Formas paramétricas y cálculo: Área de la superficie durante una revolución

Objetivos

En esta sección aprenderás a encontrar el área superficial de sólidos formados con la rotación de una función paramétrica alrededor del eje $x$ o el eje $y$ .

Concepto

Alicia está usando cinta adhesiva para hacer un vestido para la fiesta de graduación. ¿Cuántos centímetros cuadrados de cinta color rosa fuerte debe usar para cubrir su falda? ¿Puede escribir una ecuación paramétrica para representar la forma de su traje y usarla para calcular cuánta cinta necesita?

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Orientación

Una vez que has aprendido cómo encontrar la longitud de una curva en forma paramétrica, puedes encontrar el área superficial de una revolución. ¿Por qué? Mira tus mangas. Si llevas una camiseta con mangas largas podrás ver que cada manga está compuesta de muchas líneas minúsculas de hilo. Todas juntas componen la tela. Si supieras el largo de cada hilo y la distancia alrededor de la manga, podrías calcular la cantidad de tela que cubre tu brazo.

Cuando rotas una sección de una curva en torno a un eje, básicamente estás elaborando una manga para dicho eje. Los ‘hilos’ son infinitamente delgados, pero puedes medir su largo y calcular la circunferencia de la ‘manga.’ Con esta información puedes buscar el área superficial de una rotación en forma paramétrica.

¿Recuerdas cómo encontrar el área superficial de un cilindro? Cuando rotas un segmento de línea horizontal alrededor del eje $x$ o un segmento de línea vertical alrededor del eje $y$ obtienes un cilindro.

Debes recordar que la fórmula para el área superficial de un cilindro, sin contar los extremos, es $A=2\pi rh$ , donde $r$ es el radio del círculo en la base del cilindro y $h$ es la altura del cilindro. Cuando creas una superficie al girar un segmento horizontal alrededor del eje $x$ el radio del sólido de tres dimensiones es una constante – la distancia del segmento con respecto al eje. Entonces, por ejemplo, si creas un sólido al rotar la porción de la línea $y=5$ alrededor del eje $x$ el radio de tu cilindro será cinco.

Cuando resuelves una función más complicada alrededor del eje $x$ obtienes sólidos más complejos debido a que el valor de la función cambia constantemente y el largo del sólido curvo es más dificil de medir que la altura de una línea recta. Para encontrar el área de sólidos complejos puedes usar una integral.

La fórmula para el área superficial de una ecuación paramétrica rotada alrededor del eje $x$ toma la fórmula para la longitud de la curva paramétrica y la multiplica por la circunferencia del sólido en un tiempo $t$ .

$A_{surface} =\int_{a}^{b}2\pi \ y(t)\sqrt{(x^\prime(t))^2 + (y^\prime(t))^2}dt$

Nota que esta es una integral definida. No puedes encontrar el área superficial de un sólido a menos que tenga una altura finita. En cambio, si rotas el sólido alrededor del eje $y$ , la ecuación cambia ligeramente:

$A_{surface} =\int_{a}^{b}2\pi \ x(t)\sqrt{(x^\prime(t))^2 + (y^\prime(t))^2}dt$

La ecuación cambia debido a que el rádio del sólido que rota sobre el eje $y$ es la distancia entre el eje y el valor de $x$ para la ecuación de ese punto.

Al igual que con las fórmulas para la longitud de la curva, muchas fórmulas para el área superficial pueden ser muy difíciles de integrar usando métodos normales. En estos casos está bien usar calculadora para encontrar la apoximación más cercana para la integral. Sin embargo, deberías ser capaz de completar los siguientes ejemplos usando las técnicas de integración estándar.

Ejemplo A

Encuentra el área del cuerpo formado al rotar la siguiente curva entre los intervalos $t=0$ y $t=\frac{\pi}{2}$ alrededor del eje $x$ .

$F&(x(t), y(t))\\x(t) & = 5 \cos t\\y(t) & = 5\sin t$

Solución: Estás rotando un cuarto de círculo alrededor del eje $x$ Parte por encontrar las derivadas de $x(t)$ e $y(t)$ . Luego usa la fórmula del área superficial para las revoluciones alrededor del eje $x$ .

$x^\prime (t) = -5 \sin t$

$y^\prime(t) = 5\cos t$

$A_{surface} &=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\pi \ y(t) \sqrt{(x^\prime(t))^2 + (y^\prime(t))^2}dt\\A_{surface} &=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\pi (5\sin t) \sqrt{(-5\sin t)^2 + (5\cos t)^2}dt\\A_{surface} &=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\pi (5\sin t) \sqrt{(25\sin ^2 t + 25\cos^2 t)}dt\\A_{surface} &=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\pi (5\sin t) 5\sqrt{\sin ^2 t + \cos^2 t}dt\\A_{surface} &=50 \pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin (t) \sqrt{1}dt\\A_{surface} &=50 \pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin (t) dt\\A_{surface} &=50 \pi \left[-\cos(t)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\A_{surface} &=50 \pi \left[-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-(-\cos(0))\right]\\A_{surface} &=50 \pi \left[0+1\right]=50\pi$

El área superficial de la revolución es $50\pi \ \text{units}^2$ .

Ejemplo B

En el ejemplo anterior, rotaste un cuarto de círculo alrededor del eje $x$ y encontraste el área superficial de la mitad de una esfera. Ahora, rota la misma curva alrededor del eje $y$ y encuentra el área en el mismo rango. ¿Qué sólido crees que formarás? ¿Cuál crees que será el área superficial del sólido?

Solución:

$x^\prime (t) = -5 \sin t$

$y^\prime(t) = 5\cos t$

$A_{surface} &=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\pi \ x(t) \sqrt{(x^\prime(t))^2 + (y^\prime(t))^2}dt\\A_{surface} &=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\pi (5\cos t) \sqrt{(-5\sin t)^2 + (5\cos t)^2}dt\\A_{surface} &=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\pi (5\cos t) \sqrt{(25\sin ^2 t + 25\cos^2 t)}dt\\A_{surface} &=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\pi (5\cos t) 5\sqrt{\sin ^2 t + \cos^2 t}dt\\A_{surface} &=50 \pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t \sqrt{1}dt\\A_{surface} &=50 \pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos (t) dt\\A_{surface} &=50 \pi \left[\sin(t)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\A_{surface} &=50 \pi \left[\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-(\sin(0))\right]\\A_{surface} &=50 \pi \left[1-0\right]=50\pi$

El cuarto de círculo parece crear el mismo sólido y tiene la misma área superficial sin importar el eje sobre el cual rota.

Ejemplo C

Rota la siguiente función alrededor del eje $x$ luego encuentra su área superficial entre $t= 0$ y $t= 4$ :

$F(x) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=t^2\\y(t) &=t$

Solución: Usa la fórmula del área superficial.

$F(x) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=t^2\\y(t) &=t\\x^\prime(t)&=2t\\y^\prime(t)&=1$

$A_{surface} &=\int\limits_{0}^{4}2\pi \ y(t) \sqrt{(x^\prime(t))^2+(y^\prime(t))^2}dt\\A_{surface} &=\int\limits_{0}^{4}2\pi t \sqrt{(2t)^2+(1)^2}dt\\A_{surface} &=\int\limits_{0}^{4}2\pi t \sqrt{4t^2+1}dt\\A_{surface} &=2\pi\int\limits_{0}^{4}t \sqrt{4t^2+1}dt\\$

Para integrar, usa la sustitución.

$A_{surface} &=2\pi \int\limits_{0}^{4}t\sqrt{4t^2 +1}dt\\u &=4t^2+1\\du &=8t\\A_{surface}&=2\pi \int\limits_{0}^{4}\frac{8}{8}t\sqrt{4t^2+1}dt\\A_{surface}&=\frac{\pi}{4} \int \sqrt{u}du = \frac{\pi}{4}\left[\frac{2}{3}(u)^{\frac{3}{2}}\right]=\frac{\pi}{4}\left[\frac{2}{3}(4t^2+1)^{\frac{3}{2}}\right]_0^4 = \frac{\pi}{6}\left [ (4(16)+1)^{\frac{3}{2}} \right ]-\frac{\pi}{6}(1)\\&=\frac{\pi}{6}\left ( 65\sqrt{65}-1 \right )\approx 273.8666$

Análisis del problema de la sección

Alicia puede usar ecuaciones paramétricas para representar la forma de su falda y calcular la cantidad de cinta que necesita. Imagina que su falda puede ser representada por la siguiente ecuación paramétrica cuando el segmento de $t=1$ a $t=8$ rota alrededor del eje $y$ .

$F(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=\frac{1}{2}t\\y(t) &=\frac{1}{3} t^2\\$

Para saber la cantidad de cinta de rosa fuerte necesita para su falda, Alicia puede usar la ecuación del área superficial de una revolución alrededor del eje $y$ Puede utilizar la sustitución para resolver el problema.

$F(t) &=(x(t), y(t))\\x(t) &=\frac{1}{2} t\\y(t) &=\frac{1}{3} t^2\\x^\prime (t) &=\frac{1}{2},y^\prime(t)=\frac{2}{3}t\\$

$A_{surface} &=\int\limits_{a}^{b}2\pi(x(t))\sqrt{(x^\prime (t))^2 + (y^\prime(t))^2}dt\\A_{surface} &=\int\limits_{1}^{8} 2\pi\left(\frac{1}{2}t\right) \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}t\right)^2}dt\\A_{surface} &=\pi \int\limits_{1}^{8}t\sqrt{\frac{1}{4} +\frac{4}{9}t^2}dt$

$u =\frac{1}{4} +\frac{4}{9}t^2$

$du = \frac{8}{9}t$

$A_{Surface} &=\frac{9}{8} \pi \int u^{\frac{1}{2}}du\\A_{Surface} &=\frac{9}{8}\pi \left[\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right]\\A_{Surface} &= \frac{9}{8}\pi \left[\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4} + \frac{4}{9}t\right)^{\frac{3}{2}}\right]_1^8\\A_{Surface} &= 360. 803$

Vocabulario

Área superficial de una revolución alrededor del eje $x$ : $A_{surface} =\int\limits_{a}^{b}2\pi \ y(t)\sqrt{(x^\prime(t))^2 + (y^\prime(t))^2}dt$ .

Área superficial de una revolución alrededor del eje $y$ : $A_{surface} =\int\limits_{a}^{b}2\pi \ x(t)\sqrt{(x^\prime(t))^2 + (y^\prime(t))^2}dt$ .

Práctica guiada

1. Prepara los siguientes problemas de área superficial. No tienes que resolverlos.

a. Para los ejercicios 1 a 3, rota alrededor del eje $x$ :

$F(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=3t^3 - 7t^2\\y(t) &=t^4 +10$

b. De $\frac{\pi}{6}$ a $\frac{\pi}{4}$ , rota alrededor del eje $y$ :

$F(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=\tan t\\y(t) &=t^\frac{-4}{3}$

2. Encuentra el área de $t=0$ a $t=7$ cuando rotas la siguiente curva alrededor del eje $y$ .

$F(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=t\\y(t) &=\frac{4}{3}t+7$

3. Rota la siguiente función paramétrica alrededor del eje $x$ y encuentra el área superficial de la figura de $t=0$ a $t=\pi$ .

$F(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=3 \cos (t)\\y(t) &=3 \sin(t)$

Respuestas :

1a. Primero encuentra $x^\prime(t)$ e $y^\prime(t)$ , luego incluye los resultados en la fórmula del área superficial.

$F(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=3t^3 - 7t^2\\y(t) &=t^4 +10\\\\x^\prime(t) &=9t^2 -14 t\\y^\prime(t) &=4t^3\\\\A_{surface} &=\int\limits_{1}^{3}2\pi(t^4+10) \sqrt{(9t^2-14t)^2+(4t^3)^2}dt$

$F(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=\tan(t)\\\\y(t) &=t^{\frac{-4}{3}}\\x^\prime(t)&=\sec^2(t)\\y^\prime(t) &=\frac{-4}{3}(t)^{\frac{-7}{3}}\\\\A_{surface} &=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}2\pi \tan(t) \sqrt{(\sec^2(t))^2 + \left(\frac{-4}{3}(t)^{\frac{-7}{3}}\right)^2}dt$

$F(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=t\\y(t) &=\frac{4}{3} t+7\\x^\prime (t) &=1\\y^\prime (t) &=\frac{4}{3}$

$A_{surface} &=\int\limits_{0}^{7}2\pi t \sqrt{1^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2}dt\\&=2\pi\int\limits_{0}^{7}t\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{10}{3}\pi \int\limits_{0}^{7}t\\&=\frac{10}{3} \pi \left[\frac{1}{2} t^2\right]_0^7\\&=\frac{5}{3} \pi(49) - \frac{5}{3} \pi(0)\\&=\frac{245}{3}\pi$

Nota que la ‘curva’ rotada en este ejercicio en realidad era una línea oblicua que una vez rotada formó un cono.

3. $x^\prime(t) =-3\sin t$

$y^\prime(t) =3\cos t$

$A_{surface} &=\int\limits_{0}^{\pi}2\pi (3 \sin (t)) \sqrt{(-3\sin t)^2+ (3\cos t)^2} dt\\&=\int\limits_{0}^{\pi}6\pi (3 \sin (t)) \sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t} dt\\&=\int\limits_{0}^{\pi}6\pi (3 \sin (t)) \sqrt{1} dt\\&= 18 \pi [-\cos(\pi)-(-\cos(0))]\\&=18 \pi (1+1)\\&=18\pi(2)\\&=36 \pi$

Nota que al ir de 0 a $\pi$ , rotaste un semicírculo alrededor del eje $x$ Creaste una esfera. La fórmula geométrica para el área superficial de una esfera es $4\pi r^2$ , y el radio de la revolución es 3.

Práctica

Prepara los siguientes problemas de área superficial. No tienes que resolverlos.

1. De $t=1$ a $t=5$ , rota alrededor del eje $x$ :

$F(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=2t^2+1\\y(t) &=4t$

2. De $t=\frac{\pi}{6}$ a $t=\frac{\pi}{3}$ , rota alrededor del eje $y$ :

$G(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=\tan(t)\\y(t) &=t^2$

3. De $t=0$ a $t=1.5$ , rota alrededor del eje $y$ :

$H(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=t+7\\y(t) &=2t^3$

4. De $t=0$ a $t=\frac{\pi}{2}$ , rota alrededor del eje $x$ :

$J(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=3 \cos(t)\\y(t) &=2 \sin(t)$

5. De $t=0$ a $t=\frac{\pi}{2}$ , rota alrededor del eje $y$ :

$J(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=3 \cos(t)\\y(t) &=2 \sin(t)$

6. Usa una calculadora para resolver las integrales de los ejercicios 4 y 5. Determina las áreas superficiales aproximadas de los sólidos. En los Ejemplos A y B viste que cuando un cuarto de círculo es rotado sobre el eje $x$ su área superficial era la misma que el área superficial cuando era rotado alrededor del eje $y$ ¿Por qué no es igual con $J(t)$ ?

7. Encuentra el área de $t=0$ a $t=2$ cuando rotas la siguiente curva alrededor del eje $x$ .

$K(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=3 t-4\\y(t) &=t$

8. Rota la siguiente función paramétrica alrededor del eje $x$ y encuentra el área superficial de la figura de $t=0$ a $t=\frac{\pi}{2}$ .

$M(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=3 \cos(2t)\\y(t) &=3 \sin(2t)$

9. ¿Qué tipo de sólido se crea cuando rotas la función del ejercicio 8 alrededor del eje $x$ ?

10. Rota la siguiente función paramétrica alrededor del eje $y$ y encuentra el área superficial de la figura de $t=0$ a $t=2$ .

$N(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=t\\y(t) &=-2 t$

11. ¿Qué tipo de sólido se crea cuando rotas la función del ejercicio 10 alrededor del eje $y$ ?

12. ¿Cómo cambiaría el sólido creado por $N(t)$ si rotara alrededor del eje $x$ ?

13. Rota la siguiente función paramétrica alrededor del eje $x$ y encuentra el área superficial de la figura de $t=0$ a $t=\pi$ . Usa calculadora para simplificar tu tarea.

$P(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=2 \cos(t)\\y(t) &=5 \sin(t)$

14. ¿Qué tipo de sólido se crea cuando rotas la función del ejercicio 13 alrededor del eje $x$ ?

15. Rota la siguiente función paramétrica alrededor del eje $x$ y encuentra el área superficial de la figura de $t=0$ a $t=2$ . Usa calculadora para simplificar tu tarea.

$Q(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=t^3\\y(t) &=t$

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