Operaciones Vectoriales: Producto Escalar

Objetivos

En esta sección revisarás las operaciones de producto escalar para los vectores. Practicarás utilizando el producto escalar para encontrar información sobre los vectores y resolver problemas físicos.

Concepto

Will se cambiará a un nuevo departamento el viernes. Sus amigos se han ido y él tendrá que mover una pesada cómoda por sí solo. Él quiere hacer el menor trabajo posible para mover la cómoda dentro de la casa. ¿Debería elevarle a través de la ventana, empujarla a través de una rampa en la puerta principal o empujarla por una colina para entrar en el departamento?

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Haz click en la imagen anterior para ver más contenido *Este video solo está disponible en inglés (requiere conexión a internet)

https://www.youtube.com/watch?v=hkZtGslMcbQ&feature=youtu.be

Orientación

El producto escalar es una operación que permite multiplicar dos vectores y obtener un escalar como resultado. Funciona para vectores en dos, tres o incluso cuatro o más dimensiones. Puedes utilizar el producto escalar para descubrir si dos vectores son perpendiculares uno con otro, para descubrir el ángulo entre dos vectores, y para resolver problemas de física que involucran conceptos como trabajo y fuerza.

Hay dos métodos equivalentes para calcular el producto escalar de dos vectores:

Puedes describir el producto escalar de los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ como el producto de las magnitudes de los vectores y el coseno del ángulo entre los vectores, que es: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \Big \| \vec{a}\Big \| \ \Big \| \vec{b}\Big \| \cos \theta$ , donde $\Big \| \vec{v} \Big \|$ es la magnitud del vector $\vec{v}$ . Esta fórmula es más fácil de utilizar cuando tus vectores se definen en términos de sus magnitudes y ángulos.
Para los vectores definidos en términos de sus extremos, utiliza la fórmula $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b$ , donde $(x_a, y_a)$ es el extremo de $\vec{a}$ y $(x_b, y_b)$ es el extremo de $\vec{b}$ . Si tus vectores están en tres dimensiones, la fórmula solo suma otro término: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b$ .

Puedes utilizar el producto escalar para determinar si dos vectores son perpendiculares. Dos vectores son perpendiculares si y solo si sus productos escalares son iguales a cero. Ya que la magnitud siempre es un número positivo, si el producto escalar es cero, el coseno $\theta$ debe ser cero, y el ángulo debe ser de 90 grados.

Ejemplo A

¿Los vectores (3, 3) y (-5, 5) son perpendiculares? ¿Qué sucede con los vectores (-3, 5) y (-2,1)?

Solución: Para descubrir si dos vectores son perpendiculares, debes ver si el producto escalar es 0. Ya que tienes los vectores con sus extremos, deberías utilizar la segunda forma de la fórmula del producto escalar para calcular su producto escalar.

$\vec{a} = (3, 3) \ \vec{b} = (-5, 5)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(-5) +(3)(5) = -15 + 15 = 0$

El producto escalar para el primer conjunto de vectores es 0, por lo que los vectores son perpendiculares.

Para el segundo conjunto de vectores,

$\vec{c} = (-3, 5) \ \vec{d} = (-2, 1)$

$\vec{c} \cdot \vec{d} = (-3)(-2) + (5)(1) = 6 + 5 = 11$

Ya que el producto escalar de los vectores no es 0, no son perpendiculares.

Ejemplo B

También puedes utilizar el producto escalar para encontrar el ángulo entre dos vectores. Considera los vectores $\vec{c}$ y $\vec{d}$ del ejemplo anterior:

$\vec{c} = (-3, 5)\ \vec{d} = (-2, 1)$

Ya has encontrado que el producto escalar es 11. ¿Cuál es el ángulo entre los vectores?

Solución: Si calcular la magnitud de cada vector, puedes utilizar la ecuación $\vec{c} \cdot \vec{d} = \Big \| \vec{c}\Big \| \ \Big \| \vec{d}\Big \| \cos \theta$ para encontrar el valor de $\theta$ .

Luego, calcula la magnitud de cada vector:

$\Big \| \vec{c}\Big \| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{34} \ \Big \| \vec{d}\Big \| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5}$

Al sustituir estos valores en la ecuación del producto escalar, encontrarás que:

$11 &= \sqrt{34} \sqrt{5} \cos \theta \\\frac{11 \sqrt{170}}{170} &= \cos \theta \\\theta &= 32.47^\circ$

Ejemplo C

En física, el trabajo se define como la fuerza multiplicada por el desplazamiento. Para que el trabajo ocurra, una fuerza debe mover un objeto por cierta distancia. Los físicos miden el trabajo en Metros Newton o Jules. Un Jules equivale a un Newton en fuerza utilizada para un objeto un metro.

Puedes expresar el trabajo como el producto escalar del vector que describe la fuerza que actúa en el objeto y en el vector que describe el movimiento del objeto.

Bob empuja un vagón hacia arriba de una colina. Él ejerce una fuerza de 2 N en un ángulo de 45 grados relativos al horizontal. La colina tiene una pendiente de 15 grados y mide 20 metros de largo. ¿Cuánto trabajo hace Bob cuando mueve el vagón?

Solución: Para encontrar la cantidad de trabajo que hace Bob, necesitarás encontrar el producto escalar de la fuerza vectorial y del movimientos vectorial. Utiliza la ecuación $\vec{f} \cdot \vec{d} = \Big \| \vec{f}\Big \| \ \Big \| \vec{d}\Big \| \cos \theta$ . Tú conoces las magnitudes de fuerza y distancia, pero necesitas encontrar el ángulo entre los vectores. Si miras el diagrama, verás que un vector está en un ángulo de 45 grados y el otro está en un ángulo de 15 grados. Esto significa que el ángulo entre los vectores es de 30 grados. Por lo tanto:

$\vec{f} \cdot \vec{d} = \Big \| \vec{f}\Big \| \ \Big \| \vec{d}\Big \| \cos \theta \ \vec{f} \cdot \vec{d} = 2 \cdot 20 \cdot \cos(30) = 40 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)= 20 \sqrt{3} \approx 34.64 \ J$

Bob hace un trabajo de alrededor de 34,64 Jules.

Análisis del Problema de la Sección

Una rampa permite utilizar mejor fuerza para mover un objeto a la misma altura en una sola elevación. Will se da cuenta que esa es la razón por la que los trabajadores utilizan rampas para cargar y descargar camiones. Él tiene tres opciones para introducir la pesada cómoda en su nuevo departamento.

Opción 1: Will puede simplemente levantar la cómoda a través de la ventana y entrarla en su departamento. Para hacerlo, él necesita vencer la fuerza de gravedad y utilizar una fuerza aplicada de 1400 Newton en un ángulo de 90 grados para mover la cómoda 1,5 metros en un ángulo de 90 grados.

Para realizar este movimiento, $\theta$ es 0 porque no hay diferencia en un ángulo entre la fuerza vectorial y el movimiento vectorial. Por lo tanto:

$\vec{f} \cdot \vec{d} = \Big \| \vec{f}\Big \| \ \Big \| \vec{d}\Big \| \cos \theta \ \vec{f} \cdot \vec{d} = 1400 \cdot 1.5 \cdot \cos(0) = 2100 \ J$

Si Will utiliza la primera opción, él tendrá que hacer un trabajo de 2100 Jules.

Opción 2: Will puede utilizar una fuerza aplicada de 243 N en un ángulo de 30 grados horizontal y mover la cómoda 5,7 metros hacia arriba en una rampa de 10 grados en la puerta principal del departamento. Este método requiere menos fuerza que una sola elevación porque la fuerza vence la gravedad dependiendo del seno del ángulo de la rampa utilizada para mover el objeto.

El ángulo entre la fuerza que él aplica y la superficie de la rampa es de $30^\circ - 10^\circ = 20^\circ$ .

Por lo tanto, el trabajo es:

$\vec{f} \cdot \vec{d} = \Big \| \vec{f} \Big \| \ \Big \| \vec{d}\Big \| \cos \theta \ \vec{f} \cdot \vec{d} = 243 \cdot 5.7 \cdot \cos(20) = 1302 \ J$

Él hará un trabajo de 1302 Jules si sube la cómoda a la rampa y la mueve a la puerta principal.

Opción 3: Will puede ejercer una fuerza de 73 Newton en un ángulo de 30 grados horizontal y mover la cómoda 19 metros por la cuesta de la colina con una pendiente de 3 grados y entrarla por la puerta trasera.

El ángulo entre la fuerza y la colina es de 27 grados, por lo que:

$\vec{f} \cdot \vec{d} = \Big \| \vec{f} \Big \| \ \Big \| \vec{d} \Big \| \cos \theta \ \vec{f} \cdot \vec{d} = 73 \cdot 19 \cdot \cos (27) = 1236 \ J$

Si Will quiere hacer el menor trabajo posible, él debería elegir la Opción 3. Él debería subir la colina y entrar por la puerta trasera.

Vocabulario

Producto Escalar - El producto escalar es una operación matemática que te permite multiplicar dos vectores juntos y obtener un escalar como el producto. Las dos formas del producto escalar son $\vec{a} \cdot \vec{b} = \Big \| \vec{a}\Big \| \ \Big \| \vec{b}\Big \| \cos \theta$ y $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b$ .

Vector - Una cantidad que expresa tanto la magnitud como la dirección. Puedes definir un vector en términos de su magnitud y su ángulo, o en términos de sus extremos.

Escalar - Una cantidad que solo expresa magnitud. Por ejemplo, el peso es un escalar. La velocidad es una escalar pero la rapidez es un vector.

Trabajo - Una expresión de cuánta energía toma mover un objeto en la distancia. El trabajo se define como la fuerza multiplicada por el desplazamiento y se mide en Jules.

Práctica Guiada

1. Encuentra los productos escalares de los siguientes conjuntos de vectores.

$\vec{a} = (5, 4), \vec{b} = (3, 7)$

$\Big \| \vec{c}\Big \| = 5, \theta_c = 30^\circ, \Big \| \vec{d}\Big \| = 4, \theta_d = 45^\circ$

$\vec{e} = (12, 2), \vec{f} = (5, 1)$

$\Big \| \vec{g}\Big \| = 10, \theta_g = 90^\circ, \Big \| \vec{h}\Big \| = 10, \theta_h = 30^\circ$

2. Encuentra el ángulo entre los vectores $\vec{a} = (5, 2)$ y $\vec{b} = (9, 2)$ .

3. Si Bob aplica una fuerza de 3 N en un ángulo de 50 grados horizontal y mueve el objeto 35 m a lo largo de una cuesta de 5 grados, ¿cuánto trabajo hace?

Respuesta:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_ax_b + y_ay_b = (5)(3)+ (4)(7) = 43\ \ \vec{c}\cdot \vec{d} = \Big \| \vec{c} \Big \| \Big \| \vec{d} \Big \| \cos (\theta_d - \theta_c)\ \vec{c} \cdot \vec{d} = 5 \cdot 4 \cdot \cos(15) = 20\cos 15=19.3\ \ \vec{e} \cdot \vec{f} = x_ex_f+y_ey_f = (12)(5) + (2)(1) = 62\ \ \vec{g} \cdot \vec{h} = \Big \| \vec{g} \Big \| \Big \| \vec{h} \Big \| \cos (\theta_g - \theta_h)\ \vec{g}\cdot \vec{h} = 10 \cdot 10 \cdot \cos (90-30) = 100 \cos 60 =50$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (5)(9) + (2)(2) = 49 \ \Big \| \vec{a}\Big \| = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29} \ \Big \| \vec{b}\Big \| = \sqrt{9^2 + 2^2} = \sqrt{85} \ \ \vec{a} \cdot \vec{b} = \Big \| \vec{a}\Big \| \ \Big \| \vec{b}\Big \| \cos \theta \ 49 = \sqrt{29} \sqrt{85} \cos \theta \ \frac{49}{\sqrt{2465}} = \cos \theta \ \theta = 9.3^\circ$

$\theta = 50^\circ - 5^\circ = 45^\circ \ W = \vec{f} \cdot \vec{d} = \Big \| \vec{f}\Big \| \ \Big \| \vec{d}\Big \| \cos \theta \ W = 3(35) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{105 \sqrt{2}}{2} \approx 74.25 \ J$

Práctica

Encuentra los productos escalares de los siguientes conjuntos de vectores. ¿Son perpendiculares los vectores?

1. $\vec{a} = (4, 7), \vec{b} = (-2, 5)$

2. $\Big \| \vec{c}\Big \| = 5, \theta_c = 120^\circ, \Big \| \vec{d}\Big \| = 12, \theta_d = 45^\circ$

3. $\vec{e} = (10, 1), \vec{f} = (5, -50)$

4. $\vec{g} = (-4, 2), \vec{h} = (6, 8)$

5. $\Big \| \vec{i}\Big \| = 8, \theta_i = 10^\circ, \Big \| \vec{j}\Big \| = 10, \theta_j = 100^\circ$

6. $\vec{k} = (4, 14), \vec{l} = (-2, -9)$

7. $\Big \| \vec{m}\Big \| = 15, \theta_m = 35^\circ, \Big \| \vec{n}\Big \| = 2, \theta_n = 55^\circ$

8. $\Big \| \vec{p}\Big \| = 9, \theta_p = 50^\circ, \Big \| \vec{q}\Big \| = 16, \theta_q = 75^\circ$

Encuentra el ángulo entre cada par de vectores:

9. $\vec{a} = (4, 7), \vec{b} = (-2, 5)$

10. $\vec{e} = (10, 1), \vec{f} = (5, -50)$

11. $\vec{g} = (-4, 2), \vec{h} = (6, 8)$

12. $\vec{k} = (4, 14), \vec{l} = (-2, -9)$

13. Si Julie aplica una fuerza de 5 N en un ángulo de 30 grados horizontal y mueve el objeto 12 m a lo largo de una cuesta de 3 grados, ¿cuánto trabajo hace?

14. Si Michelle aplica una fuerza de 8 N en un ángulo de 20 grados horizontal y mueve el objeto 18 m a lo largo de una cuesta de 12 grados, ¿cuánto trabajo hace?

15. Si John aplica una fuerza de 10 N en un ángulo de 10 grados horizontal y mueve el objeto 25 m a lo largo de una superficie plana, ¿cuánto trabajo hace?

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