Derivados de Funciones Vectoriales

Objetivos

En esta sección, aprenderás cómo sacar las derivadas de una función vectorial.

Concepto

Karl está siguiendo el movimiento de un satélite a través de la superficie de la tierra. Él descubre que, durante un cierto período de tiempo, el movimiento del satélite se puede modelar por la función $\vec{F}(t) = (t^2, \sin 2t)$ . Le gustaría saber cuánto cambia el movimiento del satélite en $t=5$ segundos. ¿Cómo puede encontrar un vector para describir este índice de cambio?

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Orientación

Sacar la derivada de una función vectorial se parece a sacar la derivada de una función escalar. Las funciones vectoriales tienen componentes múltiples y cada componente es una función. Por ejemplo, $\vec{F}(t) = \left ( t^3, 2t + 7, \frac{1}{t} \right )$ es una función vectorial en 3 dimensiones. Para sacar la derivada de $\vec{F}(t)$ , sacarás la derivada de cada componente. Tu resultado sería $\vec{F}{^\prime}(t) = \left ( 3t^2, 2, -\frac{1}{t^2} \right )$ .

Para que una función vectorial sea diferenciable en un punto, todos sus funciones componentes deben ser diferenciables en ese punto.

Ejemplo A

Encuentra la derivada de la función vectorial $\vec{F}(t) = (\sin t, \ln t)$ en $t= \pi$ y en $t = 0$ .

Solución: Primero, encuentra la derivada de cada componente de la función vectorial.

$\vec{F}{^\prime} (t) = \left ( \cos t, \frac{1}{t} \right )$

Ahora, evalúa la derivada para $t=\pi$ .

$\vec{F}{^\prime} (\pi) = \left ( \cos \pi, \frac{1}{\pi} \right) = \left ( -1, \frac{1}{\pi} \right ) .$

El vector $\left ( -1, \frac{1}{\pi} \right )$ es tangente a la curva cuando $t= \pi$ .

Tú no puedes encontrar una tangente a la curva cuando $t = 0$ , porque el segundo componente de la función derivada, $\frac{1}{t}$ , es indefinida en $t = 0$ . Ya que no puedes encontrar $\frac{1}{0}$ , tampoco puedes encontrar el vector tangente cuando $t = 0$ .

Ejemplo B

Puedes utilizar la derivada de una función vectorial en un punto específico para encontrar el vector de unidad tangente a la curva en ese punto. El vector de unidad tangente es útil para resolver problemas donde necesitas saber la dirección de cambio de una función vectorial, pero no la magnitud de ese cambio.

Para encontrar el vector de unidad tangente para una función, es muy útil primero reescribir la función en términos de sus vectores componentes. Para una función bidimensional, puedes utilizar $i$ para representar el componente horizontal y $j$ para representar el componente vertical.

Encuentra el vector de unidad tangente para la función vectorial $\vec{F}(t) = (t^2, \sin (t))$ .

Solución: Primero, reescribe la función en términos de $i$ y $j$ .

$\vec{F} (t)= t^2 i + \sin (t) j$

Encuentra la derivada.

$\vec{F}{^\prime}(t) = 2ti + \cos(t)j$

Utilizar la fórmula de la distancia para encontrar la magnitud del vector tangente.

$\Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \| = \sqrt{4t^2 + \cos ^2 (t)}$

Divide el vector tangente por su magnitud para encontrar el vector de unidad tangente.

$\vec{T}(t) = \frac{\vec{F}{^\prime}(t)}{\Big \| \vec{F}{^\prime}(t) \Big \|}\ \vec{T}(t) = \frac{2ti + \cos (t)j}{\sqrt{4t^2 + \cos^2 (t)}} = \frac{2t\left ( \sqrt{4t^2 + \cos^2 (t)} \right )}{4t^2 + \cos^2 (t)}i + \frac{\cos (t) \left ( \sqrt{4t^2 + \cos^2 (t)} \right )}{4t^2 + \cos^2 (t)}j$

Ahora, puedes evaluar el vector de unidad tangente en un tiempo específico para encontrar la dirección de tiempo en ese momento. Por ejemplo, para evaluar este vector en $t=10$ , reemplaza 10 en la fórmula y resuelve.

$\vec{T}(t) & = \frac{2 (10) \left ( \sqrt{4(10)^2 + \cos^2(10)} \right )}{4(10)^2 + \cos^2(10)}i + \frac{\cos(10) \left ( \sqrt{4(10)^2 + \cos^2(10)} \right )}{4(10)^2 + \cos^2(10)}j\\\vec{T}(t) & = .999i + .049j$

Ejemplo C

El particular trayecto de vuelo de un pequeño avión después de que deja el aeropuerto se puede describir por la función vectorial $\vec{F}(t) = (\sin t, t^3)$ . ¿Cuán lejos del aeropuerto está el avión cuándo $t=10$ ? ¿Cómo cambia la posición del avión en ese momento? ¿Con qué rapidez se mueve el avión (la magnitud del vector tangente) y en qué dirección?

Solución: Para encontrar la distancia del avión desde el aeropuerto, encuentra la magnitud del vector descrito por $\vec{F}(10)$ .

$\vec{F}(10) = (\sin (10), 10^3) = (.174,1000)$

Utilizar la fórmula de la distancia para encontrar la magnitud.

$\sqrt{.174^2 + 1000^2} \approx 1000$

En $t=10$ , el avión está a 1000 unidades del aeropuerto.

Para encontrar el vector tangente, saca la derivada de la función vectorial original:

$\vec{F}(t) = (\sin (t), t^3)$

$\vec{F}{^\prime}(t) = (\cos (t), 3t^2)$

Ahora, para encontrar la rapidez en que se mueve el avión y en qué dirección lo hace, evalúa $\vec{F}{^\prime}(t)$ para $t=10$ .

$\vec{F}{^\prime}(10) = (\cos (10), 3(10)^2) = (.985, 300)$

Encuentra la magnitud del vector tangente para encontrar el índice de cambio de la función. Encuentra el ángulo del vector tangente para encontrar la dirección de cambio:

$\vec{F}{^\prime} (10) = (\cos (10), 3(10)^2) = (.985, 300) \ \sqrt{.985^2 + 300^2} \approx 300.002 \ \tan \theta = \frac{3t^2}{\cos (t)} = \frac{300}{.985}=304.57 \ \theta = 89.81^\circ$

La ubicación del avión cambia en un índice de 300,002 unidades por minuto de un ángulo de 89,81 grados con respecto al aeropuerto.

Análisis del Problema de la Sección

Karl quiere encontrar un vector que describa el índice de cambio de la posición de un satélite cuando $t=5$ . Él comenzará sacando la derivada de la función vectorial que describe la posición del satélite con respecto al tiempo.

$\vec{F} (t) = (t^2, \sin 2t) \ \vec{F}{^\prime} (t) =(2t, 2 \cos 2t)$

Ahora, él puede evaluar el vector tangente en el tiempo $t=5$ .

$\vec{F}^{\prime}(t) = (2(5), 2 \cos 2(5)) = (10, 1.97)$

Él puede utilizar la fórmula de la distancia para encontrar la magnitud del vector y la definición de la tangente para encontrar su ángulo.

$\sqrt{10^2 + 1.97^2} = \sqrt{103.88} = 10.19 \ \tan \theta = \frac{1.97}{10} = .197 \ \theta = 11.14^\circ$

La posición del satélite cambia en un índice de $10.19 \ \text{units}/\text{second}$ y en un ángulo de 11,14 grados.

Vocabulario

Una función vectorial - una función que recibe a un escalar como una entrada y regresa al extremo de un vector como una salida. El gráfico de la función es la curva formada por los extremos finales de los vectores que vuelven por la función.

Escalar - Una cantidad que solo expresa magnitud.

Vector - Una cantidad que expresa tanto la magnitud como la dirección.

Vector de unidad tangente - Una tangente de una función vectorial que tiene la magnitud de 1. El vector de unidad tangente entrega la dirección de cambio sin describir la magnitud de este. Puedes encontrarla dividiendo el vector tangente por su magnitud.

Fórmula de la Distancia - Una fórmula utilizada para encontrar la distancia entre dos puntos en un plano coordenado. La fórmula de la distancia es $d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ . Cuando encuentras la magnitud de un vector, estás encontrando la distancia entre sus extremos finales y el origen.

Práctica Guiada

Para los siguientes tres problemas, utiliza las funciones vectoriales:

$\vec{F} (t) = (t^2, -t)$
$\vec{G} (t) = (\cos t, t+7)$
$\vec {H} (t) = (\ln t, 2t^3)$

1. Encuentra la derivada para cada función. Evalúa la derivada de cada función en $t=2$ .

2. Encuentra la magnitud y dirección de cambio para cada función en $t=2$

3. Encuentra los extremos finales para el vector de unidad tangente de cada función en $t=2$ . Recuerda que ya has encontrado la magnitud de cada vector tangente. Esto debería simplificar tus cálculos.

Respuesta:

1. a.

$\vec{F}{^\prime} (t) = (2t, - 1) \ \vec{F}{^\prime} (2) = (2(2), -1) = (4, -1)$

$\vec{G} {^\prime} (t) = (-\sin t, 1) \ \vec{G} {^\prime} (2) = (-\sin(2), 1) = (-.035, 1)$

$\vec{H} {^\prime} (t) = \left(\frac{1}{t}, 6t^2 \right) \ \vec{H} {^\prime} (2) = \left(\frac{1}{2}, 6(2)^2 \right) = \left(\frac{1}{2}, 24 \right)$

2. a.

$\vec{F} {^\prime} (2) = (4, -1) \ \Big \| \vec{F} {^\prime} (2) \Big\| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{17} \ \tan \theta = \frac{-1}{4} = -.25 \ \theta = -14.04 ^\circ$

$\vec{G} {^\prime} (2) = (-.035, 1) \ \Big\| \vec{G} {^\prime} (2)\Big\| = \sqrt{(-.035)^2 + 1^2} = 1.001 \ \tan \theta = \frac{-1}{.035} = -87.995 ^\circ \\$

$\vec{H} {^\prime} (2) =\left (\frac{1}{2}, 24 \right) = (.5, 24)\ \Big\| \vec{H} {^\prime} (2)\Big\| = \sqrt{.5^2 + 24^2} = 24.005 \ \tan \theta = \frac{24}{.5} = 48 \ \theta = 88.81 ^\circ$

3. a.

$T(2) = \frac{\vec{F} {^\prime} (2)}{|| \vec{F} {^\prime} (2)||} = \frac{4i - j}{\sqrt{17}} = \frac{4 \sqrt{17}}{17}i - \frac{\sqrt{17}}{17}j = .97i - .24j \ (.97, -.24)$

$T(2) = \frac{\vec{G} {^\prime} (2)}{|| \vec{G} {^\prime} (2)||} = \frac{-.035i + j}{1.001} = -.035i + .999j \ (-.035,.999)$

Fíjate que $\vec{G}{^\prime}(2)$ ya está cerca de ser una unidad vectorial porque su magnitud está muy cerca de 1.

$T(2) = \frac{\vec{H}{^\prime}(2)}{\Big \| \vec{H}{^\prime}(2) \Big \|} = \frac{.5i + 24j}{24.005} = .0208i + .9998j\ (.0208, .9998)$

Práctica

Para #1 #5, encuentra la derivada de la función. Evalúa la derivada de cada función en $t=5$ .

1. $\vec{F}(t) = \left(t^2, \frac{1}{t}\right)$

2. $\vec{G}(t) = (6 \sin t, 3 \cos t)$

3. $\vec{H} (t) = (t + 1, t^2)$

4. $\vec{K}(t) = (2t^2, t-5)$

5. $\vec{M}(t) = (\ln t, \sin t)$

Para #6 - #10, encuentra la magnitud y dirección de cambio para la función en $t=5$ .

6. $\vec{F} (t) = \left(t^2, \frac{1}{t}\right)$

7. $\vec{G}(t) = (6 \sin t, 3 \cos t)$

8. $\vec{H} (t) = (t + 1, t^2)$

9. $\vec{K} (t) = (2t^2, t-5)$

10. $\vec{M}(t) = (\ln t, \sin t)$

Para #11 - #15, encuentra los extremos finales para el vector de unidad tangente de la función en $t=5$ .

11. $\vec{F}(t) = \left(t^2, \frac{1}{t}\right)$

12. $\vec{G}(t) = (6 \sin t, 3 \cos t)$

13. $\vec{H}(t) = (t+1, t^2)$

14. $\vec{K}(t) = (2t^2, t-5)$

15. $\vec{M}(t) = (\ln t, \sin t)$

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