Formas polares y cálculo: Longitud de la curva

Objetivos

En esta sección aprenderás a encontrar la longitud de una curva polar. Aprenderás a usar las integrales para la longitud de arco en forma polar. Aprenderás a resolver integrales para curvas polares que no requieren integración numérica.

Concepto

La recepción de la boda de la hermana de Max ya comenzó y los invitados están por presentar su increíble rutina de baile y canto como homenaje al amor que sienten los novios por la música a capella. Solo hay un problema. Los invitados quieren quedarse dentro del rango del micrófono cardioide que Max instaló. Algunos de los bailarines más animados salen del rango del micrófono. Los asistentes de la fiesta quieren una segunda oportunidad: quieren marcar los límites del cardioide con cinta. Si Max quiere marcar el perímetro del área en que funciona el micrófono, ¿Cuánta cinta necesitará? Necesitará encontrar la longitud de la curva cardioide para saberlo.

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Haz click en la imagen anterior para ver más contenido . *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

https://www.youtube.com/watch?v=L6NfGpr4RbU

Orientación

Para encontrar la longitud del arco de una curva en forma polar necesitas encontrar la longitud de la curva limitada por dos ángulos. Para encontrar la longitud del arco de la curva, usa la fórmula $l=\int\limits_a^b \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2} d \theta$ .

Para algunas curvas polares, la fórmula de la longitud produce integrales que podrás resolver sin dificultad mediante la trigronometría o la sustitución de $u$ Otras curvas producen integrales complejas que necesitan integración numérica. El método de integración que utilices dependerá de la situación.

Por ejemplo, un técnico de sonido probablemente usará una integral numérica para obtener datos concretos sobre el rango, el área y el posible acople. En cambio un físico puede que quiera integrar simbólicamente para usar la misma integral para varios grupos de datos. En esta sección te concentrarás en encontrar las longitudes de curvas que puedes resolver sin integración numérica.

Ejemplo A

Encuentra la longitud de arco de $r=\sin \theta$ de $\theta=0$ a $\theta=\frac{\pi}{2}$ .

Solución: Primero identifica la forma y dibuja la gráfica. $r=\sin \theta$ es la ecuación para un círculo en forma polar. De $\theta=0$ a $\theta=\frac{\pi}{2}$ la mitad del círculo (mostrado con la curva sólida anterior).

Ahora usa la fórmula de longitud del arco y resuelve.

$l &= \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2}d \theta \\&= \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}d \theta \\&= \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1}d \theta \\&= [\theta]_0^{\frac{\pi}{2}} \\&= \frac{\pi}{2}$

Tu círculo tiene un radio de $\frac{1}{2}$ , y encontraste la longitud del arco de un medio círculo. La fórmula geométrica de la circunferencia de un círculo es $C=\pi d$ , donde $d$ es el diámetro. Esto significa que, de acuerdo a la geometría, la circunferencia de la mitad del círculo debería ser $\frac{1}{2} \pi (1)$ o $\frac{\pi}{2}$ . La fórmula de la longitud del arco da los mismos resultados que la fórmula geométrica.

Ejemplo B

Encuentra la longitud de arco de 0 a $2 \pi$ de $r=1+ \cos \theta$ .

Solución: Primero identifica la curva y dibuja la gráfica. Es una curva cardioide básica. Al moverte de 0 a $2 \pi$ trazaste la curva completa una vez.

La curva es simétrica, así que en vez de encontrar la longitud total puedes buscar la mitad de la longitud y multiplicarla por 2.

Usando la fórmula para la longitud obtendrás:

$l &= \int\limits_a^{b} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2}d \theta \\&= 2 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{(1+ \cos \theta)^2 + (-\sin \theta)^2} d \theta \\&= 2 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{1+ 2 \cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta} d \theta \\&= 2 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{1+ 2 \cos \theta + 1}d \theta \\&= 2 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{2+ 2 \cos \theta}d \theta$

En el estado actual, la integral parece imposible -- tienes una cantidad bajo un radical con nada con que usar como $du$ si tratas de sustituir $u$ para integrar. Afortunadamente, hay un truco bastante simple para que integrar sea más fácil. Puedes multiplicar el radical por una forma de 1 y cambiar su distribución.

$&= 2 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{(2+2 \cos \theta)}d \theta \cdot \frac{\sqrt{2-2 \cos \theta}}{\sqrt{2-2 \cos \theta}} \\&= 2 \int\limits_0^{\pi} \frac{\sqrt{4-4 \cos^2 \theta}}{\sqrt{2-2 \cos \theta}}d \theta \\$

Ahora, simplifica y sustituye. Tendrás que escribir la integral de forma que puedas sustituir $u$ .

$&= 2 \int\limits_0^{\pi} \frac{\sqrt{4-4 \cos^2 \theta}}{\sqrt{2-2 \cos \theta}}d \theta \\&= 2 \int\limits_0^{\pi} \frac{2 \sqrt{1- \cos^2 \theta}}{\sqrt{2-2 \cos \theta}}d \theta \\&= 2 \int\limits_0^{\pi} \frac{2 \sqrt{\sin^2 \theta}}{\sqrt{2-2 \cos \theta}}d \theta \\&= 2 \int\limits_0^{\pi} \frac{2 \sin \theta}{\sqrt{2-2 \cos \theta}}d \theta$

Ahora el numerador es la derivada de la cantidad bajo el radical, por lo que puedes sustituir $u$ :

$& 2 \int\limits_0^{\pi} \frac{2 \sin \theta}{\sqrt{2-2 \cos \theta}}d \theta \\u &= 2-2 \cos \theta \\du &= 2 \sin \theta d \theta \\2 \int\limits \frac{1}{\sqrt{u}}du &= 2 \int\limits u^{-\frac{1}{2}} du = 2 \left[2u^{\frac{1}{2}}\right]$

Sustituye los términos originales por $u$ , y obtendrás

$2\left[2 \sqrt{(2-2 \cos \theta)}\right]_0^{\pi} = 4[2-0]=8$

Ejemplo C

Encuentra la longitud de arco de $r=\theta$ de 0 a $\pi$ .

Solución: Primero identifica la figura de la curva y dibuja la gráfica. Es una parte de una espiral arquimediana, como se muestra a continuación:

Ahora, usa la fórmula de la longitud.

$l &= \int\limits_0^{\pi} \sqrt{\theta^2 + (1)^2}d \theta \\&= \int\limits_0^{\pi} \sqrt{\theta^2 + 1}d \theta \\$

Para simplificar esta integral tienes que usar la sustitución. El rango para de la función tangente incluye todos los números reales. Esto significa que para cualquier valor de $\theta$ , hay algún número $x$ cuando $\theta=\tan x$ . Si $\theta=\tan x$ , entonces $d \theta$ será igual a la derivada de $\tan x$ , por lo que obtienes:

$\theta &= \tan x \\d \theta &= \sec^2 x dx \\\int\limits \sqrt{\theta^2 + 1}d \theta &= \int\limits \sqrt{\tan^2 x + 1}\sec^2 x dx \\$

Necesitarás calcular nuevos límites de integración ya que ahora estás integrando en términos $x$ en vez de términos $\theta$ . Entonces:

$\theta &= 0 \\\tan x &= 0 \\x &= \tan^{-1}0=0 \\\theta &= \pi \\\tan x &= \pi \\x &= \tan^{-1} \pi \approx 1.262627$

Esto significa que tu integral se verá así:

$\int\limits_0^{1.262627} \sqrt{\tan^2 x + 1}\sec^2 x dx$

Puedes usar identidades trigonométricas para simplificar.

$&= \int\limits_0^{1.262627} \sqrt{\tan^2 x + 1}\sec^2 x dx \\&= \int\limits_0^{1.262627} \sqrt{\sec^2 x}\sec^2 x dx \\&= \int\limits_0^{1.262627} \sec^3 x dx \\&=\frac{1}{2} \left[\tan x \sec x - \ln \left(\cos \left(\frac{x}{2}\right) - \sin \left(\frac{x}{2}\right)\right) + \ln \left(\cos \left(\frac{x}{2}\right) + \sin \left(\frac{x}{2}\right)\right)\right]_0^{1.262627}$

Ahora, encuentra la solución. En 0, la cantidad es 0. En 1,262627, la cantidad es 6,1099. Por lo tanto, la longitud de la espiral arquimediana de 0 a $\pi$ es 6,1099 unidades.

Análisis del problema de la sección

Max ha descubierto que la ecuación que describe el rando de su micrófono cardioide es $r=4+4 \cos \theta$ , donde $r$ está medido en pies. Puedes usar esta ecuación para encontrar el perímetro de la región que necesita delimitar con cinta. Si $r=4+4 \cos \theta$ , entonces $l=\int\limits_0^{2 \pi} \sqrt{(4+4 \cos \theta)^2 + (-4 \sin \theta)^2}d \theta$ es el perímetro de la región.

Max integrará de 0 a $\pi$ y duplicará la longitud para encontrar las medidas totales del cardioide. También aprovechará el hecho de que $4+4 \cos \theta = 4(1+\cos \theta)$ para reescribir la integral como

$l=2 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{(4(1+\cos \theta))^2 + (-4 \sin \theta)^2}d \theta$

Luego, simplifica.

$l &= 2 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{(4(1+\cos \theta))^2 + (-4 \sin \theta)^2}d \theta \\&= 2 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{16(1+2 \cos \theta + \cos^2 \theta) + 16 \sin^2 \theta}d \theta \\&= 8 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{1+ 2 \cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta}d \theta \\$

Usa la sustitución trigonométrica para obtener

$&= 8 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{1+2 \cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta}d \theta \\&= 8 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{1+2 \cos \theta + 1}d \theta \\&= 8 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{2+2 \cos \theta}d \theta \\$

Multiplica por unaf forma de uno y obtiene:

$&= 8 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{2+2 \cos \theta}d \theta \cdot \frac{\sqrt{2-2 \cos \theta}}{\sqrt{2-2 \cos \theta}} \\&= 8 \int\limits_0^{\pi} \frac{\sqrt{4-4 \cos^2 \theta}}{\sqrt{2-2 \cos \theta}}d \theta \\&= 8 \int\limits_0^{\pi} \frac{\sqrt{4(1- \cos^2 \theta)}}{\sqrt{2-2 \cos \theta}}d \theta \\$

Luego usa la sustitución trigonométrica otra vez para obtener:

$&= 8 \int\limits_0^{\pi} \frac{\sqrt{4(1-\cos^2 \theta)}}{\sqrt{2-2 \cos \theta}}d \theta \\&= 8 \int\limits_0^{\pi} \frac{\sqrt{4(\sin^2 \theta)}}{\sqrt{2-2 \cos \theta}}d \theta \\&= 8 \int\limits_0^{\pi} \frac{2 \sin \theta}{\sqrt{2-2 \cos \theta}}d \theta \\$

Max ahora tiene el problema en una forma en que puede sustituir $u$ para resolverlo.

$& 8 \int\limits_0^{\pi} \frac{2 \sin \theta}{\sqrt{2-2 \cos \theta}}d \theta \\& u= 2-2 \cos \theta \\& du = 2 \sin \theta d \theta \\& 8 \int\limits \frac{1}{\sqrt{u}}du \\&= 8 \left[2u^{\frac{1}{2}}\right] = 16 \left[\sqrt{2-2 \cos \theta}\right]_0^{\pi}=32$

Necesitará 32 pies de cinta para delimitar el espacio donde funciona el micrófono.

Vocabulario

Longitud de arco – Distancia del largo de una curva entre dos puntos de la curva. La fórmula de la longitud del arco en forma polar es $l=\int\limits_a^b \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2}d \theta$ donde $r$ es la distancia de la curva con respecto al origen y $\theta$ es él ángulo entre el eje polar y un rayo que atraviesa tanto el origen como un punto dado en la curva.

Espiral arquimediana – Curva polar de la forma $r=\theta$ .

Cardioide – Curva polar de la forma $r=1+ \cos \theta$ .

Práctica guiada

1. Encuentra la circunferencia del círculo $r=6 \cos \theta$ en forma polar.

2. Identifica la curva $r=4 \theta$ y encuentra su longitud de 0 a $\frac{\pi}{3}$ .

3. Encuentra la longitud completa del cardioide $r=8+8 \sin \theta$ . Grafica para encontrar los límites de integración.

Respuestas:

1. Este es un círculo con un radio de 3 unidades.

$l &= \int\limits_a^b \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2} d \theta \\&= 2 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{(6 \cos \theta)^2 + (-6 \sin \theta)^2} d \theta \\&= 2 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{36 \cos^2 \theta + 36 \sin^2 \theta} d \theta \\&= 12 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} d \theta \\&= 12 \int\limits_0^{\pi} 1 d \theta \\&= 12 [\theta]_0^{\pi}\\&=12 \pi$

2. La curva es una porción de una espiral arquimediana, como se muestra a continuación:

$r &= 4 \theta \\l &= \int\limits_a^b \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2} d \theta \\l &= \int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{(4 \theta)^2 + 4^2} d \theta \\&= \int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{16 \theta^2 + 16} d \theta \\&= 4 \int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{\theta^2 +1} d \theta \\$

Ahora usa la sustitución trigonométrica, como hiciste en el Ejemplo C:

$\tan x &= \theta \\d \theta &= \sec^2 x dx \\\tan x &= 0, x=0 \\\tan x &=\frac{\pi}{3}, x=.80845 \\& 4 \int\limits_0^{.80845} \sqrt{\tan^2 x+1}\sec^2 xdx \\&= 4 \int\limits_0^{.80845} \sqrt{\sec^2 x}\sec^2 xdx \\&= 4 \int\limits_0^{.80845} \sec^3 xdx \\&= 4 \left[\frac{1}{2}\left(\sec x \tan x + \ln \left|\sec x + \tan x \right|\right)\right]_0^{.80845} \\&= 4.8613$

3. Es una curva cardioide básica. Al moverte de 0 a $2 \pi$ trazaste la curva completa una vez. Al moverte de 0 a $\pi$ trazaste la parte superior de la curva.

Integra de 0 a $\pi$ y multiplica el resultado por 2.

$r &= 8+8 \sin \theta \\ l &= \int\limits_a^b \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2} d \theta \\&= 2 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{(8+8 \sin \theta)^2 + (8 \cos \theta)^2} d \theta \\&= 2 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{64 +128 \sin \theta + 64 \sin^2 \theta + 64 \cos^2 \theta} d \theta \\&= 2 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{64(1+2 \sin \theta + \sin^2 \theta + \cos^2 \theta)} d \theta \\&= 16 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{1+2 \sin \theta + 1}d \theta \\&= 16 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{2+2 \sin \theta}d \theta$

Multiplica por una forma de uno e integra:

$&= 16 \int\limits_0^{\pi} \sqrt{2+2 \sin \theta}d \theta \cdot \frac{\sqrt{2-2 \sin \theta}}{\sqrt{2-2 \sin \theta}} \\&= 16 \int\limits_0^{\pi} \frac{2 \sqrt{1- \sin^2 \theta}}{\sqrt{2-2 \sin \theta}}d \theta \\&= 16 \int\limits_0^{\pi} \frac{2 \sqrt{\cos^2 \theta}}{\sqrt{2-2 \sin \theta}}d \theta \\$

Separa en dos integrales $\cos \theta$ es positivo de 0 a $\frac{\pi}{2}$ pero negativo de $\frac{\pi}{2}$ a $\pi$ .

$=16 \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 \cos \theta}{\sqrt{2-2 \sin \theta}} d \theta + 16 \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{{\pi}} \frac{-2 \cos \theta}{\sqrt{2-2 \sin \theta}} d \theta$

Sustituye $u$ y resuelve:

$u &= 2-2 \sin \theta \\du &= -2 \cos \theta \\&= -16 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{-2 \cos \theta}{\sqrt{2-2 \sin \theta}}d \theta + 16 \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{-2 \cos \theta}{\sqrt{2-2 \sin \theta}}d \theta \\&= -16 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{u}}du + 16 \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1}{\sqrt{u}}du \\&= -16 \left[2u^{\frac{1}{2}}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} + 16 \left[2u^{\frac{1}{2}}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \\&= -32 \left[\sqrt{(2-2 \sin \theta)}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} +32 \left[\sqrt{(2-2 \sin \theta)}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \\&= 32 \sqrt{2} + 32 \sqrt{2} \\&= 64 \sqrt{2}$

Práctica

Encuentra la longitud de arco de $r=\theta$ de $\theta = 0$ a $\theta=2 \pi$ .
Encuentra la longitud de arco de $r=\cos \theta$ de $\theta = 0$ a $\theta=\frac{\pi}{2}$ .
Encuentra la longitud de arco de $2 \pi$ de $r=1+ \sin \theta$ .
Encuentra la circunferencia de $r=4 \sin \theta$ .
Encuentra la longitud de $r=2 \theta$ de 0 a $\frac{\pi}{4}$ .
Encuentra la longitud completa de la curva $r=1- \cos \theta$ .
Encuentra la longitud del cardioide $r=2+2 \cos \theta$ .
Encuentra la circunferencia de $r=8 \sin \theta$ .
Encuentra la longitud de arco de 0 a $\pi$ de $r=3+3 \sin \theta$ .
Encuentra la longitud de arco de $r=\sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$ .
Encuentra la circunferencia de $r=2 \cos \theta$ .
Prepara la integral para encontrar la longitud de arco de un pétalo de $r=\cos 3 \theta$ . No resuelvas.
Prepara la integral para encontrar la longitud de arco de un pétalo de $r=\sin 4 \theta$ . No resuelvas.
Encuentra la longitud de arco de $r=\cos^3 \left(\frac{\theta}{3}\right)$ de $\theta=0$ a $\theta=\frac{3 \pi}{2}$ .
Encuentra la longitud de arco de $r=\frac{\theta}{4}$ de $\theta=0$ a $\theta=2 \pi$ .

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