Ecuaciones polares de figuras cónicas y sus gráficas

Objetivos

En esta sección aprenderás a representar secciones cónicas en forma polar. Aprenderás a encontrar ecuaciones polares para elipses, círculos, hipérbolas y parábolas. También aprenderás a identificar una figura cónica a partir de su ecuación polar y cómo escribir una ecuación polar de una figura cónica en forma rectangular.

Concepto

Janet está resolviendo un problema de física que trata sobre muchos planetas en órbita alrededor de una estrella. Intentó expresar el problema en forma rectangular, pero las ecuaciones resultantes eran bastante desordenadas. Janet necesita una forma de simplificar el problema para que pueda trabajar con las ecuaciones más fácilmente. ¿Puedes ayudarla?

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Orientación

Ya has definido secciones cónicas en forma rectangular con las variables $x$ e $y$ . La forma rectangular representa un cono en relación a su origen, el eje $x$ y el eje $y$ .

El sistema polar consta de un origen y un rayo llamado eje polar. Cuando escribes ecuaciones para secciones cónicas en forma polar, las defines en los términos $r$ y $\theta$ . Para hacerlo, debes primero definir las secciones cónicas en términos de foco y directriz. Para cualquier sección cónica, la distancia desde un punto en el cono a un punto focal dividido por la distancia entre el mismo punto y la línea que representa la directriz es un valor constante. Este valor generalmete es simbolizado con $e$ , y representa la excentricidad del cono. La excentricidad del cono definirá el tipo de cono que es.

Las ecuaciones para secciones cónicas tendrán una de las siguientes formas:

1. $r=\frac{ed}{1 \pm e \cos \theta}$ , donde $e$ es la excentricidad y $x= \pm d$ la ubicación de la directriz

2. $r=\frac{ed}{1 \pm e \sin \theta}$ , donde $e$ es la excentricidad y $y= \pm d$ la ubicación de la directriz

*Esta sección se enfocará en las secciones cónicas de la primera forma.

La excentricidad determina la forma de una sección cónica. Cuando $0 < e < 1$ , la forma cónica es una elipse. Cuando $e=1$ , la figura es una parábola y cuando $e>1$ la figura es una hipérbola.

Cuando $e=0$ , la figura es un círculo. En la forma polar, muchas gráficas producen un círculo. Algunos ejemplos son $r=\cos \theta$ , $r=7$ , y $r=\sin \theta$ .

Ejemplo A

Puedes identificar las secciones cónicas en forma polar al escribirlas en forma $r=\frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ (o $r=\frac{ed}{1 \pm e \sin \theta}$ ).

¿Qué tipo de forma cónica está definida por la ecuación $r=\frac{10}{5+5 \cos \theta}$ ?

Solución: Para averiguarlo, primero multiplica por $\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}}$ para poner el denominador en la forma $1+e \cos \theta$ .

El resultado es $r=\frac{2}{1+\cos \theta}$ . Nota que en esta ecuación $e=1$ , por lo que la ecuación representa una parábola donde $d=2$ .

Ejemplo B

Cuando transformas la ecuación de una elipse en forma polar a forma rectangular, la ecuación de la elipse será: $\frac{(x+c)^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-c^2}=1$

donde

$a &= \frac{ed}{1-e^2} \\c &= ea$

Transforma la ecuación $r=\frac{5}{10+3 \cos \theta}$ a forma rectangular.

Solución: Primero escribe el denominador en la forma $1+e \cos \theta$ para que puedas determinar los valores de $d$ y $e$ .

$r &=\frac{5}{10+3 \cos \theta} \\r &=\frac{5}{10+3 \cos \theta} \cdot \frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}} \\r &= \frac{\frac{1}{2}}{1+ \frac{3}{10} \cos \theta} \\r &= \frac{\frac{3}{10} \cdot \frac{5}{3}}{1+ \frac{3}{10} \cos \theta}$

Entonces, para esta elipse, $e=\frac{3}{10}$ y $d=\frac{5}{3}$ .

Ahora usa las ecuaciones dadas anteriormente para transformar la ecuación a forma rectangular. Primero busca $a$ y $c$ .

$a &= \frac{ed}{1-e^2} \\a &= \frac{\frac{1}{2}}{1- \left(\frac{3}{10}\right)^2} = \frac{50}{91} \\c &= ea =\frac{15}{91}$

Ahora incluye los valores de $a$ y $c$ en $\frac{(x+c)^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - c^2}=1$ para encontrar la ecuación de la elipse:

$\frac{\left(x+ \frac{15}{91} \right)^2}{\frac{2500}{8281}} + \frac{y^2}{\frac{2275}{8281}} = 1$

Ejemplo C

Cuando transformas la ecuación de una hipérbola en forma polar a forma rectangular, la ecuación de la hipérbola será: $\frac{(x-c)^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2 - a^2}=1$

donde

$a &= \frac{ed}{e^2 - 1} \\c &= ea$

Transforma la ecuación $r=\frac{4}{1+2 \cos \theta}$ a forma rectangular.

Solución: El denominador ya está en la forma $1+e \cos \theta$ , así que ya sabes que $e=2$ y $d=2$ .

Usa las ecuaciones dadas para transformar la ecuación a forma rectangular. Primero busca $a$ y $c$ .

$a &= \frac{ed}{e^2 - 1} = \frac{4}{4-1}=\frac{4}{3} \\c &= ea=(2) \left(\frac{4}{3}\right)=\frac{8}{3}$

Ahora incluye los valores de $a$ y $c$ en $\frac{(x-c)^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2-a^2} =1$ para encontrar la ecuación de la hipérbola:

$\frac{\left(x- \frac{8}{3}\right)^2}{\frac{16}{9}} - \frac{y^2}{\frac{48}{9}} = 1$

Ejemplo D

Para transformar la parábola de forma polar a rectangular, puedes usar la ecuación

$y^2=-2d \left(x- \frac{d}{2}\right)$ para ecuaciones polares de la forma $r= \frac{ed}{1 \pm e \cos \theta}$

$x^2=-2d \left(y- \frac{d}{2}\right)$ para ecuaciones polares de la forma $r= \frac{ed}{1 \pm \sin \theta}$

Transforma la ecuación $r=\frac{4}{1+ \cos \theta}$ a forma rectangular.

Solución: Primero reconoce que $d=4$ porque $e=1$ . Luego, incluye el valor en la primera ecuación. La ecuación de la parábola es $y^2=-8(x-2)$ .

Análisis del problema de la sección

Al escribir las ecuaciones de sus objetos orbitantes en forma polar, Janet puede crear fácilmente un modelo de su problema y trabajar con las ecuaciones en un formato más simple. Por ejemplo, imagina que está siguiendo las trayectorias de 2 planetas y un cometa alrededor de una estrella. Todos estos objetos tendrán el sol como uno de los puntos focales de sus órbitas, por lo que es fácil representar sus trayectorias con ecuaciones polares. Imagina que la órbita de un planeta está representada por la ecuación $r=\frac{\frac{1}{2}}{1+ \frac{1}{10}\cos \theta}$ , el otro planeta tiene una órbita representada por la ecuación $r=\frac{3}{1+ \frac{1}{3}\cos \theta}$ , mientras que la órbita del cometa está representada por la ecuación $r=\frac{2}{1+ \cos \theta}$ .

Al graficar las ecuaciones en su calculadora o en un sitio como footplot.com, Janet puede ver rápidamente cómo el cometa intersecta la órbita del segundo planeta. También puede ver que el cometa pasará entre las órbitas del planeta del interior y del exterior en su recorrido luego de pasar dicho cuerpo celeste.

Para saber exactamente dónde las órbitas se intersectarán, Janet puede igualar la ecuación de la órbita del planeta a la ecuación de la órbita del cometa y luego resolver $\theta$ . Entonces:

$\frac{3}{1+ \frac{1}{3}\cos \theta} &= \frac{2}{1+ \cos \theta} \\3(1+ \cos \theta) &= 2 \left(1+\frac{1}{3} \cos \theta \right) \\3+3 \cos \theta &= 2+\frac{2}{3} \cos \theta \\\frac{7}{3}\cos \theta &= -1 \\\cos \theta &= -\frac{3}{7} \\\theta &= 2.014, \ 2 \pi - 2.014$

Incluye los valores en la ecuación original para encontrar $r$ .

$r=\frac{2}{1+ \cos \theta} = \frac{2}{1+ \frac{-3}{7}} = \frac{2}{\frac{4}{7}} = \frac{7}{2}$

Entonces, el cometa intersectará la órbita del planeta del exterior en $\left(\frac{7}{2}, 2.014\right)$ y $\left(\frac{7}{2}, 4.269 \right)$ .

Vocabulario

Forma rectangular – Forma de la ecuación en donde los puntos son expresados como $(x, y)$ . En la forma rectangular el eje horizontal, el eje $x$ junto al eje vertical, el eje $y$ se encuentran en ángulos rectos en el origen, definido como (0, 0). Las coordenadas en forma rectangular dan la ubicación de un punto como distancia horizontal a partir del origen y una distancia vertical a partir del origen.

Forma polar – Forma de la ecuación en donde los puntos son expresados como $(r, \theta)$ . En la forma polar el origen (0, 0) es un punto en el cual comienza el rayo denominado eje polar. La ubicación de un punto está expresado por $r$ , su distancia con respecto al origen, junto a $\theta$ , el ángulo creado por el rayo que aparece desde el origen y que pasa a través de ese punto del eje polar.

Ecuación para una sección cónica en forma polar – La ecuación básica para una sección cónica en forma polar es $r=\frac{ed}{1 \pm e \cos \theta}$ donde $e$ es la exentricidad de la figura y $x= \pm d$ la ubicación de la directriz.

Directriz – Línea que, en combinación con el punto focal, define la sección cónica en la forma polar. Cada punto, $P$ , de una sección cónica puede ser descrita por $e$ , el radio de su distancia con el punto focal dividido por su distancia con la directriz.

Práctica guiada

Para cada uno de los siguientes ejemplos, identifica la sección cónica descrita por la ecuación, transforma la ecuación a forma rectangular y grafica.

1. $r=\frac{5}{3+ \cos \theta}$

2. $r=\frac{6}{1+ \cos \theta}$

3. $r=\frac{12}{1+6 \cos \theta}$

Respuestas:

1. Primero, reescribe la ecuación para determinar $e$ y $d$ .

$r &= \frac{5}{3+ \cos \theta} \\r &= \frac{\frac{5}{3}}{1+ \frac{1}{3} \cos \theta}$

Por lo que $e=\frac{1}{3}$ y $d=5$ . Ya que $e$ se encuentra entre 0 y 1, se trata de una elipse con directriz $x=5$ . Usa las ecuaciones para transformar la elipse y convertir la ecuación a forma rectangular. Primero busca $a$ y $c$ .

$a &=\frac{ed}{1-e^2} \\c &= ea \\a &= \frac{ed}{1-e^2}=\frac{\frac{5}{3}}{1- \frac{1}{9}}=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{15}{8} \\c &= ea = \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{15}{8}\right) = \frac{5}{8}$

Ahora incluye los valores en $\frac{(x+c)^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - c^2} = 1$ .

$\frac{\left(x+ \frac{5}{8}\right)^2}{\frac{225}{64}} + \frac{y^2}{\frac{25}{8}} = 1$

2. Esta ecuación ya está en la forma estándar para una sección cónica en forma polar. Ya que $e=1$ , la ecuación correponde a una parábola con $d=6$ . Simplemente incluye estos valores de $d$ en la ecuación de la parábola.

$y^2 = -12(x-3)$

3. Nota que $e=6$ y $d=2$ . Ya que $e$ es mayor a 1, esta ecuación es de una hipérbola. Usa las ecuaciones para transformar una hipérbola de forma polar a forma rectangular.

$a &= \frac{ed}{e^2 -1} = \frac{12}{35} \\c &= ea = \frac{72}{35} \\& \frac{\left(x- \frac{72}{35}\right)^2}{\frac{144}{1225}} - \frac{y^2}{\frac{144}{35}} = 1$

Práctica

Para cada uno de los siguientes ejemplos, encuentra el valor de la excentricidad $(e)$ . Luego identifica la sección cónica descrita por la ecuación.

1. $r=\frac{4}{1- \cos \theta}$

2. $r=\frac{2}{4+2 \cos \theta}$

3. $r=\frac{8}{6-6 \cos \theta}$

4. $r=\frac{12}{2+4 \cos \theta}$

5. $r=\frac{\frac{1}{2}}{1+ \frac{1}{3} \cos \theta}$

Para cada uno de los siguientes ejemplos, transforma la ecuación a forma rectangular y grafica.

6. $r=\frac{4}{1- \cos \theta}$

7. $r=\frac{2}{4+2 \cos \theta}$

8. $r=\frac{8}{6-6 \cos \theta}$

9. $r=\frac{12}{2+4 \cos \theta}$

10. $r=\frac{\frac{1}{2}}{1+ \frac{1}{3} \cos \theta}$

11. $r=\frac{12}{1+2 \cos \theta}$

12. $r=\frac{9}{6+3 \cos \theta}$

13. $r=6$

14. $r=\frac{14}{2+2 \cos \theta}$

15. $r=\frac{32}{3+5 \cos \theta}$

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