Propiedades de Diferenciación de la Funciones Vectoriales

Objetivos

En esta sección aprenderás sobre las propiedades de las derivadas de las funciones vectoriales. Aprenderás a aplicar estas propiedades para resolver problemas.

Concepto

Tessa, una ingeniera que incursiona en creaciones de estilo punk, ha construido un caballo mecánico. A ella le gustaría poder tirar una carroza en el desfile anual de su pueblo por lo que necesita calcular cuánto trabajo necesita realizar el motor mecánico. Ya que tanto la fuerza como la distancia pueden variar en diferentes puntos durante un desfile, ella también necesita entender cómo se el trabajo hecho cambiará en diferentes puntos durante la ruta del desfile. ¿Puede utilizar las propiedades de diferenciaciones de las funciones vectoriales para resolver su problema?

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Orientación

Las derivadas de unas función vectorial sigue reglas similares a las derivadas de una función escalar y de las ecuaciones paramétricas. Puedes utilizar estas propiedades de derivadas para diferenciar funciones complejas rápidamente. Los siguientes ejemplos te mostrarán algunas de las propiedades más útiles para trabajar con funciones vectoriales.

Ejemplo A

Propiedad La derivada de una de suma de dos vectores es igual a la suma de la derivada de cada función. Eso significa: $\left(\vec{F}(t) + \vec{G}(t)\right){^\prime} = \vec{F}{^\prime} (t) + \vec{G}{^\prime} (t)$ .

Considera estas funciones vectoriales:

$\vec{F} (t) = (t^2, 5t) \ \vec{G} (t) = (\sin t, \cos t)$

Estas muestran que $\left(\vec{F}(t) + \vec{G}(t)\right){^\prime} = \vec{F}{^\prime} (t) + \vec{G}{^\prime} (t)$ .

Solución: Si sumas juntas las funciones, obtienes:

$\vec{F}(t) + \vec{G}(t) = (t^2, 5t) + (\sin t, \cos t) = (t^2 + \sin t, 5t + \cos t).$

Si sacas la derivada de la suma de las funciones, tienes:

$\left(\vec{F}(t) + \vec{G}(t)\right){^\prime} = (2t + \cos t, 5 - \sin t).$

Por otro lado, si sacas las derivadas primero y luego las sumas juntas, obtienes:

$\vec{F}{^\prime} (t) = (2t, 5) \ \vec{G}{^\prime} (t) = (\cos t, - \sin t) \ \vec{F}{^\prime} (t) + \vec{G}{^\prime} (t)= (2t + \cos t, 5 - \sin t)$

Por lo que, $\left(\vec{F}(t) + \vec{G}(t)\right){^\prime} = \vec{F}{^\prime} (t) + \vec{G}^\prime (t)$ .

Puedes utilizar esta igualdad en casos donde conozcas la derivada de una de las funciones componentes y de las funciones combinadas, pero no de las otras funciones componente.

Ejemplo B

Una función escalar toma una entrada y devuelve una sola salida en vez de un vector.

Propiedad Si multiplicas una función escalar por una función vectorial, la derivada de su producto seguirá la regla del producto para sus derivadas. $\left(f(t) \vec{G}(t)\right){^\prime} = f{^\prime} (t) \vec{G} (t) + \vec{G}{^\prime} (t) f(t)$ .

Considera estas funciones:

$f(t) = t^2 \ \vec{G}(t) = (t^4, \ln \ t)$

Estas muestran que $\left(f(t) \vec{G}(t)\right){^\prime} = f{^\prime} (t) \vec{G}(t) + \vec{G}{^\prime} (t) f(t)$ .

Solución: Si multiplicas las funciones juntas y sacas las derivadas, verás que:

$f(t) \vec{G}(t) = (t^6, t^2 \ln \ t) \ \left(f(t) \vec{G}(t)\right){^\prime} = \left(6t^2, 2t \ln \ t + \frac{t^2}{t} \right) = (6t^5, 2t \ln \ t + t)$

Fíjate que $t^2 \ln t$ es el producto de dos funciones, necesitarás utilizar la regla del producto para diferenciarlos.

Si utilizas la regla del producto para encontrar la derivada del producto de $f(t)$ y $\vec{G}(t)$ , tienes:

$f(t) = t^2 \ \vec{G}(t) = (t^4, \ln \ t) \ \left(f(t) \vec{G}(t)\right){^\prime} = f{^\prime} (t) \vec{G}(t) + \vec{G}{^\prime} (t) f(t) \ \left(f(t) \vec{G}(t)\right){^\prime} = 2t(t^4, \ln \ t) + \left(4t^3, \frac{1}{t} \right) (t^2)$

Lo que se simplifica en:

$(2t^5, 2t \ln \ t) + \left(4t^5, \frac{t^2}{t} \right) \ = (6t^5, 2t \ln \ t + t)$

Ejemplo C

Encontrar la derivada de una función vectorial también puede ayudarte a determinar si la función es un círculo centrado en el origen.

Propiedad Si la función derivada de una función vectorial es perpendicular a la función original, eso significa que si el ángulo entre dos vectores siempre está en 90 grados, entonces la magnitud de los vectores que hacen la función original es constante, y la función vectorial es un círculo.

Puedes utilizar el producto escalar de la función vectorial y sus derivadas para ver si las dos son perpendiculares. Recuerda que si el producto escalar de dos funciones es cero, entonces esas funciones son perpendiculares la una a la otra. Entonces, si calcular el producto escalar de una función vectorial y sus derivados, puedes ver si las dos son perpendiculares. Si lo son, entonces la función vectorial es un círculo.

Considera la función $\vec{F}(t) = (\sin t, \cos t)$ . Muestra que esta función es un círculo.

Solución: $\vec{F}{^\prime} (t) = (\cos t, - \sin t)$ .

Si encuentras el producto escalar de las dos funciones vectoriales, verás que:

$\vec{F}(t) \cdot \vec{F}{^\prime} (t) = \sin t \cos t + (- \sin t \cos t) = 0.$

El producto escalar es cero, por lo que $\vec{F}(t) \bot \vec{F}{^\prime} (t)$ . Eso significa que $\Big \| \vec{F}(t) \Big \|$ es una constante. Ya que todos los puntos en $\vec{F}(t)$ son una distancia constante desde el origen, debe describir un círculo centrado en el origen. Fíjate que si el círculo no está centrado en el origen, la magnitud de los vectores no será constante porque la magnitud es la distancia desde el origen al extremo final del vector.

Por ejemplo, el círculo $\vec{F}(t) = (5 + \cos t, 2 + \sin t)$ .

La derivada de esta función vectorial es $\vec{F}{^\prime} (t) = (- \sin t, \cos t)$ .

El producto escalar, $\vec{F}(t) \cdot \vec{F}{^\prime} (t)$ es:

$\vec{F}(t) \cdot \vec{F}{^\prime} (t) = (5 + \cos t)(- \sin t) + (2 + \sin t)(\cos t) = \\ -5 \sin t + - \sin t \cos t + 2 \cos t + \sin t \cos t = 2 \cos t - 5 \sin t$

La derivada de la función no es perpendicular a la función, por lo que la magnitud de $\vec{F}(t)$ no es constante. Sin embargo, esta función vectorial sí describe un círculo: sólo describe un círculo centrado en (5, 2) en vez del origen.

Ejemplo D

Propiedad La derivada de una función que es el producto escalar de dos funciones vectoriales se puede describir como $\left(\vec{F}(t) \cdot \vec{G}(t)\right){^\prime} = \vec{F}{^\prime} (t) \cdot \vec{G}(t) + \vec{G}{^\prime} (t) \cdot \vec{F}(t)$ .

Considera estas funciones vectoriales:

$\vec{F}(t) = (t^2, 3t) \ \vec{G}(t) = \left(\frac{1}{t}, \sin \ t \right)$

Estas muestran que $\left(\vec{F}(t) \cdot \vec{G}(t)\right){^\prime} = \vec{F}{^\prime} (t) \cdot \vec{G}(t) + \vec{G}{^\prime} (t) \cdot \vec{F}(t)$ .

Solución: Fíjate que $\vec{F}(t) \cdot \vec{G}(t) = \frac{t^2}{t} + 3t \sin t = t + 3t \sin t$ . Por lo que,

$\left(\vec{F}(t) \cdot \vec{G}(t)\right){^\prime} = 1 + 3 \sin t + 3t \cos t.$

Ahora calcula $\vec{F}{^\prime} (t) \cdot \vec{G}(t) = \vec{G}{^\prime} (t) \cdot \vec{F}(t)$ :

$\vec{F}(t) = (t^2, 3t) \ \vec{F}{^\prime} (t) = (2t, 3) \ \vec{G}(t) = \left(\frac{1}{t}, \sin \ t \right) \ \vec{G}{^\prime} (t) = \left(- \frac{1}{t^2}, \cos \ t \right)$

Por lo que tienes:

$\vec{F}{^\prime} (t) \cdot \vec{G} (t) + \vec{G}{^\prime} (t) \cdot \vec{F}(t) = (2t, 3) \cdot \left(\frac{1}{t}, \sin t \right) + (t^2, 3t) \cdot \left(- \frac{1}{t^2}, \cos t \right) \ = \left[ \left(\frac{2t}{t} \right) + 3 \sin t \right] + \left[- \frac{t^2}{t^2} + 3t \cos t \right] = [2 + \sin t] + [-1 + 3t \cos t] \ = 1 + 3 \sin t + 3t \cos t$

Por lo que $\left(\vec{F}(t) \cdot \vec{G}(t)\right){^\prime} = \vec{F}{^\prime} (t) \cdot \vec{G}(t) + \vec{G}{^\prime} (t) \cdot \vec{F}(t)$

Análisis del Problema de la Sección

Tessa planea que el caballo mecánico comience despacio y acelere su velocidad a través del trayecto, que termina en un pequeño pueblo. El trabajo es el producto de la fuerza y la distancia. La fuerza es el producto de la masa de un objeto y su aceleración. El caballo mecánico pesa cerca de 50 kg. Tessa modela la fuerza utilizada para moverlo a lo largo de la ruta con la ecuación:

$\vec{F}(t) = (50t, 10t^2)$

Y la distancia que viaja en un cierto tiempo $t$ como:

$\vec{D}(t) = (3t, 5t^2)$

Ella quiere ver cuán rápido la cantidad de trabajo necesitado para mover el caballo cambia cuando el tiempo es 1, 5, y 10 minutos en el desfile. De esa manera, ella puede asegurarse que el motor puede manejar las horas de trabajo requeridas para mover el caballo mecánico en varios puntos importantes de la ruta.

El trabajo se puede describir como el producto escalar del vector de fuerza y el vector de trabajo. Sin embargo, ya que ella quiere saber cómo la cantidad de trabajo cambia, necesitará encontrar las derivadas de este producto escalar.

$\vec{F}(t) = (50t, 10t^2) \ \vec{F}{^\prime} (t) = (50, 20t) \ \vec{D}(t) = (3t, 5t^2) \ \vec{D}{^\prime} (t) = (3, 10t)$

$\Delta W = \left(\vec{F}(t) \cdot \vec{D}(t)\right){^\prime} = \vec{F}{^\prime} (t) \cdot \vec{D}(t) + \vec{D}{^\prime} (t) \cdot \vec{F}(t) \ \ \vec{F}{^\prime} (t) \cdot \vec{D}(t) = (50)(3t) + (20t)(5t^2) = 150t + 100t^3 \ \vec{D}{^\prime} (t) \cdot \vec{F}(t) = (3)(50t) + (10t)(10t^2) = 150t + 100t^3 \ \vec{F}{^\prime} (t) \cdot \vec{D}(t) + \vec{D}{^\prime} (t) \cdot \vec{F}(t) = 300t + 200t^3 \ \Delta W = 300t + 200t^3$

Después de que ella encuentra la derivada del producto escalar, ella puede juntar los valores de $t$ para encontrar la rapidez de cambio del trabajo en diferentes puntos del tiempo.

$t = 1 \ \Delta W = 300(1) + 200(1)^3 = 500 \ J \ t = 5 \ \Delta W = 300(5) + 200(5)^3 = 26,500 \ J \ t = 10 \ \Delta W = 300(10) + 200(10)^3 = 203,000 \ J$

Tessa puede utilizar estas figuras para darse cuenta cuánta energía necesitas producir su motor, y cuán rápido necesitará producir esa energía.

Vocabulario

Vector - Una cantidad que expresa tanto la magnitud como la dirección. Puedes definir un vector en términos de su magnitud y su ángulo, o en términos de sus extremos.

Escalar - Una cantidad que solo expresa magnitud. Por ejemplo, el peso es un escalar. La velocidad es una escalar pero la rapidez es un vector.

Producto Escalar - El producto escalar es una operación matemática que te permite multiplicar dos vectores juntos y obtener un escalar como el producto. Las dos formas del producto escalar son $\vec{a} \cdot \vec{b} = \Big \| \vec{a}\Big \| \ \Big \| \vec{b}\Big \| \cos \ \theta$ y $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b$ .

Vectores perpendiculares - Dos vectores son perpendiculares si y solo si sus productos escalares son iguales a cero.

Trabajo - Una expresión de cuánta energía toma mover un objeto en la distancia. El trabajo se define como la fuerza multiplicada por la distancia y se mide en Jules.

Práctica Guiada

1. Encuentra la derivada de la función vectorial producida cuando sumas las funciones

$\vec{F}(t) = (2t + 7, t^2) \ \vec{G}(t) = (\sin 4t, t^3)$

2. Utiliza productos escalares para determinar si las siguientes funciones vectoriales son círculos con centros en el origen.

$\vec{F}(t) = (5 \sin t, 5 \cos t)$
$\vec{G}(t) = (3 \sin t, 5 \cos t)$
$\vec{H}(t) = (4 + \sin t, \cos t)$
$\vec{I}(t) = (12 \cos t, 12 \sin t)$

3. Encuentra la derivada de la función escalar $\vec{F}(t) \cdot \vec{G}(t)$ cuando

$\vec{F}(t) = (3t^2, 4t^3) \ \vec{G}(t) = (e^t, t^2)$

Respuesta:

$\vec{F}{^\prime} (t) = (2, 2t)\ \vec{G}{^\prime} (t) = (4 \cos 4t, 3t^2)$

$\left ( \vec{F}{^\prime} (t) + \vec{G}{^\prime} (t) \right ){^\prime} = \vec{F}{^\prime} (t) + \vec{G}{^\prime} (t) = (2 + 4 \cos 4t, 2t + 3t^2)$

2. a.

$\vec{F}(t) = (5 \sin t, 5 \cos t) \ \vec{F}{^\prime} (t) = (5 \cos t, -5 \sin t)$

$\vec{F}(t) \cdot \vec{F}{^\prime} (t) = (5 \sin t)(5 \cos t) + (5 \cos t) (-5 \sin t) = 0$

El producto escalar es cero, por lo que la función es una círculo centrado en (0, 0).

$\vec{G}(t) = (3 \sin t, 5 \cos t) \ \vec{G}{^\prime} (t) = (3 \cos t, -5 \sin t)$

$\vec{G}(t) \cdot \vec{G}{^\prime} (t) = (3 \sin t)(3 \cos t)+(5 \cos t)(-5 \sin t)$

El producto escalar no es cero, por lo que la magnitud de $\vec{G}(t)$ no es una constante y la función no es círculo centrado en el origen.

$\vec{H}(t) = (4 + \sin t, \cos t) \ \vec{H}{^\prime} (t) = (\cos t, - \sin t)$

$\vec{H}(t) \cdot \vec{H}{^\prime}(t) = (4 + \sin t)(\cos t) - (\cos t)(\sin t) \ = 4 \cos t + \cos t \sin t - \cos t \sin t = 4 \cos t$

El producto escalar no es cero, por lo que la magnitud de $\vec{H}(t)$ no es una constante y la función no es círculo centrado en el origen.

$\vec{I}(t) = (12 \cos t, 12 \sin t) \ \vec{I}{^\prime} (t) = (-12 \sin t, 12 \cos t)$

$\vec{I}(t) \cdot \vec{I}{^\prime}(t) = (12\cos t)(-12\sin t) + (12 \sin t)(12 \cos t) = 0$

El producto escalar es 0. Esto significa que la magnitud de la función vectorial es 0 y representa un círculo con su centro en el origen.

$\vec{F}(t) = (3t^2, 4t^3) \ \vec{G}(t) = (e^t, t^2) \ \vec{F}{^\prime} (t) = (6t, 12t^2) \ \vec{G}{^\prime} (t) = (e^t, 2t)$

$(\vec{F}(t) \cdot \vec{G}(t)){^\prime} = \vec{F}{^\prime} (t) \cdot \vec{G}(t) + \vec{G}{^\prime} (t) \cdot \vec{F}(t) \ \vec{F}{^\prime} (t) \cdot \vec{G}(t) = 6te^t + 12t^4 \ \vec{G}{^\prime} (t) \cdot \vec{F}(t) = 3t^2 e^t + 8t^4 \ \vec{F}{^\prime} (t) \cdot \vec{G}(t) + \vec{G}{^\prime} (t) \cdot \vec{F}(t) = 20t^4 + 3t^2 e^t + 6te^t$

Práctica

Considera las siguientes funciones vectoriales:

$\vec{F}(t) = (2 \sin t, 2 \cos t) \ \vec{G}(t) = \left(t^2 + 1, \frac{1}{t} \right) \ \vec{H}(t) = (1- \sin t, 1 - \cos t) \ \vec{I}(t) = \left(e^t, \frac{1}{t^2} \right)$

Encuentra la derivada $\vec{F}(t) + \vec{G}(t)$ .
Encuentra la derivada $\vec{G}(t) - \vec{H}(t)$ .
Encuentra la derivada $\vec{I}(t) + \vec{H}(t)$ .
Encuentra la derivada $\vec{H}(t) - \vec{F}(t)$ .
Encuentra la derivada $\vec{F}(t) + \vec{G}(t) - \vec{H}(t)$ .
Calcula $\vec{F}(t) \cdot \vec{F}{^\prime} (t)$ . ¿Qué te dice esto sobre $\vec{F}(t)$ ?
Calcula $\vec{G}(t) \cdot \vec{G}{^\prime} (t)$ . ¿Qué te dice esto sobre $\vec{G}(t)$ ?
Calcula $\vec{H}(t) \cdot \vec{H}{^\prime} (t)$ . ¿Qué te dice esto sobre $\vec{H}(t)$ ?
Calcula $\vec{I}(t) \cdot \vec{I}{^\prime} (t)$ . ¿Qué te dice esto sobre $\vec{I}(t)$ ?
Encuentra la derivada de la función escalar $\vec{F}(t) \cdot \vec{G}(t)$ .
Encuentra la derivada de la función escalar $\vec{F}(t) \cdot \vec{H}(t)$ .
Encuentra la derivada de la función escalar $\vec{H}(t) \cdot \vec{I}(t)$ .
Si $\left(\vec{F}(t) + \vec{G}(t)\right){^\prime} = (1 + 4t, 18)$ y $\vec{G}{^\prime} (t) = (4t, 15)$ , ¿qué es $\vec{F}{^\prime} (t)$ ?
Si $\left(\vec{F}(t) + \vec{G}(t)\right){^\prime} = \left(3t^2 + 6t, \frac{3}{t} \right)$ y $\vec{F}{^\prime} (t) = \left(6t, \frac{1}{t} \right)$ , ¿qué es $\vec{G}{^\prime} (t)$ ?
Si $\vec{F}{^\prime} (t) = (2t, \sin t)$ y $\vec{G}{^\prime} (t) = (e^t, \cos \ t)$ , ¿qué es $\left(\vec{F}(t) + \vec{G}(t)\right){^\prime}$ ?

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