin^2 8t+\cos^2 8t}dt\\\sin^2 \theta+\cos^2 \theta & =1\\&=\int\limits_{0}^{\pi}40\sqrt{1}dt\\&=40 \pi$

El segundo objeto viaja $40\pi$ unidades en $\pi$ segundos, lo que significa que completó 4 vueltas alrededor del mismo círculo.

Ejemplo C

Si has estado en la clase de física, puede que recuerdes que la distancia que recorre un objeto es igual a su velocidad multiplicado por el tiempo. La velocidad es una medida tanto de la velocidad como de la dirección. Puedes usar la fórmula de la distancia para calcular la velocidad de objetos que viajan en una curva. Si tomas la derivada de la distancia de un objeto en un tiempo dado, encontrarás su velocidad. Otra forma de ordenarlo es:

$s(t)&=\sqrt{(x^\prime(t))^2+(y^\prime(t))^2}$

Dada la siguiente ecuación paramétrica que representa la trayectoria de un objeto como una función del tiempo, encuentra la velocidad de un objeto cuando $t=3$ .

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=6\cos t\\y(t)&=2\sin t$

Solución: Parte por encontrar $x^\prime (t)$ e $y^\prime (t)$ . Usa estos valores para calcular $s(t)$ .

$x^\prime(t)&=-6\sin t\\y^\prime(t)&=2\cos t\\s(t)&=\sqrt{(x^\prime(t))^2+(y^\prime(t))^2}\\s(t)&=\sqrt{(-6\sin(t))^2+(2\cos(t))^2}\\&=\sqrt{36\sin^2 t +4 \cos^2 t}\\&=\sqrt{36\sin^2(3)+4\cos^2(3)}\\&=2.1534$

En tiempo = 3, el objeto se mueve a 2,1534 unidades por segundo.

Análisis del problema de la sección

Ahora tienes todas las herramientas que necesitas para resolver el problema del comienzo de la sección. Si la pista es un círculo de 4 kilómetros de diámetro, dos posibles ecuaciones para la pista son:

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=4\cos(100t)\\y(t)&=4\sin(100t)\\\\G(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=4\cos(200t)\\y(t)&=4\sin(200t)$

Usa la fórmula de la distancia y la velocidad para comparar las distancias recorridas y las velocidades de los automóviles en $t=.5$ , asumiendo que el tiempo se mide en horas y la distancia en kilómetros.

Para el primer automóvil:

$&\int\limits_{0}^{.5}\sqrt{(x^\prime(t))^2+(y^\prime(t)^2)}dt\\x^\prime(t) & =-400\sin(100t)\\y^\prime(t) & =400\cos(100t)\\&\int\limits_{0}^{.5}\sqrt{(-400\sin(100t))^2+(400\cos(100t))^2}dt\\&=\int\limits_{0}^{.5}400\sqrt{\sin^2(100t)+\cos^2(100t)}dt\\\sin^2\theta+\cos^2\theta & =1\\&=\int\limits_{0}^{.5}400\sqrt{1}dt\\&=200 \ km\\s(t)&=\sqrt{(-400\sin(100t))^2+(400\cos(100t))^2}\\&=400 \ km/hr\\$

Entonces, el primer automóvil viajó 200 km por media hora durante la prueba a una velocidad de 400 km/h.

Ahora calcula la distancia y la velocidad del segundo automóvil.

$& \int\limits_{0}^{.5}\sqrt{(x^\prime(t))^2+(y^\prime(t)^2)}dt\\x^\prime(t) & =-800\sin(200t)\\y^\prime(t) & =800\cos(200t)\\& \int\limits_{0}^{.5}\sqrt{(-800\sin(200t))^2+(800\cos(200t))^2}dt\\&=\int\limits_{0}^{.5} 800 \sqrt{\sin^2(200t)+\cos^2(200t)}dt\\\sin^2\theta+\cos^2 \theta & =1\\&=\int\limits_{0}^{.5} 800 \sqrt{1}dt\\&=400 \ km\\s(t) & =\sqrt{(-800\sin(200t))^2+(800\cos(200t))^2}\\&=800 \ km/hr$

El segundo automóvil viajo 400 km a una velocidad de 800 km/hr. Esto significa que mientras el primer automóvil era un deportivo muy veloz, el segundo automóvil viajaba a velocidades de "auto-cohete", aunque no tan rápido como para superar el récord de velocidad en tierra.

Vocabulario

Distancia en forma paramétrica - Para calcular la distancia recorrida en una cantidad de tiempo $t$ en una curva definida por una función paramétrica $F(t)$ , usa la siguiente integral: $L=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{(x^\prime(t))^2+(y^\prime(t))^2}dt$ .

Velocidad en forma paramétrica - Para calcular la velocidad de un objeto en un tiempo $t$ en una curva dada por la ecuación paramétrica $F(t)$ , usa $s(t)=\sqrt{(x^\prime(t))^2+(y^\prime(t))^2}$ .

Práctica guiada

1. Encuentra la longitud de la siguiente curva de $t=0$ a $t=5$ .

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=4t^2\\y(t)&=2t^3$

2. Calcula la velocidad de un objeto que viaja la curva #1 en $t=0$ y en $t=5$ .

3. Encuentra la longitud de la siguiente curva de $t= 0$ a $t=\frac{\pi}{6}$ para el siguiente círculo. Luego encuentra la velocidad cuando $t=\frac{\pi}{6}$ .

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=5\cos2t\\y(t)&=5\sin2t$

Respuestas:

1. Parte por encontrar las derivadas:

$x^\prime(t)&=8t\\y^\prime(t)&=6t^2$

Ahora crea la integral para la ecuación de distancia.

$&\int\limits_{0}^{5}\sqrt{(8t)^2+(6t^2)^2}dt\\&\int\limits_{0}^{5}\sqrt{64t^2+36t^4}dt$

Factoriza, simplifica y luego sustituye.

$& \int \limits_0^5 \sqrt{64t^2+36t^4} dt\\&=\int\limits_0^5 \sqrt{(4t^2)(16+9t^2)}dt\\&=\int\limits_{0}^{5} 2t \sqrt{(16+9t^2)}dt\\u & =(16+9t^2)\\du & =18t \ dt\\2t \ dt & =\frac{du}{9}\\& =\int\frac{1}{9}(u)^{\frac{1}{2}}du$

Ahora integra.

$\int \frac{1}{9}(u)^{\frac{1}{2}} du & = \frac{1}{9}\left [ \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right ]\\& = \frac{1}{9} \left [\frac{2}{3} (16+9t^2)^{\frac{3}{2}} \right ]_{0}^{5}\\& = \frac{1}{9} \left [ \left [ \frac{2}{3}(16+9(5^2))^{\frac{3}{2}}\right ] - \left [ \frac{2}{3}(16+9(0^2))^{\frac{3}{2}}\right ]\right ]\\& = 272.395$

La curva tiene 272.395 unidades de largo.

2. La velocidad es la tasa a la que cambia la distancia. Puedes encontrar la velocidad usando la raíz cuadrada de la suma de los derivados.

$s(t)&=\sqrt{(8t)^2+(6t^2)^2}\\s(5)&=\sqrt{(40)^2+(150)^2}=155.242\\s(0)&=\sqrt{0}=0.$

3. Encuentra los derivados, resuelve el radical para encontrar la velocidad e integra para encontrar la distancia.

$x^\prime(t)&=-10\sin 2t\\y^\prime(t)&=10\cos 2t\\s(t) & = \sqrt{(-10 \sin 2t)^2+(10 \cos 2t)^2}\\s \left (\frac{\pi}{6} \right ) & = \sqrt{\left ( \frac{10 \sqrt{3}}{2} \right )^2+(5)^2}\\s \left (\frac{\pi}{6} \right ) & = \sqrt{100}\\s \left (\frac{\pi}{6} \right ) & = 10$

La velocidad en $t=\frac{\pi}{6}$ es 10.

$d &=\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{(-10 \sin 2t)^2+(10 \cos 2t)^2} dt\\d &=10 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{\sin^2 2t+\cos^2 2t} dt\\d &=10 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{1} dt = 10 \left ( \frac{\pi}{6}\right )\\d &=\frac{5\pi}{3}$

La distancia recorrida entre $t=0$ y $t=\frac{\pi}{6}$ es $\frac{5\pi}{3}$ unidades.

Práctica

1. Encuentra la longitud de la siguiente curva de $t=0$ a $t=4$ .

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=t+1\\y(t)&=2t^2+3$

2. Encuentra la longitud de la siguiente curva de $t=0$ a $t=5$ .

$G(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=3t^\frac{3}{2}\\y(t)&=\frac{1}{2}t^2$

3. Encuentra la longitud de la siguiente curva de $t=0$ a $t= 2 \pi$ .

$H(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=\sin(t)-t \cos(t)\\y(t)&=\cos(t)+t\sin(t)$

4. Encuentra la longitud de la siguiente curva de $t=\frac{\pi}{4}$ a $t=\frac{\pi}{2}$ .

$J(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=4\cos \left (\frac{t}{2} \right )\\y(t)&=4 \sin \left (\frac{t}{2} \right )$

5. Encuentra la longitud de la siguiente curva de $t=0$ a $t=\pi$ .

$J(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=e^t \sin(t)\\y(t)&=e^t \cos(t)$

6. Calcula la velocidad de un objeto que recorre la curva #1 en $t=4$ .

7. Calcula la velocidad de un objeto que recorre la curva #2 en $t=5$ .

8. Calcula la velocidad de un objeto que recorre la curva #3 en $t=2\pi$ .

9. Calcula la velocidad de un objeto que recorre la curva #4 en $t=\frac{\pi}{4}$ .

10. Calcula la velocidad de un objeto que recorre la curva #5 en $t=\frac{\pi}{2}$ .

11. Deriva la fórmula de la circunferencia de un círculo encontrando la longitud de la siguiente curva de $t=0$ a $t=2\pi$ .

$M(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=r \cos (t)\\y(t)&=r \sin (t)$

Para los ejercicios 12 a 14: Considera la curva definida por:

$N(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=4 \cos t\\y(t)&=7\sin t+1$

12. ¿Qué tipo de curva es esta? ¿Cuánto tiempo tiene viajar un objeto para dar vuelta a la curva?

13. Encuentra la longitud de toda la curva.

14. Calcula la velocidad de un objeto que recorre la curva en $t=\frac{\pi}{2}$ .

15. Encuentra la longitud del arco del siguiente ejemplo de $t=0$ a $t=\pi$ .

$P(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=2 \cos^5 (t)\\y(t)&=2 \sin^5 (t)$

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