Objetivos

En esta sección aprenderás a calcular el volumen de las revoluciones de curvas en forma polar.

Concepto

Matthias hizo un recipiente que puede ser descrito como la revolución de un cuarto de curva $r=5 \cos \theta$ . ¿Cuánto líquido puede contener el recipiente?

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Orientación

Encontrar los volúmenes de revoluciones en forma polar puede ser difícil. Las variables $r$ y $\theta$ no interactúan en una forma que te permita dividir fácilmente los sólidos complejos en partes cilíndricas. Si continúas en la clase de matemática aprenderás a encontrar los volúmenes de sólidos complejos utilizando una integral doble. Sin embargo, hay ciertas curvas polares que permiten cálculos menos complejos.

Para encontrar el volumen de una curva polar rotada alrededor de un eje necesitarás escribir la ecuación en forma rectangular con los términos $x$ y $y$ . Luego de que has transformado la ecuación puedes usar la fórmula para el volumen de una rotación alrededor del eje en tres dimensiones para encontrar el volumen de un sólido.

Generalmente, la parte más difícil de estos problemas es transformarlos de la forma polar a la forma rectangular. Una vez que has dominado esta parte del problema podrás encontrar el volumen.

Ejemplo A

Encuentra el volumen de la curva $r=10$ rotada alrededor del eje polar de 0 a $\pi$ .

Solución: Esta es una ecuación de un círculo con un radio de 10, por lo que la revolución producirá una esfera. Para encontrar el volumen necesitas primero escribir la ecuación en forma rectangular usando una de las identidades polares. En este caso, puedes usar la transfomación $r^2=x^2+y^2$ , originada a partir de poner el eje polar a lo largo del eje $x$ el origen en el origen y luego usar el teorema de Pitágoras.

$r &= 10 \\r^2 &= x^2+y^2 \\10^2 &= x^2+y^2 \\100 &= x^2+y^2$

Para encontrar el volumen de una revolución alrededor del eje $x$ necesitarás usar la fórmula: $V=\pi \int \left ( f(x)\right )^2 dx$ . Esto permitirá encontrar los volúmenes de partes infinitamente delgadas del sólido y luego sumarlas para encontrar el volumen total.

Para usar esta ecuación primero necesitas expresar $y$ con los términos $x$ .

$x^2+y^2 &= 100 \\y^2 &= 100-x^2 \\\sqrt{y^2} &= \sqrt{100-x^2} \\y &= \pm \sqrt{100-x^2}$

Ya que la revolución de un semicírculo y la revolución de un círculo producirán la misma esfera, puedes trabajar con la mitad positiva de la ecuación anterior. Además, ya que el círculo centrado en el origen es simétrico en el eje $y$ puedes integrar de 0 a 10 (el radio del semicírculo) y luego simplemente duplicar el volumen. Entonces, puedes formar tu integral así:

$V=2 \pi \int \limits_{0}^{10} \left (\sqrt{100-x^2} \right )^2 dx$

Ahora integra y encuentra el volumen.

$V &= 2 \pi \int \limits_{0}^{10} \left (\sqrt{100-x^2} \right )^2 dx \\&= 2 \pi \int \limits_{0}^{10} 100-x^2 dx \\&= 2 \pi \left [100x - \frac{1}{3} x^3 \right ]_{0}^{10} \\&= \frac{4000 \pi}{3} units^3$

Nota que la fórmula geométrica para el volumen de la esfera es $\frac{4}{3} \pi r^3$ . Entonces, usar integrales para encontrar el volumen de una esfera te da el mismo resultado que usar el método geométrico para encontrar el volumen.

Ejemplo B

En el ejemplo anterior transformaste una ecuación polar muy simple a forma rectangular para poder rotarla y encontrar su volumen. Ahora estás listo para trabajar con una ecuación ligeramente más difícil.

Encuentra el volumen de un sólido formado con la rotación de la ecuación polar $r=4 \sin \theta$ alrededor de la línea $\theta=\frac{\pi}{2}$ .

Solución: Si graficas esta ecuación verás que es un círculo con el centro en $\left ( 2, \frac{\pi}{2} \right )$ y un radio de 2.

Para transformar esta ecuación a forma rectangular tendrás que usar la identidad $r \sin \theta = y$ junto a $r^2=x^2+y^2$ .

$r &= 4 \sin \theta \\r^2 &= 4r \sin \theta \\x^2+y^2 &= 4y$

Ahora rotarás la curva alrededor de la línea $\theta=\frac{\pi}{2}$ . Este es el equivalente de el eje $y$ en forma rectangular. Ya que rotaste la curva alrededor del eje $y$ tendrás que usar la fórmula de la revolución alrededor del eje $y$ : $V = \pi \int \left (f(y) \right )^2 dy$ . Estás integrando en términos de $y$ porque cuando rotas una curva alrededor del eje $y$ el radio de cada disco es $x$ , y la altura de cada disco es $dy$ . Para continuar necesitas expresar $x$ en términos de $y$ :

$4y &= x^2+y^2 \\x^2 &= 4y-y^2 \\x &= \pm \sqrt{4y-y^2}$

Ya que el círculo es simétrico alrededor el eje $y$ solo tienes que usar la mitad derecha de la curva en tu integral para encontrar el volumen del sólido completo. A partir de tu dibujo puedes ver que necesitarás integrar de $y=0$ a $y=4$ . Entonces,

$V &= \pi \int \limits_{0}^{4} \left (\sqrt{4y-y^2} \right )^2 dy \\&= \pi \int \limits_{0}^{4} 4y-y^2 dy \\&= \pi \left [2y^2 - \frac{1}{3} y^3 \right ]_{0}^{4} \\&= \pi \left [32 - \frac{64}{3}\right ] \\&= \frac{32 \pi}{3} units^3$

Ejemplo C

Convierte la ecuación $r = \frac{1}{4 \sin \theta + 2 \cos \theta}$ a forma rectangular, luego rótala alrededor del eje $x$ de 0 a 5.

Solución: Recuerda que $r \sin \theta = y$ y $r \cos \theta = x$ . Multiplica cruzado, sustituye y luego resuelve $y$ :

$r &= \frac{1}{4 \sin \theta + 2 \cos \theta} \\r (4 \sin \theta + 2 \cos \theta) &= 1 \\4r \sin \theta + 2 \cos \theta &= 1 \\4y+2x &= 1 \\y &= - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4}$

Ahora tienes la ecuación para una línea en la forma $y=mx+b$ Si ves el dibujo de la gráfica, podrás observar que la revolución de 0 a 5 produce un cono doble.

Usa la fórmula del volumen y resuelve para encontrar el volumen del sólido producido por la revolución.

$V &= \pi \int \limits_{0}^{5} \left (- \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \right )^2 dx \\&= \pi \int \limits_{0}^{5} \left (\frac{1}{4} x^2 - \frac{1}{4} x + \frac{1}{16} \right ) dx \\&= \pi \left [\frac{1}{12} x^3 - \frac{1}{8} x^2 + \frac{1}{16} x \right ]_{0}^{5} \\&= \pi \left [\frac{1}{12} (5)^3 - \frac{1}{8} (5)^2 + \frac{1}{16} (5) \right ] \\&= \frac{365 \pi}{48} units^3$

Análisis del problema de la sección

Para encontrar el volumen de su recipiente, Matthias tiene que escribir la ecuación que representa su recipiente en forma rectangular.

$r &= 5 \cos \theta \\r^2 &= 5r \cos \theta \\x^2+y^2 &= 5x$

Ahora tiene la ecuación de un círculo con el centro en (2.5, 0) y un radio de 2.5. Si rota la mitad superior del círculo alrededor del eje $x$ tendrá un modelo de su recipiente.

Para rotar la curva tendrá que expresar $y$ en términos de $x$ .

$5x &= x^2 + y^2 \\y^2 &= 5x -x^2 \\y &= \pm \sqrt{5x-x^2}$

Ya que quiere modelar la forma de su recipiente, solo necesitará integrar el lado positivo de la ecuación de 0 a 2,5.

$V &= \pi \int \limits_{0}^{2.5} \left (\sqrt{5x-x^2} \right )^2 dx \\&= \pi \int \limits_{0}^{2.5} 5x-x^2 dx \\&= \pi \left [ \frac{5}{2} x^2 - \frac{1}{3} x^3 \right ]_{0}^{2.5} \\&= 10.4167 \pi$

Este recipiente puede contener $10.4167 \pi \ units^3$ de líquido.

Vocabulario

Identidades de transformación – Fórmulas que te ayudan a cambiar una ecuación polar a forma rectangular. Son $\theta = \tan^{-1} \frac{y}{x}$ , $r^2 = x^2+y^2$ , $y=r \sin \theta$ y $x=r \cos \theta$ .

Volumen de la revolución alrededor del eje $x$ – Esta fórmula encuentra el volumen de una curva rotada al dividirla en una serie de discos para luego encontrar el volumen de cada disco. Para una curva rotada alrededor del eje $x$ es $V= \pi \int \left (f(x) \right )^2 dx$ .

Volumen de una revolución alrededor del eje $y$ – Fórmula para encontrar el volumen de un sólido creado por la rotación de una curva alrededor del eje $y$ : $V=\pi \int \left (f(y) \right )^2 dy$ .

Práctica guiada

1. Convierte la ecuación $r=6$ a forma rectangular y luego encuentra el volumen de su revolución alrededor del eje $x$ de 3 a 5.

2. Convierte la ecuación $r=2 \sin \theta$ a forma rectangular y luego rota alrededor del eje $y$ de $y=0$ a $y=1$ y encuentra el volumen.

3. Convierte la ecuación $r=\frac{5}{3 \sin \theta - 4 \cos \theta}$ a forma rectangular, luego rótala alrededor del eje $x$ de 0 a 2 y encuentra el volumen.

Respuestas:

1. Escribe la ecuación en forma rectangular. Escríbela en términos de $y$ :

$r &= 6 \\r^2 &= x^2 + y^2 \\36 &= x^2 + y^2 \\y^2 &= 36 - x^2 \\y &= \pm \sqrt{36-x^2}$

Ahora usa la fórmula del volumen:

$V &= \pi \int \limits_{3}^{5} \left (\sqrt{36-x^2} \right )^2 dx \\&= \pi \int \limits_{3}^{5} 36-x^2 dx \\&= \pi \left [ 36x - \frac{1}{3} x^3 \right ]_{3}^{5} \\&= \frac{118 \pi}{3}$

El volumen es $\frac{118 \pi}{3} units^3$ .

2. Multiplica ambos lados de la ecuación por $r$ , luego usa $y=r \sin \theta$ y $r^2=x^2+y^2$ . Luego, resuelve $x$ :

$r &= 2 \sin \theta \\r^2 &= 2r \sin \theta \\r^2 &= 2y \\2y &= x^2 + y^2 \\2y - y^2 &= x^2 \\\pm \sqrt{2y - y^2} &= x$

Ahora usa la fórmula del volumen:

$V &= \pi \int \limits_{0}^{1} \left ( \sqrt{2y-y^2} \right )^2 dy \\&= \pi \int \limits_{0}^{1} 2y-y^2 dy \\&= \pi \left [ y^2 - \frac{1}{3} y^3 \right ]_{0}^{1} \\&= \frac{2 \pi}{3}$

El volumen es $\frac{2 \pi}{3} units^3$ .

3. Primero escribe la ecuación en forma rectangular y resuelve $y$ :

$r &= \frac{5}{3 \sin \theta - 4 \cos \theta} \\3 r \sin \theta - 4 r \cos \theta &= 5 \\3y - 4x &= 5 \\3y &= 4x+5 \\y &= \frac{4}{3} x + \frac{5}{3}$

Ahora, usa la fórmula del volumen.

$V &= \pi \int \limits_{0}^{2} \left (\frac{4}{3} x + \frac{5}{3} \right )^2 dx \\&= \pi \int \limits_{0}^{2} \frac{16}{9} x^2 + \frac{40}{9} x + \frac{25}{9} dx \\&= \pi \left [\frac{16}{27} x^3 + \frac{40}{18} x^2 + \frac{25}{9} x \right ]_{0}^{2} \\&= \frac{518 \pi}{27}$

El volumen es $\frac{518 \pi}{27} units^3$ .

Práctica

1. Convierte la ecuación $r=4$ a forma rectangular y luego encuentra el volumen de su revolución alrededor del eje $x$ de 1 a 3.

2. Convierte la ecuación $r=2$ a forma rectangular y luego encuentra el volumen de su revolución alrededor del eje $y$ de 1 a 2.

3. Convierte la ecuación $r=8$ a forma rectangular y luego encuentra el volumen de su revolución alrededor del eje $y$ de -8 a 8.

4. Convierte la ecuación $r=a$ a forma rectangular y luego encuentra el volumen de su revolución alrededor del eje $x$ de $-a$ a $a$ . ¿Qué tiene que ver el resultado con la fórmula $V=\frac{4}{3} \pi r^3$ ?

5. Convierte la ecuación $r=a$ a forma rectangular y luego encuentra el volumen de su revolución alrededor del eje $y$ de $-a$ a $a$ . ¿En qué se parece tu respuesta al ejercicio 4? Explica.

Para los ejercicios 6 a 8, considera la ecuación $r=6 \sin \theta$ .

6. Escribe la ecuación en forma rectangular.

7. Si fueras a rotar la curva alrededor del eje $y$ de $y=0$ a $y=3$ , ¿Qué tipo de sólido crearías?

8. Encuenta el volumen de la revolución descrita en el ejercicio 7.

Para los ejercicios 9 a 11, considera la ecuación $r= 10 \cos \theta$ .

9. Escribe la ecuación en forma rectangular.

10. Si fueras a rotar la curva alrededor del eje $x$ de $x=0$ a $x=10$ , ¿Qué tipo de sólido crearías?

11. Encuenta el volumen de la revolución descrita en el ejercicio 10.

Para los ejercicios 12 a 15, considera la ecuación $r=\frac{4}{\sin \theta + \cos \theta}$ .

12. Escribe la ecuación en forma rectangular.

13. Si fueras a rotar la curva alrededor del eje $x$ de $x=0$ a $x=8$ , ¿Qué tipo de sólido crearías?

14. Encuenta el volumen de la revolución descrita en el ejercicio 13.

15. Usa la fórmula geométrica del volumen del cono $\left (V= \frac{\pi r^2 h}{3}\right )$ para encontrar el volumen del sólido descrito en el ejercicio 13. ¿Cómo se asemeja esta respuesta en comparación con tu respuesta al ejercicio 14?

Formas polares y cálculo: Volumen de una revolución