Formas polares y cálculo: Área en el plano

Objetivos

En esta sección aprenderás a encontrar el área bajo curvas en forma polar.

Concepto

Max ha terminado de instalar los micrófonos y los parlantes para la recepción de la boda de su hermana. Recibe un mensaje urgente del padrino. Los invitados han planeado una canción especial y un baile para homenajear el amor que siente la pareja por la música a capella. La actuación tiene que ser coreografiada a la perfección y los invitados necesitan saber cuánto espacio tendrán para cantar y bailar. Los 7 quieren mantenerse dentro del rango de recepción de los micrófonos. ¿Puede Max darles un número acertado del área del lugar sin haberla medido en persona? La boda comienza en menos de una hora, así que debe apurarse.

Mira esto

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http://demonstrations.wolfram.com/PolarAreaSweep/

Orientación

Cuando encuentras el área bajo una curva en forma rectangular estás midiendo el espacio entre la curva y el eje $x$ Para encontrar el área basicamente necesitas dividir la curva por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados. Al encontrar la suma de las áreas de todos los rectángulos podrás encontrar el área bajo la curva completa.

Cuando encuentras el área bajo una curva en forma polar, encuentras el área del espacio cubierto por la curva y dos rayos que tienen un origen común. Estás buscando el área cubierta por un número infinito de sectores infinitamente pequeños.

La fórmula para el área bajo una curva en forma polar considera esta diferencia. Para encontrar el área bajo una curva en forma polar usas la fórmula $A=\int \limits_{a}^{b} \left ( \rho(\theta)\right )^2 d \theta$ , donde $\rho(\theta)$ es el radio $r$ . Entonces, por ejemplo, para encontrar el área bajo la curva $r=2 \theta$ de 0 a $\pi$ , tendrías que integrar lo siguiente: $A=\int\limits_{0}^{\pi} \frac{1}{2} \left ( 2\theta\right )^2 d \theta$ .

Encontrar el área bajo una curva polar puede ser un poco más complejo que encontrar el área bajo una curva rectangular. Primero, determina qué tipo de curva representa la ecuación. Luego grafica la curva y averigua qué ángulos de $\theta$ forman los límites del área que planeas integrar (¡Ten mucho cuidado con este paso!). Por último, crea las integrales y resuelve.

Ejemplo A

Encuentra el área al interior de la curva polar $r=1+\cos \theta$ .

Solución: Esta ecuación parece ser un cardioide. Grafica la curva para asegurarte.

Nota que esta curva es simétrica. Esto significa que el área de 0 a $\pi$ es la mitad del área dentro de la curva completa. Una forma de encontrar el área es integrar de 0 a $\pi$ , y duplicar el resultado.

$A &= \int \limits_{a}^{b} \frac{1}{2} \left (\rho(\theta) \right )^2 d \theta \\&=2 \int \limits_{0}^{\pi} \frac{1}{2} (1+\cos \theta)^2 d \theta\\&= \int \limits_{0}^{\pi} (1+2 \cos \theta + \cos^2 \theta) d \theta$

Usa una identidad trigonométrica para simplificar $\cos ^2 \theta$ .

$&= \int \limits_{0}^{\pi} (1+2 \cos \theta + \cos^2 \theta) d \theta\\&= \int \limits_{0}^{\pi} (1+2 \cos \theta+\frac{1}{2}+ \cos (2 \theta)) d \theta\\&= \left [ \frac{3 \theta}{2}+2 \sin \theta + \frac{1}{2} \sin (2 \theta)\right ]_{0}^{\pi}\\&=\frac{3 \pi}{2}\\A &= \frac{3 \pi}{2} units^2$

Ejemplo B

Encuentra el área cubierta por la curva polar $r= 3 \cos (3 \theta)$ .

Solución: Es una rosa polar con 3 pétalos. Grafica o dibuja la curva de forma que puedas ver dónde integrar.

Cuando theta es cero, el radio es 1. Cuando theta es $\frac{\pi}{6}$ , el radio es cero. A partir de la gráfica puedes ver que este intervalo da el área de la mitad de un pétalo.

Debido a que hay 3 pétalos, si multiplicas el área de la mitad de un pétalo por seis, tendrás el área cubierta por toda la curva.

$A&=\int \limits_{a}^{b} \frac{1}{2} \left (\rho(\theta) \right )^2 d \theta\\&=6 \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{2} \left (3 \cos (3 \theta) \right )^2 d \theta\\&= 3 \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \left (3 \cos (3 \theta) \right )^2 d \theta\\&=27 \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^2 (3 \theta) d \theta$

Simplifica usando una identidad trigonométrica: $\cos^2 \theta = \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos 2 \theta$ .

$A &= 27 \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^2 \left (3 \theta \right ) d \theta \\&= 27 \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (6 \theta) d \theta \\&= \frac{27}{2} \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} 1 +\cos (6 \theta) d \theta \\&= \frac{27}{2} \left [ \theta + \frac{1}{6} \sin (6 \theta) \right ]_{0}^{\frac{\pi}{6}} \\&= \frac{9 \pi}{4} units^2$

Ejemplo C

Encuentra el área del espacio entre las curvas polares $r=1+\cos \theta$ y $r= \cos \theta$ .

Solución: Puede que recuerdes este $r=1+ \cos \theta$ del Ejemplo A. Es una curva cardioide. A su vez, $r =\cos \theta$ produce un círculo en forma polar. Grafica las dos curvas juntas para que veas el espacio y sus límites.

Como puedes ver, $r= \cos \theta$ está encerrada dentro de $r=1+\cos \theta$ . Esto significa que puedes simplificar el área de $r=\cos \theta$ y restarla del área de $r=1+\cos \theta$ . Ya sabes que el área cubierta por $r=1+\cos \theta$ es $\frac{3 \pi}{2}$ . Para encontrar el área de $r=\cos \theta$ , calcula el área de 0 a $\frac{\pi}{2}$ (lo que te da la mitad superior del círculo) y luego multiplícalo por 2.

$A &= \int \limits_{a}^{b} \frac{1}{2} \left (\rho (\theta) \right )^2 d \theta \\&= 2 \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} (\cos \theta)^2 d \theta \\&= \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d \theta \\&= \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos 2 \theta d \theta \\&= \frac{1}{2} \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1+ \cos 2 \theta d \theta \\&= \frac{1}{2} \left [ \theta + \frac{1}{2} \sin 2 \theta \right ]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\&= \frac{\pi}{4} \\$

Recuerda, el cardioide tiene un área de $\frac{3 \pi}{2}$ , por lo que el área entre las curvas es $\frac{5 \pi}{4}$ .

Análisis del problema de la sección

Max contacta a los fabricantes y descubre que uno de sus micrófonos es un micrófono cardioide con un área de sensibilidad de $r=4+4 \cos \theta$ La distancia está medida en pies. Con la ecuación, descubre que los invitados pueden pararse hasta ocho pies detrás de los micrófonos y todavía ser escuchados.

Ya que el rango del micrófono es simétrico, Max puede encontrar el área de 0 a $\pi$ , como se muestra a continuación, para luego duplicarla.

$A&= \int \limits_{a}^{b} \frac{1}{2} \left (\rho (\theta) \right )^2 d \theta \\&= 2 \int\limits_{0}^{\pi} \frac{1}{2} \left (4+4 \cos \theta \right )^2 d \theta \\&= \int \limits_{0}^{\pi} \left (16+8 \cos \theta + 16 \cos^2 \theta \right ) d \theta \\&= 16 \int \limits_{0}^{\pi} \left (1+ \frac{1}{2} \cos \theta + \cos^2 \theta \right ) d \theta \\&= 16 \int \limits_{0}^{\pi} \left (1+ \frac{1}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} + \cos 2 \theta \right ) d \theta \\&= 16 \left [ \frac{3 \theta}{2}+\frac{1}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \sin 2 \theta \right ]_{0}^{\pi} \\&= 24 \pi$

Los invitados tiene $24\pi$ , o cerca de 75 pies cuadrados de espacio para realizar su acto.

Vocabulario

Área en coordenadas polares : $A=\int\limits_{a}^{b} \left ( \rho (\theta) \right )^2 d \theta$

Identidad trigonométrica para $\cos^2 \theta$ : $\cos^2 \theta=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos 2 \theta$

Cardioide – Ecuación en la forma $r=1+\cos \theta$ . Se llama cardioide debido a que tiene forma de corazón.

Práctica guiada

1. Encuentra el área del espacio cubierto por $r=\frac{\theta}{4}$ de 0 a $\frac{3 \pi}{2}$ .

2. Encuentra el área de $r=5\sin 8 \theta$ de 0 a $\frac{\pi}{8}$ .

3. Encuentra el área del espacio entre $r=5 \cos 5\theta$ y $r=5$ .

Respuestas:

1. Esta ecuación representa una esprial arquimediana.

Estás buscando el área de 0 a $\frac{3 \pi}{2}$ , como muestra el sombreado a continuación.

Usa la fórmula para el área e integra. No es simétrica, así que tendrás que integrar todo el rango al mismo tiempo.

$A&= \int\limits_{a}^{b} \frac{1}{2} \left (\rho(\theta) \right )^2 d \theta \\&= \int\limits_{0}^{\frac{3 \pi}{2}} \frac{1}{2} \left (\frac{\theta}{4} \right )^2 d \theta \\&= \int\limits_{0}^{\frac{3 \pi}{2}} \frac{1}{2} \cdot \frac{\theta^2}{16} d \theta \\&= \frac{1}{32} \int\limits_{0}^{\frac{3 \pi}{2}} \theta^2 d \theta \\&= \frac{1}{32} \left [ \frac{\theta^3}{3}\right ]_{0}^{\frac{3 \pi}{2}} \\&= \frac{9 \pi^3}{256} units^2$

2. Esta ecuación forma una rosa polar con 16 pétalos.

Los pétalos son idénticos entre sí. Si encuentras el área cubierta por un pétalo (como se muestra a continuación), puedes multiplicarla por 16 para encontrar el área cubierta por toda la gráfica.

$A &= \int \limits_{a}^{b} \frac{1}{2}\left ( \rho (\theta) \right )^2 d \theta \\&= 16 \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{8}} \frac{1}{2} \left (5 \sin (8 \theta) \right )^2 d \theta \\&= 8 \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{8}} 25 \sin^2 \left ( 8 \theta \right ) d \theta \\&= 200 \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{8}} \sin^2 \left ( 8 \theta \right ) d \theta \\&= 200 \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{8}} \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cos \left (16 \theta \right ) d \theta \\&= 100 \left [ \theta - \frac{\sin \left ( 16 \theta \right )}{16}\right ]_{0}^{\frac{\pi}{8}} \\&= \frac{25 \pi}{2} \\$

3. Esta gráfica es de una rosa polar dentro de un círculo.

Encuentra el área del círculo y réstala el área cubierta por la rosa polar. El área del círculo es:

$A &= \int \limits_{a}^{b} \frac{1}{2} \left (p (\theta) \right )^2 d \theta \\&= 2 \int\limits_{0}^{\pi} \frac{1}{2} (5)^2 d \theta \\&= \int\limits_{0}^{\pi} 25 d \theta \\&= 25 \pi$

Nota que es el mismo resultado que hubieras obtenido si hubieses usado la fórmula tradicional para el área de un círculo, $A=\pi r^2$ . Para encontrar el área de la rosa polar, encuentra el área de la mitad de un pétalo (mostrado a continuación) y multiplica por 10.

El área de la rosa polar es:

$A &= 10 \int \limits_{a}^{b} \frac{1}{2} \left (\rho (\theta) \right )^2 d \theta \\&= 10 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{10}} \frac{1}{2} \left ( 5 \cos 5 \theta \right )^2 d \theta \\&= 125 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{10}} \cos^2 \left (5 \theta \right ) d \theta \\&= 125 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{10}} \left (\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos (10 \theta) \right ) d \theta \\&= 125 \left [\frac{\theta}{2}+\frac{\sin \left ( 10 \theta \right )}{20}\right ]_{0}^{\frac{\pi}{10}} \\&= 125 \left (\frac{\pi}{20} \right ) \\&= \frac{25 \pi}{4}$

Por lo tanto, el área entre las dos figuras es:

$25 \pi - \frac{25 \pi}{4}=\frac{75 \pi}{4} units^2$

Práctica

1. Encuentra el área al interior de la curva polar $r=4+4 \cos \theta$ .

2. Encuentra el área cubierta por la curva polar $r=6 \cos 2 \theta$ .

3. Encuentra el área del espacio cubierto por $r=\frac{1}{10}\theta$ de 0 a $\pi$ .

4. Encuentra el área de $r=2 \sin 6 \theta$ de 0 a $\frac{\pi}{6}$ .

5. Encuentra el área dentro de $r=2+2\cos \theta$ .

6. Encuentra el área dentro de un pétalo de $r=\sin 4 \theta$ .

7. Encuentra el área dentro de un pétalo de $r=\cos 5 \theta$ .

8. Encuentra el área dentro de un pétalo de $r=\cos 2 \theta$ .

9. Encuentra el área cubierta por $r=4 \cos \theta$ , $0\le \theta\le\pi$ .

10. Encuentra el área dentro de $r=2+2 \cos \theta$ y fuera de $r=2$ .

11. Encuentra el área dentro de $r=\cos \theta$ y fuera de $r=1 - \sin \theta$ .

12. Encuentra el área del espacio cubierto por $r= \frac{\theta}{2}$ de 0 a $2 \pi$ .

13. Encuentra el área del espacio cubierto por $r=a$ de 0 a $2 \pi$ . ¿Qué tiene que ver esto con la fórmula geométrica $A=\pi r^2$ ?

14. Encuentra el área del espacio entre $r=3 \cos 4 \theta$ y $r=3$ .

15. Encuentra el área del espacio entre las curvas polares $r=1+\sin \theta$ y $r=\sin \theta$ .

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