El sistema de coordenadas polares y las gráficas polares

Objetivos

En esta sección aprenderás a graficar puntos de forma polar. Convertirás ecuaciones de forma rectangular a polar y viceversa. También graficarás ecuaciones en forma polar.

Concepto

Para la clase de ingeniería, Mariah desarrolló una máquina que lanza pelotas de ping pong en el gimnasio. La distancia que recorre la pelota es una función del ángulo de lanzamiento. ¿Cómo puede Mariah representar el movimiento de la pelota de ping pong y predecir dónde caerá?

Mira esto

Haz click en la imagen anterior para ver más contenido . *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

https://www.youtube.com/watch?v=-tZR3ggdoIU

Orientación

Durante la mayor parte de tu vida has graficado ecuaciones en forma rectangular. En la forma rectangular, dos ejes, el eje $x$ y el eje $y$ se juntan en un ángulo recto en un punto denominado origen. Ambos ejes continúan infinitamente en dos direcciones. Los puntos en la gráfica se describen con una coordenada $x$ y una coordenada $y$ La coordenada $x$ da la ubicación en el eje horizontal y la coordenada $y$ da la ubicación en el eje vertical. Cada grupo de coordenadas $(x,y)$ describe exactamente un punto en el plano coordenado.

En la forma polar, los puntos en el plano se describen en relación a un punto, conocido como origen, junto al eje polar, el cual es un rayo que comienza en el origen y continúa infinitamente en una dirección. Los puntos en el plano polar se definen en términos de $(r,\theta)$ donde $r$ es la distancia con respecto al origen y $\theta$ es el ángulo entre el rayo que conecta $(r,\theta)$ al origen y el eje polar. A continuación verás el punto $(5, \frac{\pi}{4})$ .

Las gráficas en forma polar pueden ser muy útiles para los problemas de física en donde los ángulos son importantes, como por ejemplo el movimiento de un projectil o la acústica.

En la forma polar, un número infinito de pares coordenados puede representar el mismo punto. Esto ocurre porque si sumas $2\pi$ a cualquier ángulo tendrás un grupo distinto de coordenadas, pero la ubicación del punto será la misma. Por ejemplo, $\frac{\pi}{6}$ se encuentra en el mismo lugar que $\frac{13\pi}{6}$ y $\frac{25\pi}{6}$ . Además, la forma polar permite radios positivos y negativos. Cuando $r$ es positivo representa la distancia de un rayo que forma el ángulo θ con el eje polar. Cuando $r$ es negativo representa la distancia de un rayo que apunta en la dirección opuesta al rayo que forma $\theta$ .

Cabe destacar que esto significa que, por ejemplo, $(5,\frac{\pi}{4})$ y $(-5,\frac{5\pi}{4})$ representan el mismo punto.

Hay muchas fórmulas que te permiten transformar las ecuaciones de forma polar a forma rectangular y de forma rectangular a forma polar. Algunos problemas son más fáciles en una forma, otros son más fáciles en la otra. Si aprendes a usar estas transformaciones serás capaz de simplicar problemas más fácilmente. Las fórmulas para transformar ecuaciones polares son:

$x^2+y^2 & = r^2\\x&=r \cos \theta\\y&=r \sin \theta\\\frac{y}{x} &= \tan \theta$

Hay varias formas de graficar ecuaciones polares. Puedes graficarlas a mano usando papel milimetrado o usando papel corriente con un transportador y una regla. También puedes usar una calculadora gráfica. Si no tienes una, Wolfram Alpha www.wolframalpha.com te permite usar una herramienta de graficado online gratuita. *Solo disponible en inglés .

Ejemplo A

a) Encuentra el punto en el plano polar que corresponde al punto triangular (3, 4).

b) Encuentra el punto en forma rectangular que corresponde al punto $\left [ 2, \frac{\pi}{6}\right ]$ en forma polar.

Solución: a) A partir de las fórmulas de transformación puedes notar que $x^2+y^2=r^2$ . Por lo que, $3^2+4^2=r^2$ y $5=r$ . Para encontrar $\theta$ , recuerda que $\frac{y}{x}=\tan\theta$ . Esto significa que $\frac{4}{3}=\tan\theta$ . Toma la tangente inversa de cada lado para encontrar $\theta=.9273$ . Las coordenadas polares para el punto son [5, 0.9273].

b) Recuerda que $x=r \cos \theta$ y $y=r \sin \theta$ .

$2 \cos \frac{\pi}{6}&=x\\x&=\sqrt{3}\\2 \sin\frac{\pi}{6}&=y\\y&=1$

El punto en forma rectangular es $\left ( \sqrt{3},1 \right )$ .

Ejemplo B

Escribe la siguiente ecuación en forma rectangular. Luego, grafica a mano o con una calculadora.

$y=\frac{1}{2}x+2$

Solución: Usando las ecuaciones de transformación obtienes:

$r \sin \theta & = \frac{1}{2} r \cos \theta + 2\\r&=\frac{2}{\sin \theta - \frac{1}{2} \cos \theta}$

Nota que esta ecuación lineal todavía aparece como línea en forma polar.

Ejemplo C

Grafica la siguiente ecuación en forma polar. Luego grafica en forma rectangular y compara las gráficas.

$r=6 \sin \theta$

Solución:

Para transformar esta ecuación multiplica ambos lados por $r$ para obtener

$r^2=6 r \sin \theta$

Usa las fórmulas de transformación para reemplazar y obtener $x^2+y^2=6y$ . Completa el cuadrado para que esta ecuación tenga una forma más familiar. Luego, grafica.

$x^2+(y^2-6y+9)&=9\\x^2+(y-3)^2&=9$

La ecuación es un círculo con un centro en (0, 3) y un radio de 3.

Análisis del problema de la sección

Las coordenadas polares presentan una solución natural al problema de Mariah, ya que expresan ecuaciones en términos de un ángulo $\theta$ y una distancia, $r$ . Mariah sabe que la ecuación $y=10x+5x^2$ puede representar el movimiento de su proyectil en forma rectangular. Usará las fórmulas de transformación para encontrar la misma ecuación en forma paramétrica. Ahora podrá usar $r$ y $\text{[math]}$ $\theta$ para representar el movimiento de sus pelotas de ping pong.

$y&=10x+5x^2\\r \sin \theta & = 10 r \cos \theta+5r^2 \cos^2 \theta\\\frac{r \sin \theta}{r \cos \theta} &=\frac{10 r \cos \theta}{r \cos \theta}+\frac{5r^2 \cos^2 \theta}{r \cos \theta} =\\\tan \theta &=10+5r \cos \theta\\r&=\frac{\tan \theta - 10}{5 \cos\theta}$

Ahora puede graficar la ecuación.

Vocabulario

Forma rectangular – Forma de la ecuación en donde los puntos son expresados como $(x, y)$ . En la forma rectangular el eje horizontal, el eje $x$ junto al eje vertical, el eje $y$ se encuentran en ángulos rectos en el origen, definido como (0, 0). Las coordenadas en forma rectangular dan la ubicación de un punto como distancia horizontal a partir del origen y una distancia vertical a partir del origen .

Forma polar – Forma de la ecuación en donde los puntos son expresados como $(r, \theta)$ . En la forma polar el origen [0, 0] es un punto en el cual se origina el rayo denominado eje polar. La ubicación de un punto está expresado por $r$ , su distancia con respecto al origen, junto a $\text{[math]}$ $\theta$ , el ángulo creado por el rayo que aparece desde el origen y que pasa a través de ese punto del eje polar.

Transformaciones polares – Grupo de fórmulas que te permiten transformar las ecuaciones de forma polar a forma rectangular y de forma rectangular a forma polar. Las transformaciones polares más útiles son:

$x^2+y^2&=r^2\\x&=r\cos \theta\\y&=r\sin \theta\\\frac{y}{x}&=\tan \theta$

Práctica guiada

1. Escribe los 4 puntos siguientes en forma polar. (1, 1), (1, 4), (5, 1), (5, 4)

2. Escribe los 3 puntos siguientes en forma rectangular. $(4, \frac{\pi}{3}),(2\frac{\pi}{6}),(6,\frac{2\pi}{3})$

3. Escribe la siguiente ecuación en forma polar. Luego, grafica. $y=x^3-2x^2+7$

4. Grafica la siguiente ecuación. Luego, escríbela en forma rectangular. $\frac{r^3+r^2}{\sin\theta}=4$ .

Respuestas:

1. Para cada punto necesitarás encontrar $r$ y $\text{[math]}$ $\theta$ .

$& (1, 1)\\r^2&=x^2+y^2\\r^2&=2\\r&=\sqrt{2}\\\tan \theta &=\frac{y}{x}\\\tan \theta &=1\\\theta &=\frac{\pi}{4}$

(1, 1) en forma polar es $\left (\sqrt{2},\frac{\pi}{4} \right )$ .

$& (1, 4)\\r^2&=x^2+y^2\\r^2&=17\\r&=\sqrt{17}\\\tan \theta &= \frac{4}{1}\\\tan \theta&=4\\\theta&=1.33$

(1, 4) en forma polar es $\left ( \sqrt{17}, 1.33\right )$ .

$& (5, 1)\\r^2&=x^2+y^2\\r^2&=26\\r&=\sqrt{26}\\\tan \theta&=\frac{x}{y}\\\tan \theta&=\frac{1}{5}\\\theta&=0.197$

(5, 1) en forma polar es $\left ( \sqrt{26}, 0.197\right )$ .

$& (5, 4)\\r^2&=x^2+y^2\\r^2&=41\\r&=\sqrt{41}\\\tan \theta&=\frac{y}{x}\\\tan \theta &=\frac{4}{5}\\\theta&=.675$

(5, 4) en forma polar es $\left ( \sqrt{41}, 0.675\right )$ .

2. Recuerda que, para cada punto $x=r \cos \theta$ y $y=r\sin \theta$ .

$&\left (4, \frac{\pi}{3} \right )\\x&=r\cos \theta\\x&=4 \cos \left (\frac{\pi}{3} \right )\\x&=2\\y&=r \sin \theta\\y&=4 \sin \left (\frac{\pi}{3} \right )\\y&=2\sqrt{3}\\$

$\left ( 4, \frac{\pi}{3}\right )$ en forma rectangular es $\left ( 2, 2\sqrt{3}\right )$ .

$& \left (2, \frac{\pi}{6} \right )\\x&=r \cos \theta\\x&=2 \cos \left (\frac{\pi}{6} \right )\\x&=\sqrt{3}\\y&=r\sin \theta\\y&=2\sin \left (\frac{\pi}{6} \right )\\y&=1$

$\left ( 2, \frac{\pi}{6}\right )$ en forma rectangular es $\left (\sqrt{3}, 1 \right )$ .

$& \left (6, \frac{2 \pi}{3} \right )\\x&=r \cos \theta\\x&=6 \cos \left (\frac{2 \pi}{3} \right )\\x&=-3\\y&=r\sin \theta\\y&=6\sin \left ( \frac{2 \pi}{3}\right )\\y&=3 \sqrt{3}\\$

$\left (6, \frac{2 \pi}{3} \right )$ en forma rectangular es $\left ( -3, 3 \sqrt{3}\right )$ .

3. Usa las fórmulas de transformación para escribir las ecuaciones con los términos $r$ y $\theta$ .

$y&=x^3-2x^2+7\\r \sin \theta&= \left (r \cos \theta \right )^3 - 2(r \cos \theta)^2+7\\r\sin \theta&=r^3 \cos^3 \theta - 2r^2 \cos^2 \theta +7\\r \sin\theta-r^3 \cos^3 \theta+2r^2 \cos^2 \theta&=7\\$

Ahora, grafica.

4. Usa la sustitución para escribir en términos $x$ y $y$ .

$\frac{r^3+r^2}{\sin \theta}&=4\\r^3+r^2&=4 \sin \theta\\r(r^2+1)&=4\sin\theta\\r^2(r^2+1)&=4r \sin \theta\\(x^2+y^2)(x^2+y^2+1)&=4y\\0&=x^4+2x^2y^2+x^2+y^4+y^2-4y\\$

Práctica

Convierte cada punto dado en forma rectangular a forma polar. Presta atención al cálculo de $\theta$ .

1. (2, 3)

2. (-3, 4)

3. (5, 12)

4. (-6, -8)

Convierte cada punto dado en forma polar a forma rectangular.

5. $\left (2, \frac{\pi}{4} \right )$

6. $\left (-4, \frac{\pi}{2} \right )$

7. $\left (-4, \frac{3 \pi}{2} \right )$

8. $\left ( 3, \frac{5\pi}{6}\right )$

Transforma las siguientes ecuaciones en forma rectangular a forma polar. Luego, grafica.

9. $y=3x+1$

10. $y=x^2+2$

11. $(x+5)^2+y^2=25$

Transforma las siguientes ecuaciones en forma rectangular a forma polar. Luego, grafica.

12. $r=2 \sec\theta$

13. $r=1$

14. $\theta=0$

15. $r=-4 \sin\theta$

16. $r=\frac{10}{\sqrt{4+21 \sin^2 \theta}}$

Prev Next