Objetivos

En esta sección, revisarás las propiedades básicas de los vectores. Practicarás utilizando vectores y triángulos rectángulos para resolver problemas.

Concepto

Meghan planeó una aventura en tirolesa para el día sábado con su familia. Su abuela está un poco nerviosa sobre una parte de la trayectoria. Cuando los participantes caen en picada hacia la superficie del lago, alcanzan una velocidad de 40 millas por hora. Meghan dice que la velocidad no es tan alarmante como se escucha. ¿Puede dividir sus componentes horizontales y verticales para que su abuela pueda disfrutar el resto del trayecto con el resto de la familia?

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Orientación

Algunos números simplemente describen la longitud de algo. Estos números, que expresan magnitud, se llaman escalares. Los límites de velocidad son ejemplos de escalares. Te dicen cuán rápido puedes manejar. La temperatura del aire es un escalar. Indica la calidez del aire. Tu altura es un escalar. Describe cuán alto eres.

Algunas veces, necesitas mayor información. Cuando necesitas un número que pueda expresar tanto la magnitud como la dirección, puedes utilizar un vector. La velocidad es un ejemplo de una idea que se expresa mejor con un vector. Mientras que la velocidad indica simplemente cuán rápido vas, la rapidez dice la velocidad y la dirección. Puedes expresar vectores en uno, dos, tres o incluso más dimensiones.

Cuando trabajas con un vector en un plano coordenado, puedes expresarlo en términos de su ubicación con respecto al origen. Por ejemplo, $\vec{a} = (5, 8)$ significa que el vector $\vec{a}$ comienza en el origen y termina en el punto $(5, 8)$ . Puedes expresar la dirección del vector cuando encuentras su ángulo con respecto al eje $x$ y puedes encontrar su magnitud cuando utilizas la fórmula de la distancia para los puntos en el plano coordenado.

Ejemplo A

Encuentra la dirección y magnitud de $\vec{a} = (5, 8)$ .

Solución: Para encontrar la dirección, necesitarás encontrar $\theta$ , el ángulo que el vector hace con el eje $x$ Puedes usar la tangente para hacerte esto:

$\tan \theta &= \frac{8}{5} \\\theta &= \tan^{-1} \left ( \frac{8}{5} \right ) \\\theta &\thickapprox 58^\circ$

La dirección del vector es $58^\circ$ . Ahora utilizar la fórmula de la distancia para encontrar la magnitud del vector. Encontrarás la distancia entre el extremo del vector y el origen.

$d &= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\d &= \sqrt{25+64} = \sqrt{89}$

La magnitud del vector es $\sqrt{89}$ . También puedes describir vectores en términos de unidades vectoriales y escalares. Una unidad vectorial es un vector con una magnitud de 1. Cualquier vector se puede describir como un múltiplo de una unidad vectorial. Por ejemplo, el vector en el Ejemplo A se puede describir cómo $\sqrt{89} \cdot \vec{v}$ donde $\vec{v}$ es un vector con una magnitud de 1 y un ángulo de $58^\circ$ .

Dos importantes unidades vectoriales son $\vec{i} = (1, 0)$ y $\vec{j} = (0, 1)$ . Son las unidades vectoriales que describen vectores en los ángulos $0^\circ$ y $90^\circ$ . Puedes describir cualquier vector como la suma de múltiplos de estos vectores. Por ejemplo, el vector en el Ejemplo A, $\vec{a} = (5, 8)$ , también se puede escribir como $\vec{a} = 5 \vec{i} + 8 \vec{j}$ . Cuando escribes vectores como una suma de múltiplos de $\vec{i}$ y $\vec{j}$ , se vuelve fácil sumarlos y multiplicarlos por escalares. Para sumar dos vectores, primero suma juntos los componentes horizontales (los múltiplos de $\vec{i}$ ). Luego suma los componentes verticales (los múltiplos de $\vec{j}$ ), y expresa el vector como la suma de múltiplos de $\vec{i}$ y $\vec{j}$ .

Ejemplo B

Encuentra la magnitud y dirección del vector $\vec{b} = (3, 2)$ y del vector $\vec{c} = (1, 4)$ . Reescribe ambos vectores en términos de $\vec{i}$ y $\vec{j}$ . Luego, encuentra su suma. Encuentra la magnitud y dirección del vector resultante.

Solución:

$\vec{b} &= (3, 2) \\\tan \theta &= \frac{2}{3} \\\theta &= 34^\circ \\d &= \sqrt{a^2+b^2} \\d &= \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{13} \\$

$\vec{b}$ tiene una dirección de $34^\circ$ y una magnitud de $\sqrt{13}$ .

$\vec{c} &= (1, 4) \\\tan \theta &= \frac{4}{1} \\\theta &= 76^\circ \\d &= \sqrt{a^2+b^2} \\d &= \sqrt{1^2+4^2} = \sqrt{17} \\$

$\vec{c}$ tiene una dirección de $76^\circ$ y una magnitud de $\sqrt{17}$ .

Para reescribir en términos de $\vec{i}$ y $\vec{j}$ , utiliza las coordenadas $x$ e $y$ de cada extremo del vector. Luego verás que $\vec{b} = 3 \vec{i} + 2 \vec {j}$ y $\vec{c} = \vec{i} + 4 \vec{j}$ . Cuando sumas vectores, sumas los componentes horizontales juntos y los componentes verticales juntos. Por lo tanto:

$\vec{d} &= \vec{b} + \vec{c} \\\vec{d} &= 3\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{i} + 4 \vec{j} \\\vec{d} &= 4 \vec{i} + 6 \vec{j} \\$

Ahora, encuentra la dirección y magnitud del nuevo vector.

$\vec{d} &= 4\vec{i} + 6\vec{j} \\\tan \theta &= \frac{6}{4} \\\theta &= 56^\circ \\d &= \sqrt {a^2+b^2} \\d &= \sqrt {4^2 + 6^2} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13} \\$

$\vec{d}$ tiene una dirección de $56^\circ$ y una magnitud de $2 \sqrt{13}$ .

Ejemplo C

Si tienes las magnitud y dirección de un vector, puedes dividir el vector en sus partes componentes y expresarlos en términos de $\vec{i}$ y $\vec{j}$ . Por ejemplo, considera el vector $\vec{e}$ , que tiene una magnitud de 8 unidades y hace un ángulo de $30^\circ$ con el eje $x$ Encuentra las partes componentes de $\vec{e}$ .

Solución: Así es como $\vec{e}$ luce:

Puedes utilizar la trigonometría para encontrar partes componentes de $\vec{e}$ :

$\sin (30) &= \frac{y}{8} \\8 \sin (30) &= y \\ y &= 4 \\\cos (30) &= \frac{x}{8} \\8 \cos (30) &= x \\x &= 4 \sqrt{3} \\$

Por lo que, $\vec{e} = 4 \sqrt{3} \vec{i} + 4 \vec{j}$ .

Análisis del Problema de la Sección

En el punto en que la tirolesa alcanza las 40 millas por hora, el ángulo entre el trayecto de la tirolesa y el agua debajo es de $25^ \circ$ .

Meghan planea colocar el vector en términos de $\vec{i}$ y $\vec{j}$ para que su abuela pueda ver que la velocidad vertical y horizontal no son tan alarmantes como la velocidad combinada.

Ten presente que la rapidez actual de los participantes será de -40 porque se mueven en dirección descendiente. Meghan primero encontrará la velocidad vertical y luego la horizontal.

$\sin 25 &= \frac{y}{40} \\40 \sin (25) &= y \\y &= 16.9 \\\cos 25 &= \frac{x}{40} \\40 \cos 25 &= x \\x &= 36.3 \\\vec{v} &= 36.3 \vec{i} + 16.9 \vec{j} \\$

Después de mirar los vectores, Meghan decide decirle a su abuela que ella descenderá hacia el lago a solo 17 mph: un poco más rápido que un viaje en bicicleta

Vocabulario

Vector - Una cantidad que expresa tanto la magnitud como la dirección. Un vector se puede definir por su extremo, como la suma de su vector vertical y su vector horizontal, o por su magnitud y el ángulo de su dirección. Los ángulos para los vectores usualmente se expresan en grados en vez de radianes.

Escalar - Una cantidad que solo expresa magnitud. Un número tradicional.

Unidad Vectorial - Un vector con una magnitud de 1.

Fórmula de la Distancia - La fórmula utilizada para encontrar la longitud de un vector. Se basa en el Teorema de Pitágoras y se puede escribir así: $\sqrt{x^2 + y^2}$ donde $(x, y)$ es el extremo del vector.

$\vec{i}$ - La unidad vectorial para una distancia horizontal. También se puede escribir como (1, 0).

$\vec{j}$ - La unidad vectorial para una distancia vertical. También se puede escribir como (0, 1).

Práctica Guiada

1. Encuentra la magnitud y dirección del vector que termina en (5, 7).

2. Coloca los siguientes 3 vectores en términos de $\vec{i}$ y $\vec{j}$ . Súmalos y luego encuentra la magnitud y el ángulo de dirección del vector resultante.

$\vec{a} &= (-2, 3) \\\vec{b} &= (5, -1) \\\vec{c} &= (4, 4) \\$

3. Un vector tiene una magnitud de 12 y un ángulo de $40^ \circ$ . Exprésalo en términos de $\vec{i}$ y $\vec{j}$ .

Respuesta:

1. Utiliza la tangente para encontrar la dirección del vector y la fórmula de la distancia para encontrar la magnitud del vector:

$\tan \theta &= \frac{7}{4} \\\theta &= 60.3^ \circ \\d &= \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{4^2+7^2} = \sqrt{65} \\$

La magnitud del vector es $\sqrt{65}$ y la dirección del vector es $60.3^ \circ$ .

2. Primero escribe cada vector en términos de $\vec{i}$ y $\vec{j}$ :

$\vec{a} &= -2 \vec{i} + 3 \vec{j} \\\vec{b} &= 5 \vec{i} + - \vec{j} \\\vec{c} &= 4 \vec{i} + 4 \vec{j} \\$

Suma los vectores para encontrar el vector resultante:

$\vec{d} &= -2 \vec{i} + 3 \vec{j} + 5 \vec{i} + - \vec{j} + 4 \vec{i} + 4 \vec{j} \\\vec{d} &= 5 \vec{i} + 6 \vec{j} \\$

Encuentra la magnitud y dirección del vector resultante:

$\tan \theta &= \frac{6}{5} \\\theta &= 50.2^\circ \\d &= \sqrt{x^2+y^2} = {6^2+5^2} = \sqrt{61} \\$

La magnitud del vector resultante es $\sqrt{61}$ y la dirección del vector resultante es $50.2^ \circ$ .

3. Utiliza la trigonometría para encontrar los componentes horizontales y verticales del vector:

$\sin (40) &= \frac{y}{12} \\12 \sin 40 &= y \\y &= 7.7 \\\cos (40) &= \frac{x}{12} \\12 \cos (40) &= x \\x &=9.2 \\$

El vector resultante es $\vec{v} = 9.2 \vec{i} + 7.7 \vec{j}$ .

Práctica

Encuentra la magnitud y dirección del vector que termina en los siguientes puntos:

1. $(2, 5)$

2. $(-2, -3)$

3. $(6, 4)$

4. $(7, -5)$

5. $(-1, 4)$

6. Coloca los siguientes 5 vectores en términos de $\vec{i}$ y $\vec{j}$ .

$\vec{a} &= (1, 2) \\\vec{b} &= (-4, 8) \\\vec{c} &= (-3, -6) \\\vec{d} &= (2, -4) \\\vec{e} &= (1, 9) \\$

7. Encuentra la magnitud y dirección del vector resultante de $\vec{a} + \vec{e}$ .

8. Encuentra la magnitud y dirección del vector resultante de $\vec{c} + \vec{d}$ .

9. Encuentra la magnitud y dirección del vector resultante de $\vec{b} + \vec{d}$ .

10. Encuentra la magnitud y dirección del vector resultante de $\vec{a} + \vec{d} + \vec{e}$ .

11. Un vector tiene una magnitud de 10 y un ángulo de $140^\circ$ . Exprésalo en términos de $\vec{i}$ y $\vec{j}$ .

12. Un vector tiene una magnitud de 8 y un ángulo de $80^\circ$ . Exprésalo en términos de $\vec{i}$ y $\vec{j}$ .

13. Un vector tiene una magnitud de 2 y un ángulo de $10^\circ$ . Exprésalo en términos de $\vec{i}$ y $\vec{j}$ .

14. Un vector tiene una magnitud de 6 y un ángulo de $210^\circ$ . Exprésalo en términos de $\vec{i}$ y $\vec{j}$ .

15. Un vector tiene una magnitud de 4 y un ángulo de $300^\circ$ . Exprésalo en términos de $\vec{i}$ y $\vec{j}$ .

Vectores en el Plano