Formas paramétricas y cálculo: Volumen de una revolución

Objetivos

En esta sección apernderás a encontrar el volumen de tres sólidos tridimensionales creados por la rotación de curvas paramétricas alrededor de los ejes $x$ e $y$ .

Concepto

Martin es un alfarero que presenta sus tazas, jarras y floreros en exhibiciones con jurados a lo largo de su país. Cada pieza que crea es totalmente única. En una exhibición de manualidades en Dubuque, Iowa, un cliente quiere saber exactamente cuántos centímetros cúbicos de arcilla se necesita para crear un florero en particular. ¿Cómo puede Martin calcular el volumen de arcilla necesario para crear un florero?

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https://www.youtube.com/watch?v=dpuvML6NymY

Orientación

¿Alguna vez has horneado galletas con masa pre-hecha refrigerada? Para hacer galletas tienes que separar la masa en cílindros delgados. Si unes los cilindros nuevamente armar la masa de galletas.

Cuando encuentras el volumen de la revolución de una curva paramétrica usas un proceso muy parecido al cortar porciones y hornear galletas. Cuando una curva rota alrededor de un eje, cada sección cruzada es un círculo. La forma completa está hecha de cilindros muy, muy delgados, igual que un paquete de masa para galletas. El volumen de la forma completa será la suma de los volúmenes de los cilindros.

La fórmula geométrica del volumen de un cilindro es $A=\pi r^2h$ , donde $r$ es el radio y $h$ su altura. La fórmula para un sólido paramétrico es similar. El radio es la distancia desde el eje de rotación hasta el valor de la función de un tiempo, $t$ . La altura de un cilindro está definida como el cambio en la distancia durante el tiempo – es decir, una derivada. Puedes usar una integral para sumar todos los cilindros y encontrar el volumen del sólido.

La fórmula para encontrar el volumen de una curva rotada alrededor del eje $x$ es $\pi \int\limits_{a}^{b}y(t)^2(x^{\prime}(t))dt$ . Si la curva rota alrededor del eje $y$ la fórmula es $\pi \int\limits_{a}^{b}x(t)^2(y^{\prime}(t))dt$ .

Ejemplo A

Rota la curva representada por la ecuación paramétrica alrededor del eje $x$ de $t=0$ a $t=\frac{\pi}{2}$ y encuentra el volumen de la forma tridimensional resultante.

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=3\cos t\\y(t)&=3\sin t\\$

Solución: Para encontrar el volumen de esta revolución, usa la fórmula $\pi \int\limits_{a}^{b}y(t)^2(x^{\prime}(t))dt$ .

$\pi \int\limits_{a}^{b}y(t)^2(x^{\prime}(t))dt &=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}(3\sin t)^2(-3 \sin (t))dt\\&=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}-27 \sin^2 t \sin t dt\\&=-27 \pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^3 t dt\\$

A partir de una tabla de integrales puedes notar que la integral para $\sin^3tdt$ es $\frac{1}{3}\cos^3t-\cos t$ , asi que

$-27\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^3tdt &=-27\pi \left[\frac{1}{3}\cos^3t-\cos t\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\&=-27\pi\left[\left[\frac{1}{3}\cos^3 \left(\frac{\pi}{2}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]-\left[\frac{1}{3}\cos^3(0)-\cos(0)\right]\right]\\&=-27\pi\left[\left[\frac{1}{3}(0)-(0)\right]-\left[\frac{1}{3}(1)-1\right]\right]\\&=-27\pi \left(\frac{2}{3}\right)\\&=-18\pi\\$

Recuerda, la cantidad es negativa porque las ecuaciones paramétricas recorren la curva al contrario del sentido de las agujas del reloj, por lo que los resultados de la integración son negativos. El volumen es $18\pi \ \text{units}^3$ .

Esta revolución crea una media esfera. Recuerda que la fórmula geométrica del volumen para la esfera es $\frac{4}{3}\pi r^3$ . Entonces, usando la geometría, esta semiesfera tendría un área de $\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)=\frac{2}{3}(27\pi)=18 \pi \ \text{units}^3$ . El método integral para encontrar el volumen de un sólido nos da el mismo resultado que el método geométrico. Sin embargo, también puedes usar el método integral para encontrar el volumen de formas irregulares o inusuales.

Ejemplo B

Encuentra el volumen de un sólido formado cuando la siguiente curva paramétrica es rotada alrededor del eje $y$ de $t=1$ a $t=5$ .

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=5t^2\\y(t)&=6t\\$

Solución: Usa la ecuación del volumen para una curva rotada alrededor del eje $y$ .

$\pi \int\limits_{a}^{b}x(t)^2(y^{\prime}(t))dt &=\pi \int\limits_{1}^{5}(5t^2)^2(6)dt\\&=6\pi \int\limits_{1}^{5}25t^4 dt\\&=150\pi \int\limits_{1}^{5}t^4\\&=150\pi \left[\frac{1}{5}t^5\right]_{1}^{5}\\&=93750\pi-30\pi\\&=93720\pi\\$

El volumen del sólido es de $93720\pi \ \text{units}^3$ .

Ejemplo C

Una cuenta de vidrio puede ser representada por la siguiente ecuación paramétrica

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=5 \cos(t)\\y(t)&=5 \sin(t)\\$

Rotada alrededor del eje $x$ de $t=0$ a $t=\pi$ con un centro descrito por la rotación de

$G(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=4\cos(t)\\y(t)&=4\sin(t)\\$

Alrededor del eje $x$ de $t=0$ a $t=\pi$ . Encuentra el volumen del material que compone la cuenta.

Solución: Primero, encuenta el volumen de la cuenta completa.

$\pi \int\limits_{a}^{b}y(t)^2(x^{\prime}(t))dt &=\pi \int\limits_{0}^{\pi}(5 \sin(t))^2 (-5 \sin t)dt\\&=-125 \pi \int\limits_{0}^{\pi}\sin^3(t)dt\\&= -125 \pi \left[\frac{1}{3}\cos^3 t- \cos t \right]_{0}^{\pi}\\&=-125 \pi \left[\frac{2}{3}-\frac{-2}{3}\right]\\&=\frac{-500}{3}\pi\\$

La fórmula da como resultado un volumen negativo porque $t$ recorre la curva de forma contraria a las agujas del reloj. El volumen es $\frac{500}{3}\pi$ .

Ahora encuentra el volumen del centro hueco.

$\pi \int\limits_{a}^{b}y(t)^2(x^{\prime}(t))dt &=\pi \int\limits_{0}^{\pi}(4 \sin(t))^2 (-4 \sin t)dt\\&=-64 \pi \int\limits_{0}^{\pi}\sin^3(t)dt\\&= -64 \pi \left[\frac{1}{3}\cos^3 t- \cos t \right]_{0}^{\pi}\\&=-64 \pi \left[\frac{2}{3}-\frac{-2}{3}\right]\\&=\frac{-256}{3}\pi\\$

El volumen del centro hueco es $\frac{256}{3}\pi$ . Restra para encontrar el volumen del material que compone la cuenta.

$\frac{500}{3}\pi - \frac{256}{3}\pi=\frac{244}{3}\pi$

El material que compone la cuenta tiene un volumen de $\frac{244}{3}\pi \ \text{units}^3$ .

Análisis del problema de la sección

Martin puede modelar el florero rotando dos curvas paramétricas alrededor del eje $y$ de 0,25 a 1,5. La primera curva, $F(t)$ , formará el exterior del florero. La segunda curva, $G(t)$ , modelará el interior del florero. Si Martin encuentra el volumen del sólido formado por la curva exterior y resta el volumen del sólido formado por la curva interior, puede saber aproximadamente cuántos centímetros cúbicos de arcilla constituyen el florero.

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=8t^2\\y(t)&=6t^5\\\\G(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=7t^2\\y(t)&=6t^5\\$

Primero, encuentra el volumen para la revolución de $F(t)$ .

$x(t)&=8t^2\\y(t)&=6t^5\\y^{\prime}(t)&=30t^4\\\\\pi \int\limits_{.25}^{1.5}x(t)^2 y^{\prime}(t)dt &=\pi \int\limits_{.25}^{1.5}(8t^2)^2(30t^4)dt\\&=\pi \int\limits_{.25}^{1.5}64t^4(30t^4)dt\\&=1920 \pi \int\limits_{.25}^{1.5}t^8 dt\\&=1920 \pi \left[\frac{1}{9}t^9 \right]_{.25}^{1.5}\\&=640 \frac{\pi}{3}((1.5)^9-(.25)^9)\\&=8201.249 \pi\\$

El volumen del sólido creado por $F(t)$ es $8201.249 \pi \ cm^3$ . Ahora calcula el volumen del sólido interior, $G(t)$ .

$G(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=7t^2\\y(t)&=6t^5\\y^{\prime}(t)&=30t^4\\\\\pi \int\limits_{.25}^{1.5}x(t)^2 y^{\prime}(t)dt &=\pi \int\limits_{.25}^{1.5}(7t^2)^2(30t^4)dt\\&=\pi \int\limits_{.25}^{1.5}49t^4(30t^4)dt\\&=1470 \pi \int\limits_{.25}^{1.5}t^8 dt\\&=490 \frac{\pi}{3} \left[t^9 \right]_{.25}^{1.5}\\&=6279.081 \pi\\$

El volumen del sólido creado por $G(t)$ es $6279.081\pi \ cm^3$ .

Resta para encontrar el volumen de arcilla y véras que Martin usó aproximadamente $1922.168\pi \ cm^3$ de arcilla para hacer el florero.

Vocabulario

Volumen de una curva paramétrica rotada alrededor del eje $x$ :- $\pi \int\limits_{a}^{b}y(t)^2(x^{\prime}(t))dt$ .

Volumen de una curva paramétrica rotada alrededor del eje $y$ :- $\pi \int\limits_{a}^{b}x(t)^2(y^{\prime}(t))dt$ .

Práctica guiada

1. Encuentra el volumen de un sólido formado cuando la siguiente curva paramétrica es rotada alrededor del eje $x$ de $t=5$ a $t=10$ .

$F(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=t\\y(t)&=\frac{3}{4}t+5\\$

2. Encuentra el volumen de un sólido formado cuando la siguiente curva paramétrica es rotada alrededor del eje $y$ de 0 a $\frac{\pi}{2}$ .

$G(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=5 \cos(t)\\y(t)&=5 \sin(t)\\$

3. Encuentra el volumen del plástico necesario para hacer un objeto descrito por la revolución de $H(t)$ de $\frac{\pi}{6}$ a $\frac{5\pi}{6}$ alrededor del eje $x$ con un centro perforado descrito por $K(t)$ .

$H(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=10 \cos t\\y(t)&=4 \sin t\\\\K(t)&=(x(t),y(t))\\x(t)&=t\\y(t)&=.5\\$

Respuestas:

$y(t) &=\frac{3}{4}t+5\\x^{\prime}(t)&=1 \\\pi \int\limits_{a}^{b}y(t)^2(x^{\prime}(t))dt &= \pi \int\limits_{5}^{10}\left(\frac{3}{4}t+5 \right)^2dt \\&=\pi \int\limits_{5}^{10}\left(\frac{9}{16}t^2+\frac{15}{2}t+25\right)dt\\&=\pi \left[\frac{9}{48}t^3+\frac{15}{4}t^2+25t\right]_{5}^{10}\\&=\pi \left[\left[\frac{9}{48}(10)^3+\frac{15}{4}(10)^2+25(10)\right]-\left[\frac{9}{48}(5)^3+\frac{15}{4}(5)^2+25(5)\right]\right]\\&=\pi(812.5)- \pi(242.1875)\\&=570.3125 \pi\\$

El volumen es de $570.3125\pi \ \text{units}^3$ . Nota que esta revolución crea un cono.

$x(t) &=5\cos(t)\\y(t) &=5\sin(t)\\y^\prime (t) &=5\cos(t)\\\\\pi \int\limits_{a}^{b}x(t)^2(y^\prime(t))dt &=\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(5\cos t)^2(5 \cos t)dt\\&=125 \pi\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}(\cos t)^3 dt\\&=125\pi \left[\sin t-\frac{1}{3}\sin^3 t\right]^\frac{\pi}{2}_{0}\\&=\frac{250\pi}{3}$

$H(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=10\cos t\\y(t) &=4\sin t\\x^\prime(t) &= -10\sin t\\\\K(t)&=(x(t),y(t))\\x(t) &=t\\y(t) &=.5\\x^\prime (t)&=1$ $\text{Volume} &=\pi \int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}(4\sin t)^2(-10\sin t)dt - \pi \int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}(.5)^2(1)dt\\&=\pi \int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}-160\sin^3 tdt - \pi \int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} .25 dt\\&=-160 \pi \left[\frac{1}{3} \cos^3 t-\cos t \right]^{\frac{5\pi}{6}}_{\frac{\pi}{6}} - \pi [.25 t]^{\frac{5\pi}{6}}_{\frac{\pi}{6}}\\& \approx -654.613$

El volumen de plástico necesario es de aproximadamente $654.613 \ units^3$ .

Práctica

Prepara los siguientes problemas de volúmenes No tienes que resolverlos.

1. De $t=1$ a $t=5$ , rota alrededor del eje $x$ :

$F(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=2t^2+1\\y(t) &=4t$

2. De $t=1$ a $t=5$ , rota alrededor del eje $y$ :

$F(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=2t^2+1\\y(t) &=4t$

3. De $t=\frac{\pi}{6}$ a $t=\frac{\pi}{3}$ , rota alrededor del eje $y$ :

$G(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=\tan(t)\\y(t) &=t^2$

4. De $t=\frac{\pi}{6}$ a $t=\frac{\pi}{3}$ , rota alrededor del eje $x$ :

$G(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=\tan(t)\\y(t) &=t^2$

5. De $t=0$ a $t=1.5$ , rota alrededor del eje $y$ :

$H(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=t+7\\y(t) &=2t^3$

6. De $t=0$ a $t=\frac{\pi}{2}$ , rota alrededor del eje $x$ :

$J(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=3\cos(t)\\y(t) &=2\sin(t)$

7. De $t=0$ a $t=\frac{\pi}{2}$ , rota alrededor del eje $y$ :

$J(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=3\cos(t)\\y(t) &=2\sin(t)$

8. Rota la siguiente función paramétrica alrededor del eje $x$ y encuentra el volumen de la figura de $t=0$ a $t=\frac{\pi}{2}$ .

$M(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=3\cos(2t)\\y(t) &=3\sin(2t)$

9. Rota la siguiente función paramétrica alrededor del eje $y$ y encuentra el volumen del sólido de $t=0$ a $t=2$ .

$N(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=t\\y(t) &=-2t$

10. Rota la siguiente función paramétrica alrededor del eje $x$ y encuentra el volumen del sólido de $t=0$ a $t=\pi$ . Usa calculadora para simplificar tu tarea.

$p(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=2\cos(t)\\y(t) &=5\sin(t)$

11. Rota la siguiente función paramétrica alrededor del eje $x$ y encuentra el volumen del sólido de $t=0$ a $t=2$ .

$Q(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=t^3\\y(t) &=t$

12. Encuentra el volumen de un sólido formado cuando la siguiente curva paramétrica es rotada alrededor del eje $x$ de $t=5$ a $t=10$ .

$R(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=\frac{2}{3}t\\y(t) &=t+5$

13. Encuentra el volumen de un sólido formado cuando la siguiente curva paramétrica es rotada alrededor del eje $x$ de 0 a $\pi$ .

$A(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=3\cos (t)\\y(t) &=3\sin(t)$

14. Encuentra el volumen de un sólido formado cuando la siguiente curva paramétrica es rotada alrededor del eje $x$ de -2,9896 a 2,9896.

$B(t) &=(x(t),y(t))\\x(t) &=t\\y(t) &=\frac{1}{4}$

15. Encuentra el volumen del plástico necesario para hacer un objeto descrito por la revolución de $A(t)$ (descrito en el ejercicio 13) con un centro perforado de $B(t)$ (descrito en el ejercicio 14).

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