Otras ecuaciones polares y gráficas especiales

Objetivos

En esta sección aprenderás sobre varias curvas interesantes que resultan de las ecuaciones polares. Aprenderás a reconocer las curvas a partir de sus ecuaciones. Por último, verás algunas formas de aplicar el conocimiento a problemas cotidianos.

Concepto

Max está a cargo del sistema de sonido en la recepción de la boda de su hermana mayor. No puede ir al salón de eventos hasta la mañana de la boda, por lo que tendrá que preparar los equipos en tiempo récord. Sin embargo, tiene un plano del salón. ¿Cómo puede asegurarse de que los micrófonos y los parlantes no se acoplen? Tendrá poco tiempo para ensayar, pero necesita tener una idea general de dónde colocar los micrófonos y los parlantes para la recepción. ¿Puede usar coordenadas polares para planear la ubicación del equipamiento?

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https://www.youtube.com/watch?v=mTxxNQWWlBc

Orientación

¿Por qué la gente sigue usando las coordenadas polares cuando las computadoras modernas son los suficientemente poderosas y rápidas para resolver problemas extremadamente complejos en la forma rectangular? Una razón es que muchas gráficas son hermosos e intrigantes. Las gráficas polares pueden ayudar a la gente a ver patrones que de otra forma no verían. Los artistas han usado gráficas polares como base para sus diseños.

Una de las ecuaciones que forma una de las curvas polares más simples es $r=a\theta$ , donde $a$ es cualquier número real y $\theta$ va de cero al infinito. Las ecuaciones de esta forma crean figuras conocidas como espirales Arquiemedianas . A medida que $\theta$ aumenta, la gráfica continúa la espiral como la concha perfecta de un caracol. Las siguientes gráficas muestran cómo cambiar los valores de $a$ afecta la espiral. Nota que cada curva continuará la espiral para siempre.

Otra curva polar importante es el cardioide . Las personas que trabajan en sonido saben que el cardioide es un modelo confiable del rango de sensibilidad de ciertos tipos de micrófonos y la potencia de ciertos parlantes. Los cardioides recibieron su nombre por ser formas parecidas al corazón. Las ecuaciones en la forma $r=1+a\cos \theta$ producen curvas cardioides. Puedes cambiar la orientación de un cardioide o de cualquier otra ecuación polar con el coseno en su forma estándar, reemplazando el coseno con el seno, con el coseno negativo o con el seno negativo.

Las rosas polares son otro grupo interesante de curvas polares. Para estas ecuaciones de la forma $r=a \cos n \theta$ , donde $n$ es un número natural, el dibujo se asemeja a una flor. Cuando $n$ es impar, las flores tendrán $n$ pétalos y cuando $n$ es par, las flores tendrán $2n$ pétalos.

Puedes usar tu calculadora gráfica o cualquier otra tecnología que te permita graficar todas estas curvas polares.

Ejemplo A

¿Cuál es la forma de la gráfica de la ecuación polar $6r=5+5\sin \theta$ ?

Solución: Primero, separa $r$ para obtener $r=\frac{5}{6}+\frac{5}{6}\sin \theta$ . Esta gráfica se parece mucho a la curva cardioide, que es $r=1+a\cos \theta$ . Sin embargo, los cambios a la forma significan que la gráfica será rotada $\frac{\pi}{2}$ y ligeramente más pequeña que el cardioide estándar. Ahora grafica la ecuación para probar tus predicciones.

Ejemplo B

Describe la gráfica de $r=-8\sin(32 \theta)$ , luego grafica.

Solución: Esta gráfica calza con el formato de la rosa polar: $r=a\cos n\theta$ . Ya que $n$ es par, la gráfica final tendrá 64 pétalos. El – seno significa que la gráfica será rotada $-\frac{\pi}{2}$ radianes a partir de su posición inicial.

Ejemplo C

Describe cómo se verá la gráfica $r=-3\theta$ Luego, cambia la ecuación para rotarla por $\pi$ radianes. Dibuja la gráfica original y la gráfica rotada.

Solución: La gráfica será una espiral arquimediana tres veces más grande que una normal. Para rotar la gráfica, cambia el -3 por 3.

Análisis del problema de la sección

Max puede usar los cardioidies para planear la ubicación del equipo de sonido para la boda de su hermana. Investigó sobre los micrófonos y los parlantes en internet y supo que el patrón de sensibilidad de los micrófonos puede ser graficado por la función $r=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \theta$ . Ya que pondrá varios micrófonos en el mismo lugar, puede graficar la curva y usarla con el plano del lugar para asegurarse que no se acoplen y que los parlantes están ubicados en los puntos muertos tras los micrófonos, donde no podrán recibir sonidos.

Ya que los micrófonos son sensibles en el eje polar entre 0 y 1, quiere ubicar los parlantes en la zona muerta, donde $r<0$ , y $\theta=0$ . También puede ubicar los parlantes en otros lugares de la zona muerta, pero los micrófonos cardioides son menos propensos a recibir sonido cuando sus radianes $\pi$ forman sus zonas sensibles óptimas.

Vocabulario

Curva cardioide – Gráfica polar formada por variaciones de la ecuación $r=1+a \cos \theta$ , donde $a$ es un número real. Las curvas cardioides tiene forma de corazón. Son especialmente importantes para las personas que trabajan en el diseño del sonido y la acústica, ya que modelan el funcionamiento de muchos micrófonos y parlantes.

Espiral arquimediana – Patrón que asemeja la concha de un caracol. Se forma con las ecuaciones de la familia $r=a\theta$ .

Rosa polar – Curva polar que ha captivado a artistas y diseñadores. Se forma con las ecuaciones de la familia $r=a\cos n\theta$ El coeficiente $n$ es un número natural que determina el número de pétalos en la gráfica. Cuando $n$ es impar, la gráfica tiene $n$ pétalos. Cuando $n$ es par, la gráfica tiene $2n$ pétalos.

Práctica guiada

Para cada una de las siguientes ecuaciones, identifica la curva polar y luego grafícala.

1. $6\cos 4\theta-3r=0$

2. $5r = 3\theta$

3. $5r-25+45\cos3\theta=0$

Respuestas:

1. Primero resuelve $r$ . Luego, identifica la ecuación.

$6\cos 4\theta-3r &=0\\3r &=6\cos 4\theta\\r &= 2\cos 4 \theta$

La gráfica será una rosa polar de 8 pétalos.

2. Primero resuelve $r$ . Luego, identifica la ecuación.

$5r &=3\theta\\r &=\frac{3}{5}\theta$

La gráfica será una espiral arquimediana.

3. Primero resuelve $r$ . Luego, identifica la ecuación.

$& 5r-25+45\cos 3\theta =0\\& 5r = 25-45 \cos 3\theta\\& r=5-9 \cos 3\theta$

A primera vista, parece un cardioide. Sin embargo, también tiene $n\theta$ como una rosa polar. Tendrás que graficarla para saber bien cómo es la combinación – ¡Es una una rosa polar dentro de una rosa polar!

Sin embargo, si quitas el tres y graficas $r=5-9\cos \theta$ , tendrás una curva similar a una curva cardioide. Esta ecuación ejemplifica cómo cambios pequeños pueden producir hermosas y complicadas gráficas polares.

Práctica

Para cada una de las siguientes curvas, describe la familia de ecuaciones de la cual procede tal curva.

1. Rosa polar

2. Espiral arquimediano

3. Curva cardioide

Para cada una de las siguientes ecuaciones, identifica la curva polar y luego grafícala.

4. $\frac{r}{2}=\theta$

5. $r=1-4\cos\theta$

6. $3r=4\cos(8\theta)$

7. $r=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(\theta)$

8. $r=-\theta$

9. $\frac{r}{4}=4\cos(4\theta)$

10. $r=-4\theta$

11. $r=-2\sin(8\theta)$

12. $r=1-\sin \theta$

13. $1=\cos\theta+r$

14. $r=5$

15. $r=5\theta$

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