Formas polares y cálculo: Área superficial

Objetivos

En esta sección aprenderás a calcular el área superficial de sólidos tridimensionales creados mediante la rotación de una curva sobre su eje polar o la línea $\theta=\frac{\pi}{2}$ .

Concepto

Durante una visita a la granja de su abuela, Maia la ve pelando una manzana de forma tal que la cáscara forma una sola pieza. Maia se pregunta si hay una manera de estimar el área superficial de la cáscara de una manzana. Ha estado estudiando las funciones cardioidies en su clase de cálculo y piensa que un cardioide se parece un poco a una manzana cortada transversalmente. ¿Cómo puede usar las coordenadas polares para resolver este problema y satisfacer su curiosidad?

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Haz click en la imagen anterior para ver más contenido . *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

https://www.youtube.com/watch?v=3El1SzLXmsI

Orientación

Puedes usar integrales para encontrar el área superficial de sólidos formados por una curva rotada alrededor del eje polar o $\theta=\frac{\pi}{2}$ . ¿Cómo una integral puede ayudarte a encontrar el área superficial de un sólido? Imagina que estás haciendo una escultura de papel maché. Cuando trabajas con papel maché se cubre una figura con tiras delgadas de periódico empapado en pegamento. Cada pieza de periódico es un rectángulo. Esto significa que podrías encontrar el área superficial de un sólido midiendo los rectángulos y luego contando cuántos rectángulos son necesarios para cubrir la figura. Tu respuesta no será exacta. Algunas tiras de periódico pueden sobreponerse a otras. Puede que necesites fracciones de una tira para cubrir lugares difíciles de tapar. Aún así, sumar las áreas de las tiras de periódico te daría un muy buen estimado de la cantidad de superficie que has cubierto.

Usar una integral para encontrar el área superficial es muy parecido a usar tiras de periódico. Cada tira es tan larga como la curva que has rotado, pero cada tira es infinitamente delgada. Al sumar las áreas de todas las tiras que cubren el sólido puedes encontrar el área superficial.

En forma polar, la fórmula para el área superficial de una curva rotada alrededor del eje polar es

$Area_{surface}=2 \pi \int\limits_a^b r \sin \theta \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2}d \theta$ . El área superficial de una curva rotada alrededor de $\theta=\frac{\pi}{2}$ es

$Area_{surface}=2 \pi \int\limits_a^b r \cos \theta \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2}d \theta$ . Algunas veces el área superficial de un sólido te dará una integral que puedes resolver simbólicamente. Otras veces puede que tengas que usar una calculadora o un programa de la web para tener una buena aproximación numérica de la integral.

Ejemplo A

Encuentra el área superficial de la curva $r=\ln \theta$ de $\theta=1$ a $\theta=\pi$ rotada alrededor de la línea $\theta=\frac{\pi}{2}$ .

Solución: Primero, dibuja la gráfica.

Rotarás el área pequeña de la curva que está en rojo alrededor de la línea $\theta=\frac{\pi}{2}$ . Prepara la fórmula para el área superficial de una revolución alrededor de $\theta=\frac{\pi}{2}$ .

$Area_{surface}=2 \pi \int\limits_{\pi}^1 \ln \theta \cos \theta \sqrt{(\ln \theta)^2 + \left(\frac{1}{\theta}\right)^2}d \theta$

Si analizas esta integral notarás que es bastante desordenada. No hay sustituciones obvias y elegantes que puedas hacer para aclararla. Para muchas curvas, la integral del área superficial puede ser extremadamente difícil de calcular. En estos casos está bien integrar numéricamente, ya que muchas aplicaciones de las coordenadas polares involucran campos como la ingeniería, donde las aproximaciones numéricas son el objetivo.

Usa tu calculadora o un recurso en línea gratuito como http://www.wolframalpha.com Para calcular la integral. Recuerda que el área superficial siempre es positiva. Deberías lograr una respuesta cercana a 5.954. *Solo disponible en inglés .

Ejemplo B

Encuentra el área superficial de un sólido creado cuando rotas $r=\cos \theta$ alrededor del eje polar de 0 a $\frac{\pi}{2}$ . Usa la integración simbólica.

Solución: Esta revolución creará una esfera con un radio de 0,5.

Aunque es posible resolver este problema geométricamente, es bueno usar una integral para encontrar el área superficial de este sólido.

Primero, incluye $r$ en la fórmula de área superficial y simplifica.

$Area_{surface} &= 2 \pi \int\limits_{a}^b r \sin \theta \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2}d \theta \\&= 2 \pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin \theta \sqrt{\cos^2 \theta+ \sin^2 \theta}d \theta \\&= 2 \pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin \theta \sqrt{1}d \theta \\&= 2 \pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin \theta d \theta \\$

Puedes sustituir $u$ en este punto para integrar.

$& 2 \pi \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\cos \theta \sin \thetad \theta \\u &= \sin \theta \\du &= \cos \theta d \theta \\&= 2 \pi \int\limits udu = 2 \pi \left[\frac{1}{2}u^2 \right] \\&= 2 \pi \left[\frac{1}{2}\sin^2 \theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\&= \pi \ units^2$

Ejemplo C

Encuentra el área superficial de $r=4+4 \sin \theta$ cuando el segmento de $\theta=-\frac{\pi}{2}$ a $\frac{\pi}{2}$ rota en torno a la línea $\theta=\frac{\pi}{2}$ .

Solución: Primero, identifica la ecuación y grafica. Esta curva es un cardioide. De $\theta=-\frac{\pi}{2}$ a $\frac{\pi}{2}$ es la mitad del cardioide.

Ahora usa la fórmula del área superficial.

$2 \pi \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(4+4 \sin \theta)\cos \theta \sqrt{(4+4 \sin \theta)^2 + (4 \cos \theta)^2}d \theta$

Factoriza para hacer que la integral sea más fácil de simplificar.

$&= 2 \pi \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}4(1+ \sin \theta)\cos \theta \sqrt{16 (1+ \sin \theta)^2 + 16(\cos \theta)^2}d \theta \\&= 2 \pi \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}16(1+ \sin \theta)\cos \theta \sqrt{(1+ \sin \theta)^2 + (\cos \theta)^2}d \theta \\$

Ahora, simplifica.

$&= 2 \pi \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}16(1+ \sin \theta)\cos \theta \sqrt{1+2 \sin \theta + \sin^2 \theta + \cos^2 \theta}d \theta$

Usa la sustitución trigonométrica para simplificar el radical.

$&= 2 \pi \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}16(1+ \sin \theta)\cos \theta \sqrt{1+2 \sin \theta + 1}d \theta \\&= 2 \pi \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}16(1+ \sin \theta)\cos \theta \sqrt{2+2 \sin \theta}d \theta$

Ahora estás listo para usar la sustitución de $u$ Si separas el 16 en 4, 2 y 2 es más fácil de utilizar.

$&=2 \pi \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (4)(2)(2)(1+ \sin \theta)\cos \theta \sqrt{2+2 \sin \theta}d \theta \\&=8 \pi \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (2+2 \sin \theta)2 \cos \theta \sqrt{2+2 \sin \theta}d \theta \\u &= 2+2 \sin \theta \\du &= 2 \cos \theta \\&= 8 \pi \int\limits u^{\frac{3}{2}}du \\&= 8 \pi \left[{\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}}\right] \\&= \frac{16 \pi}{5} \left[(2+2 \sin \theta)^{\frac{5}{2}}\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \\&= \frac{512 \pi}{5} \ units^2$

Análisis del problema de la sección

Maia mide la manzana y se da cuenta de que puede modelar su cáscara con una revolución de la ecuación $r=3+3 \cos \theta$ alrededor del eje polar de 0 a $\pi$ , donde todas las distancias están expresadas en centímetros.

Incluye su modelo en la ecuación del área superficial:

$Area_{surface}=2 \pi \int\limits_0^{\pi} (3+3 \cos \theta) \sin \theta \sqrt{(3+3 \cos \theta)^2 + (-3 \sin \theta)^2}d \theta$

Luego, factoriza y simplifica.

$&=2 \pi \int\limits_0^{\pi} 3(1+ \cos \theta) \sin \theta \sqrt{9(1+2 \cos \theta + \cos^2 \theta+ \sin^2 \theta)}d \theta \\&=2 \pi \int\limits_0^{\pi} 9(1+ \cos \theta) \sin \theta \sqrt{1+2 \cos \theta +1}d \theta \\&=2 \pi \int\limits_0^{\pi} 9(1+ \cos \theta) \sin \theta \sqrt{2+2 \cos \theta}d \theta$

Multiplica por una forma de uno para que pueda escribir la ecuación de forma que le permita sustituir $u$ .

$&= 2 \pi \int\limits_{0}^{\pi}9(1+ \cos \theta)\sin \theta \sqrt{2+2 \cos \theta} d \theta \cdot \frac{-4}{-4} \\&= -\frac{1}{4} 2 \pi \int\limits_{0}^{\pi}9 \cdot 2 \cdot (1+ \cos \theta) \cdot -2 \cdot \sin \theta \sqrt{2+2 \cos \theta} d \theta \\&= -\frac{9 \pi}{2} \int\limits_{0}^{\pi}(2+2 \cos \theta)(-2 \sin \theta) \sqrt{2+2 \cos \theta} d \theta \\u &= 2+2 \cos \theta \\du &= -2 \sin \theta d \theta \\&= -\frac{9 \pi}{2} \int\limits u^{\frac{3}{2}} du \\&= -\frac{9 \pi}{2} \left[\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}\right] \\&= -\frac{9 \pi}{2} \left[\frac{2}{5} (2+2 \cos \theta) ^{\frac{5}{2}}\right]_0^{\pi} \\&= \frac{288 \pi}{5} \\& \approx 181 \ cm^2$

El área superficial de la manzana tiene aproximadamente 181 centímetros cuadrados.

Vocabulario

Área superficial – El área de la superficie que rodea la figura tridimensional. El área superficial puede encontrarse al multiplicar el largo de un arco por la circunferencia de una rotación. En la forma polar, la fórmula del área supeficial creada al rotar una curva alrededor del eje polar es $Area_{surface}=2 \pi \int\limits_{a}^b r \sin \theta \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2}d \theta$ . La fórmula del área superficial de una curva rotada alrededor de la línea $\theta=\frac{\pi}{2}$ es $Area_{surface}=2 \pi \int\limits_{a}^b r \cos \theta \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2}d \theta$ .

Longitud de arco – Distancia de una curva entre dos puntos de la curva. La fórmula de la longitud del arco en forma polar es $l = \int\limits_{a}^{b} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d \theta}\right)^2}d \theta$ donde $r$ es la distancia de la curva con respecto al origen y $\theta$ es él ángulo entre el eje polar y un rayo que atraviesa tanto el origen como un punto dado en la curva.

Cardioide – Curva polar de la forma $r=1+ \cos \theta$ .

Práctica guiada

1. Usando los métodos de integración numérica, encuentra el área superficial de la curva $r=e^{5 \theta}$ rotada alrededor de la línea $\theta=\frac{\pi}{2}$ de 0 a $\frac{\pi}{4}$ .

2. La curva $r=5 \cos \theta$ esta rotada alrededor del eje polar de 0 a $\frac{\pi}{3}$ . Encuentra el área superficial de la revolución.

3. Encuentra el área superficial de la curva $r=-3 -3 \sin \theta$ rotada alrededor de la línea $\theta=\frac{\pi}{2}$ de $-\frac{\pi}{2}$ a $\frac{\pi}{2}$ .

Respuestas:

1. $Area_{surface} = 2 \pi \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} (e^{5 \theta}) \cos \theta \sqrt{\left(e^{5 \theta} \right)^2 + \left(5e^{5 \theta}\right)^2} d \theta = 6352.53$

2. $Area_{surface} &=2 \pi \int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} 5 \cos \theta \sin \theta \sqrt{(5 \cos \theta)^2 + (-5 \sin \theta)^2} d \theta \\&=2 \pi \int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} 5 \cos \theta \sin \theta \sqrt{(25 \cos^2 \theta) + (25 \sin^2 \theta)} d \theta \\&=2 \pi \int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} 5 \cos \theta \sin \theta \sqrt{25 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} d \theta \\&=2 \pi \int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} 5 \cos \theta \sin \theta \sqrt{25 (1)} d \theta \\&=2 \pi \int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} 25 \cos \theta \sin \theta d \theta \\&=50 \pi \int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} \cos \theta \sin \theta d \theta \\&=-50 \pi \int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} \cos \theta(-\sin \theta) d \theta \\u &= \cos \theta \\du &= -\sin \theta d \theta \\&= -50 \pi \int\limits udu = -50 \pi \left[\frac{1}{2}u^2 \right] \\&= -25 \pi \left[\cos^2 \theta \right]_0^{\frac{\pi}{3}} \\&= \frac{75 \pi}{4}$

3. $A_{surface} &=2 \pi \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} (-3 -3 \sin \theta)(\cos \theta) \sqrt{(-3 -3 \sin \theta)^2 + (-3 \cos \theta)^2} d \theta \\&=2 \pi \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} -3(1+ \sin \theta)(\cos \theta) \sqrt{-3^2(1+3 \sin \theta)^2 + -3^2(\cos \theta)^2} d \theta \\&=2 \pi \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} -9(1+ \sin \theta)(\cos \theta) \sqrt{(1+ \sin \theta)^2 + (\cos \theta)^2} d \theta \\&=2 \pi \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} -9(1+ \sin \theta)(\cos \theta) \sqrt{(1+2 \sin \theta + \sin^2 \theta + \cos^2 \theta)} d \theta \\&=2 \pi \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} -9(1+ \sin \theta)(\cos \theta) \sqrt{(1+2 \sin \theta + 1)}d \theta \\&=2 \pi \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} -9(1+ \sin \theta)(\cos \theta) \sqrt{(2+2 \sin \theta)} d \theta \times \frac{4}{4} \\&=-18 \pi \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4}(2+2 \sin \theta)(2 \cos \theta) \sqrt{(2+2 \sin \theta)} d \theta \\u &= 2+2 \sin \theta \\du &= 2 \cos \theta \\&= \frac{-18 \pi}{4} \int\limits u^{\frac{3}{2}}du = \frac{-18 \pi}{4} \left[\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}\right] \\&= \frac{-18 \pi}{10} \left[(2+2 \sin \theta)^{\frac{5}{2}}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} \\&= 57.6 \pi \ units^2$

Tu respuesta es $57.6 \pi \ units^2$ .

Práctica

Para los ejercicios 1 a 10, crea, pero no resuelvas, una integral que te de el área superficial de una curva rotada alrededor el eje dado.

1. $r=\sin \theta$ rotado alrededor de la línea $\theta=\frac{\pi}{2}$ de $\theta=0$ a $\theta=\frac{\pi}{2}$ .

2. $r=2+2 \sin \theta$ rotado alrededor del eje polar de $\theta=0$ a $\theta=\pi$ .

3. $r= \cos \theta \sin \theta$ rotado alrededor del eje polar de $\theta=0$ a $\theta=\frac{\pi}{2}$ .

4. $r=\cos \theta$ rotado alrededor de la línea $\theta=\frac{\pi}{2}$ de $\theta=0$ a $\theta=\pi$ .

5. $r=\sin^2 \theta$ rotado alrededor de la línea $\theta=\frac{\pi}{2}$ de $\theta=0$ a $\theta=\frac{\pi}{3}$ .

6. $r= \cos \theta \sin 2 \theta$ rotado alrededor de la línea $\theta=\frac{\pi}{2}$ de $\theta=0$ a $\theta=\frac{\pi}{3}$ .

7. $r=5-4 \cos \theta$ rotado alrededor de la línea $\theta=\frac{\pi}{2}$ de $\theta=0$ a $\theta=\frac{\pi}{2}$ .

8. $r=\theta \cos \theta$ rotado alrededor del eje polar de $\theta=\frac{\pi}{4}$ a $\theta=\frac{\pi}{2}$ .

9. $r=e^{\theta}$ rotado alrededor de la línea $\theta=\frac{\pi}{2}$ de $\theta=0$ a $\theta=\frac{\pi}{2}$ .

10. $r=1+ \cos \theta$ rotado alrededor del eje polar de $\theta=0$ a $\theta=\frac{\pi}{2}$ .

Para los ejercicios 11 a 15, encuentra el área de la curva rotada alrededor el eje dado. Integra simbolica o numeralmente según sea apropiado.

11. $r=\sin \theta$ rotado alrededor de la línea $\theta=\frac{\pi}{2}$ de $\theta=0$ a $\theta=\frac{\pi}{2}$ .

12. $r=2+2 \sin \theta$ rotado alrededor del eje polar de $\theta=0$ a $\theta=\pi$ .

13. $r= \cos \theta \sin \theta$ rotado alrededor del eje polar de $\theta=0$ a $\theta=\frac{\pi}{2}$ .

14. $r=\cos \theta$ rotado alrededor de la línea $\theta=\frac{\pi}{2}$ de $\theta=0$ a $\theta=\pi$ .

15. $r=\sin^2 \theta$ rotado alrededor de la línea $\theta=\frac{\pi}{2}$ de $\theta=0$ a $\theta=\frac{\pi}{3}$ .

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