Funciones Vectoriales en el Plano

Objetivos

En esta sección recibirás una introducción básica de funciones vectoriales. Aprenderás cómo bosquejar una función vectorial, cómo encontrar sus dominios y cómo relacionar las ecuaciones paramétricas. También aplicarás funciones vectoriales a problemas básicos de física.

Concepto

El equipo de robótica de Arianna está construyendo un robot para navegar un trayecto de obstáculos. Las guías de competición dicen que el robot tendrá que ascender una rampa con una pendiente de entre 3 grados y 25 grados. ¿Cuántas fuerza utilizará el motor del robot para ejecutarse y así la máquina pueda escalar la pendiente? ¿Qué tipo de relación hay entre la fuerza y el ángulo de la pendiente?

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https://www.youtube.com/watch?v=gjTO0dMZWU4

Orientación

Una función vectorial es una función que recibe a un escalar como una entrada y regresa al extremo de un vector como una salida. Esta función usualmente toma la forma $\vec{F} (t) = \left (f(t), g(t) \right )$ . Puedes trabajar con una función vectorial en un plano bidimensional o en un espacio tridimensional. Son especialmente útiles para trabajar con problemas complicados de física que involucran conceptos como momento, fuerza, velocidad y revolución. Estas funciones son útiles porque cada punto en la función es el extremo de un vector con una dirección y una magnitud única. Una función vectorial describe el conjunto de vectores que son las soluciones a un conjunto específico de ecuaciones.

Considera la función vectorial $\vec{F} (t) = (t +2, t^2)$ . Esta función vectorial describe todos los vectores que comienzan en el origen y tiene un extremo final en $(t+ 2, t^2)$ para cada número real $t$ .

Si bosquejas unos cuantos de estos vectores,desde $- \infty$ a $\infty$ , los extremos finales de los vectores trazan una parábola desde izquierda a derecha.

Si exploras un poco más, descubrirás que la parábola trazada es la misma que $y=(x-2)^2$ . Lo que hace diferentes dos parábolas distintas es que en la función vectorial, la parábola se expresa en términos de dos funciones, ambas dependientes de $t$ .

$t$	$t+2$	$t^2$	$x$	$(x-2)^2$
-2	0	4	0	4
-1	1	1	1	1
0	2	0	2	0
1	3	1	3	1
2	4	4	4	4

En la función $y = (x-2)^2$ , cada punto solo representa un punto en el espacio. En la función $\vec{F} (t) = (t+2, t^2)$ , cada punto representa un vector, por lo que puedes utilizar la información en el gráfico para encontrar las magnitudes y los ángulos de dirección o para realizar operaciones en vectores.

Ejemplo A

Identifica la curva trazada por los extremos finales de los vectores en la función vectorial $\vec{F} (t) = (3 \sin t, 5 \cos t)$ . Bosqueja la curva.

Solución: Si has estudiado las ecuaciones paramétricas, te darás cuenta que las funciones vectoriales se parecen a las ecuaciones paramétricas por una elipse centrada en el origen. La elipse tiene un eje grande a lo largo del eje $y$ con una longitud de 10 y un eje menor a lo largo del eje $x$ con una longitud de 6.

Si no reconoces la forma de la ecuación, querrás bosquejar la curva utilizando unos cuantos valores $t$ . Para hacerlo más fácil, utiliza $t= (0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$ . Juntos, estos conjuntos de valores para $t$ trazarán un cuarto de período de 0 a $2\pi$ .

$t$	$3 \sin t$	$5 \cos t$
0	0	5
$\frac{\pi}{6}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{5 \sqrt{3}}{2}$
$\frac{\pi}{4}$	$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$	$\frac{5 \sqrt{2}}{2}$
$\frac{\pi}{3}$	$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$	$\frac{5}{2}$
$\frac{\pi}{2}$	3	0

Al bosquejar estos vectores te darán el cuarto de una elipse. Luego puedes utilizar la propiedad de la simetría para bosquejar las otras 3 secciones de la elipse.

Ejemplo B

Para encontrar el dominio de una función vectorial $\vec{F} (t) = \left( f(t), g(t) \right)$ , debes encontrar los valores de $t$ para los que $\vec{F} (t)$ es continua tanto en $f(t)$ como en $g(t)$ .

Encuentra el dominio de la función vectorial $\vec{F} (t) = \left( \frac{1}{t}, \ln (t) \right)$ .

Solución: $\frac{1}{t}$ es indefinida cuando $t$ es 0. La función $\ln(t)$ es indefinida cuando $t \le 0$ . Por lo que la función vectorial $\vec{F} (t)$ es indefinida cuando $t \le 0$ . El dominio de la función son todos los números reales $t$ como $t > 0$ .

Ejemplo C

Todas las funciones vectoriales se pueden reescribir como ecuaciones paramétricas. Esta transformación te permite trabajar con ellos como harías con las ecuaciones paramétricas y puedes hacer más fáciles algunas operaciones. Para reescribir una función vectorial como una ecuación paramétricas, ponla en términos de $x(t)$ y $y(t)$ .

Reescribe $\vec{F} (t) = \left( t^4, \frac{1}{t} \right)$ como una ecuación paramétrica.

Solución:

$F (t) = \left( (x(t), y(t) \right) \ x (t) = t^4 \ y (t) = \frac{1}{t}$

Análisis del Problema de la Sección

Arianna decide definir su problema en términos de una función vectorial. Su robot pesa 3 kilogramos. Ella estima que la aceleración por la gravedad como $g = -9.8 \ m/s^2$ . En general, la fuerza igual a la masa por la aceleración $(F = ma)$ . Su robot está escalando un plano inclinado, por lo que Arianna necesita tomar en cuenta la pendiente de la superficie cuando considera la aceleración. Para su robot, la aceleración es igual a $a = g \cdot \sin (t)$ .

Por lo tanto, el vector que describe la fuerza de gravedad que empuja a su robot a través de la cuesta es $F = m g \sin (t)$ , donde $t$ es el ángulo de la cuesta que el robot escala. Su robot tendrá que exceder esta fuerza para subir la cuesta.

Una vez que ella sustituye 3 kg por la masa y $-9.8 \ m/s^2$ por la aceleración debido a la gravedad, ella podrá graficar los vectores por la fuerza de gravedad en su robot por todas las cuestas que se pueden utilizar durante la competición.

Su función es $\vec{F} (t) = (3) (-9.8) \sin (t)$ , que ella simplifica a $\vec{F} (t) = -29.4 \sin (t)$ .

Arianna se da cuenta que su dominio para $t$ es $3^\circ \le t \le 25^\circ$ , porque las reglas del concurso le dicen que la cuesta de la rampa se caerá en alguna parte entre estos números.

Sin embargo, Arianna tiene un problema. La ecuación que ella escribió solo le entrega la magnitud del vector de fuerza. Para graficarlo de manera exacta, ella necesitará utilizar trigonometría para dividirlo en sus componentes $x$ e $y$ .

Cada vector en esta función vectorial será la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Arianna debe utilizar la función del seno y el coseno para encontrar los componentes $x$ e $y$ de los vectores.

El componente $x$ de su función vectorial es:

$\cos (t) = \frac{\vec{x} (t)}{\vec{F} (t)} \ \cos (t) = \frac{\vec{x} (t)}{-29.4 \sin (t)} \ \vec{x} (t) = -29.4 \sin (t) \cos (t)$

El componente $y$ de su función vectorial es:

$\sin (t) = \frac{\vec{y} (t)}{\vec{F} (t)} \ \sin (t) = \frac{\vec{y} (t)}{-29.4 \sin (t)} \ \vec{y} (t) = -29.4 \sin^2 (t)$

Por lo tanto, su función vectorial es:

$\vec{F} (t) = (-29.4 \sin (t) \cos (t), - 29.4 \sin^2 (t))$

Arianna descubre el valor del salto más pequeño de su dominio, del valor más alto de su dominio y para algunos valores entremedio, de manera que ella pueda tener una idea de la forma en que varía dependiendo del ángulo de la rampa. Los valores en la segunda columna de su tabla son las magnitudes del vector de fuerza: cuánta fuerza debe vencer el robot en varios ángulos. Los valores en las tercera y cuarta columnas entrega los puntos a dibujar para bosquejar la función vectorial.

$t$	$(-29.4) \sin (t)$	$(-29.4) \sin (t) \cos (t)$	$(-29.4) \sin^2 (t)$
3	-1.538	-1.537	-0.081
5	-2.562	-2.553	-0.223
10	-5.105	-5.028	-0.887
15	-7.609	-7.350	-1.969
20	-10.055	-9.449	-3.439
25	-12.425	-11.261	-5.251

El robot de Arianna debe tener un motor que sea capaz de producir más de 12,425 Newton de fuerza para ascender todas las rampas posibles en el concurso. Cuando ella bosqueja la curva, se da cuenta que las relación entre el ángulo de la rampa y la fuerza necesaria para ascender no es lineal. De hecho, se parece a parte de un círculo.

Vocabulario

Una función vectorial - una función que recibe a un escalar como una entrada y regresa al extremo de un vector como una salida.

Ecuación Paramétrica - Una ecuación de la forma $F(t) = \left( x(t), y(t) \right)$ donde $x(t)$ y $y(t)$ son funciones.

Escalar - Una cantidad que solo expresa magnitud.

Vector - Una cantidad que expresa tanto la magnitud como la dirección.

Práctica Guiada

Considera las siguientes tres funciones vectoriales.

$\vec{F} (t) = (t^2, \ln(t))$
$\vec{F} (t) = (4 \sin t, 4 \cos t)$
$\vec{F} (t) = (t, 5t +3)$

1. Convierte las funciones en formas paramétricas.

2. Encuentra el dominio de cada función.

3. Identifica la forma básica de cada función y luego grafica. Tú puedes utilizar una calculadora científica, una aplicación o un sitio web como Fooplot.

4. Encuentra la magnitud y el ángulo de $\vec{F} (1)$ para las funciones $a$ y $c$ .

Respuesta:

1. a.

$F(t) = (x(t), y(t)) \ x(t) = t^2 \ y(t) = \ln (t)$

$F(t) = (x(t), y(t)) \ x(t) = 4 \sin t \ y(t) = 4 \cos t$

$F(t) = (x(t), y(t)) \ x(t) = t \ y(t) = 5t + 3$

2. a. Ya que $\ln(t)$ solo se define para números positivos, el dominio de la función son todos los números reales $t$ solo $t > 0$ .

b. $\sin (t)$ y $\cos (t)$ se definen por todos los números reales por lo que el dominio de esta función son todos los números reales.

c. El dominio de la función son todos los números reales.

3. a. La curva se parece a una función logarítmica natural.

b. La curva es un círculo, centrada en el origen, con un radio de 4.

c. La curva es una línea con una pendiente de 5 y un intercepto $y$ de 3.

4. a.

$\vec{F} (1) = (1, 0) \ \Big \| \vec{F} (1) \Big \| = \sqrt{1^2+0^2} = 1 \ \tan \theta = \frac{0}{1} = 0 \ \theta = 0^\circ$

$\vec{F} (1) = (1, 5(1) +3) = (1, 8) \ \Big \| \vec{F} (1) \Big \| = \sqrt{1^2+8^2} = \sqrt{65} \ \tan \theta = \frac{8}{1} = 8 \ \theta = 82.87^\circ$

Práctica

Para #1 #4, convierte cada función en una forma paramétrica.

1. $\vec{F} (t) = (t^2, \frac{1}{t})$

2. $\vec{G} (t) = (6 \sin t, 3 \cos t)$

3. $\vec{H} (t) = (t+1, t^2)$

4. $\vec{K} (t) = (2t^2, t-5)$

Para #5 #8, encuentra el dominio de cada función.

5. $\vec{F} (t) = (t^2, \frac{1}{t})$

6. $\vec{G} (t) = (6 \sin t, 3 \cos t)$

7. $\vec{H} (t) = (t+1, t^2)$

8. $\vec{K} (t) = (2t^2, t-5)$

Para #9 #12, identifica la forma básica de cada función y luego grafica.

9. $\vec{F} (t) = (t^2, \frac{1}{t})$

10. $\vec{G} (t) = (6 \sin t, 3 \cos t)$

11. $\vec{H} (t) = (t+1, t^2)$

12. $\vec{K} (t) = (2t^2, t-5)$

13. Encuentra la magnitud y el ángulo de $\vec{F} (t) = (t^2, \frac{1}{t})$ para $t=5$ .

14. Encuentra la magnitud y el ángulo de $\vec{G} (t) = (6 \sin t, 3 \cos t)$ para $t=0$ .

15. Encuentra la magnitud y el ángulo de $\vec{H} (t) = (t+1, t^2)$ para $t=4$ .

16. Encuentra la magnitud y el ángulo de $\vec{K} (t) = (2t^2, t-5)$ para $t=1$ .

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